1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В символических обозначениях дх,/дХ, представляется тензором второго ранга дх " де дх Р =к~к= дХ ее+ дХ е + дХ (3. ! 9) ь д - д гле ~ьх = д 1ь = дх еь (матеРиальные и пРостРапственные оси предполагаются совмещенными). Матричная форма г служит для дальнейшего уяснения этого тензориого свойства оператора (/к, когда он выступает в качестве второго сомножителя в диаде. Та- ким образом, за 7ЕнЗОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ. ТЕНЭОРЫ КОнйчнЫх деФОРМАЦИЙ 117 Материальный и пространственный тензоры деформации связаны правилом частного дифференцирования дх7 дХ/ дХ, дх7 дХ7 дхь дх7 дХА (3.23) и в эйлеровых (пространственных) переменных — = бу — д, или К в = НЧк = 1 — Н.
(3.25) дгч дХ; дхг дкт Как обычно, матричные формы д и К имеют соответственно вид и, ия ди,/дХ, ди,/дХА ди,/дХ, ди,/дХт ди,/дХ, ди,/дХ, ди,/дХА ди /дХ, ди,/дХ, = (ди,/дХ7) (3.26) :1 Г д д д дх, ' дх,' дх,1 ди,/дхд ди,/дх, ди1/дхь ди,/дх, ди,/дх, дик/дх, = (ди,/дх/). (3.27) ди,/дх„ диь/дх, ди,/дх, 3.6.
Тензоры деформаций. Тензоры конечных деформаций На рис. 3.2 начальная (недеформированная) и конечная (деформированная) конфигурации отнесены к совмещенным ортогональным декартовым осям координат ОХ,Х,Х, и охтх,х,. Соседние частицы, которые находились в точках Р, н Яь до деформации, перемещаются соответственно в точки Р и Я деформированной конфигурации. Частное дифференцирование вектора перемещения и, по координатам приводит либо к материальному градиенту шремещения ди,/дХ;, либо к пространственному градиенту перемещения ди,/дхн При помощи формулы (3.13), которая представляет и, через разность координат, эти тензоры выражаются через градиенты деформации в лагранжевых (материальных) переменных — = — — б", или 1 — М'х = Р— ! (3 24) диь дх~ дХ7 дХ7 ыа гх. э. деФОРМАции Квадрат бесконечно малого расстояния между Р, и О есть (ЫХ)х = йХ ° йХ = йХа(Х, = б;фХйХЬ (3.28) Согласно (3.15), дифференциал расстояния йХо очевидно, равен йХ, = — йхь или йХ = Н йх, 13.
29) рис. ззь так что квадрат длины (г(Х)' в формуле (3.28) можно написать в виде (ИХ) = — — г(ха(х; =. Сцх1хфхд или (йХ)х = йх ° С ° йк дхх дхх (З.ЗО) (З.зз) (3.34) где тензор второго ранга Сц= — а, или С =Н, ° Н, ах, ах„ (3.31) дхс ахи называется тензором деформаций Коши. В деформированной конфигурации квадрат бесконечно малого расстояния между Р и Я равен (г)х)х = йх йх ля(х, = Ьцг(хх(хь (3.32) В силу (3.14) этот дифференциал расстояния имеет вид йх, = — 'йХь илн ох= Г.
йХ, дХ! так что квадрат длины (йх)' в формуле (3.32) может быть записан следукяцим образом: (йх)' — — — йХ йХг — байхфХь нли (йх)' = г(Х б ° йХ, В хе гензОРы деФОРмАпий. ТензОРы кОнечных деФОРмАпии 119 где тензор второго ранга (3.35) дХг дХ/ ' называется тензаром йформаций Грина. Разность (Йх)~ — (йХ)ь для двух соседних частиц сплошной среды используется как мера деформации некоторой окрестности этих частиц между начальным и конечным состояниями.
Если эта разность тождественно равна нулю для всех соседних частиц, то говорят, что имеет место абсолютно жесткое перемещение (перемещение сплошной среды как абсолютно твердого тела). Используя (3.34) и (3.28), эту разность можно представить в виде (г/х) — (йХ) = ( Ах х — бц)йХаХ/= 2/ох(Хх(Х/, или (й)ь — (йХ)'=йХ (Р, Р— 1) йХ вЂ”.йХ.2 йХ, (3.38) где тензор второго ранга ~ = 2 ( вх х.
— б ~ "'" ' = 2 (" ~ — '» (3.37) 1 / ах, Вх, 1 1 называется лагуанжевым тенэором конечных деформаций (или пмнэором конечных деформаций Грина). Используя (3.32) и (3.30), ту же самую разность можно представить в виде (йх) — (йХ) = ~бц — — — ) йх,йх/ = 2Егк/хгйх/, / дХА дХь 1 г или (дх)' — (йХ) = йх. (! — Н, - Н) йх = йх 2Ел йх, (3.38) где тензор второго ранга Ец = 2 (,бц — А А ~, или Ел = 2 (1 — Н, Н), (3.39) 1 / дХА дХА 1 1 дкг дк/ / ' называется эйлеравылг пмнвором конечных деформаций (или тенвоуом конечных дефьумаций Альманеи). Особенно полезна такая форма~лагранжева и эйлерова тензоров конечных деформаций, когда эти тензоры представлены в виде функций градиентов перемещения.
Тогда, если дхг/дХ1 из (3.24) подсгавнть в (3.37), то после некоторых простых алгебраических преобразований лагранжев тензор конечных деформаций примет вид 1 / диг диг диь диь 1 — — + — + — — 1, или 2 ~ дХ/ дХ~ пХг дХ1 /' 2 е+ (3.40) Гс. Х ДЕФОРМАЦИИ Таким же образом, если дХ,/дх, из (3.25) подставить в (3.39), в результате получим эйлеров тензор конечных деформаций в виде 1 / дис дт Гас дил 1 Ец — 1 — + — — — — ~, или 2 1 дх/ дхс дкс Вх/ /' Ел з (1( + 1(с 1(с 1') (3.41) Матричные представления тензоров (3.40) и (3.41) можно написать, непосредственно используя формулы (3.26) и (3.27) соответственно. 3.7. Теория малых деформаций. Тензоры бесконечно малых деформаций Так называемая теория малых деформаций в механике сплошных сред имеет своим основным условием требование малости градиентов перемещения по сравнению с единицей.
Основной мерой деформации служит разность (ах)' — (аХ)', которую можно выразить через градиенты перемещения, подставляя (3.40) и (3.41) в (3.36) и (3.38) соответственно. Если градиенты перемещения малы, то тензоры конечных деформаций в (3.36) и (3.38) сводятся к тензорам бесконечно малых деформаций, а результирующие соотношения представляют малые деформации.
Если все компоненты градиента перемещения ди,/дХ/ малы по сравнению с единицей, то произведения в формуле (3.40) пренебрежимо малы и их можно опустить. В результате получим лагранвхев тенэор бесконечно малых деформаций, который имеет вид 10= З ~ А/с + ~~' /' нлн = З (~7х+7х~)=с (л+ с) 1 (3.42) Аналогично если ди,/дх/(~ 1, то в (3.41) произведением можно пренебречь и мы придем к эйлерову тензору бесконечно малых деформаций, который по определению равен 1 / ди; ди! 1 1 1 ец= ~ '1 ах + В . / ° или Е = з (ц7„+ Ч„н) = з (К+1().
(3.43) Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы. то разница между материальными и пространственными координатами частины среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента ди,/дХ1 и компоненты пространственного градиента дис/дх; почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом,' если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то 11/ = ец, нли 1. = Е. (3.44) !21 аа относительное пеяемешеиив. дж дгч дХ/ дж да — — — — или — = н7х т = Л дХ дХ/ дХ дХ/ дХ (3.47) Так как материальный градиент перемещения ди;/дХ/ можно единственным образом разложить на симметричную и антйсимметричную части, то вектор относительного перемещения Ии, можно записать в виде (3.48) 1 Ж = ~ — (н7х+ 7хп) + — (п7х — 7 хи)~ аХ. 1.
2 2 или 3.8. Относительное перемещение. Тензор линейного поворота. Вектор поворота На рис. З.З перемещения двух соседних частиц изображены векторами и';~о и и)чл (см. также рис. 3.2). Вектор 1(и, = и/О" — и)~", ипи й~ = П'О~ — и'~", (3.45) называется вектором относительного перемен(ения частниы, расположенной первоначально в точке 1~,, относительно частицы, занимавшей положение Р,.
Предположим, что для поля перемещений выполнены условия непрерывности; тогда и~ "' можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки Р,. Пренебрегая в этом разложении членами более м~~ высокого порядка, для вектора относительного перемещения получаем 17о О)с с(и, = (ди,/дХ/) р.ИХ/, или дп = (п7х)р, ° с(Х. (3.46) Здесь скобки у частных произ- Р водных поставлены, чтобы под- мояр черкнуть, что производные вы- Я числены в точке Р,. Зти про- Рис. 3.3. изводные на самом деле являются компонентами материального градиента перемещения. Равенство (3.46) представляет лагранжеву форму вектора относительного перемещения.
Полезно также определить вгкпюр относительного перемещения, приходящийся на единицу длины рассматриваемого отрезка, ди,/ИХ, где дХ вЂ” модуль бесконечно малого вектора расстояния с(Х;. Согласно этому, если ч1 — единичный вектор направления бХ„ так что с(Х, = тфХ,то Гл а деФОРмАции В первом члене в квадратных скобках формулы (3.48) можно узнать лагранжев тензор линейной деформации 1,1. Второй член называется лагранжевым тензором линейного поворота и обозначается ! / ди; ди/1 1 Я7~ = — 1 — ' — — 1, или % = — (н7х — 7хи). (3.49) 2 1 дХ1 дХ~/' 2 Если тензор деформации /и тождественно равен нулю в окрестности точки Р„то относительное перемещение окрестности этой точки будет бесконечно малым поворотом абсолютно твердого тела. Этот бесконечно малый поворот можно представить лагранжевым века ором линейного поворота в = 1/хецЛГАь или тт = ~/АЧх Х н; (3.50) тогда соответствующее относителыюе перемещение запишется так: с(и, = ецхифХА, или йи = тт Х йХ.
(3.5)) Рассуждения, проведенные при лагранжевом описании вектора относительного перемещения, тензора линейного поворота и вектора линейного поворота, полностью можно повторить для эйлеровых аналогов тех же величин. Так, при эйлеровом подхоое имеем для векпвра относительного перемен(ения с(и,.= — 'йх/, или йн= К. йх, (3.52) а для вектора относительного перемещения, приходящегося на единицу длины, — = — ' — = — 'Рь или — = ЦЧ„)х = К. )х. (3.53) ли~ ди~ дх1 ди; ди дх дх1 дх дх1 дх — х ' Разложение эйлерова градиента перемещения ди,/дх1 дает (3.54) йн = ~ — (и7„+ 7„и) + — (и7 — Ч„и) ] ° йх.
1 1 — х х Первый член в квадратных скобках в (3.54) является эйлеровым тензором линейной деформации ви. Второй член есть эйлеров тензор линейною поворота ыц = — 1 — — — (-~, или 1) = — (И7„— 7.И). (3.55) 1 / ди~ ди 1 1 2 ~ дх1 дх~! ' 2 Формула (3.55) определяет эйлеров вектор линеиного поворота в1 = '/хецтмх/, или г» = /АЧ„Х п: (3.56) тогда относительное перемещение выражается следующим образом: Ни, = вилы/йхх, илн йи = ы 1с йх.
(3.57) ~ к ГеометРическиЙ смысл тензОРОВ линеи!!ых деФОРИАциЙ !ЕЗ 3.9. Геометрический смысл тензоров линейных деформаций В теории малых деформаций лагранжев тензор конечных деформаций /.и в формуле (3.35) можно заменить лагранжевым тензором линейных деформаций 1ен и тогда эта формула примет вид (7(х)7 — (с(Х)7 = (71х — Г(Х) (дх + с(Х) = 26фХ,4(Х/, или (3.58) ໠— лх или „=Р ° $. ° Р.
(3.59) Левая часть (3.59) характеризует изменение длины бесконечно малого элемента, приходящееся на единицу первоначальной дли- ны, и называется коэффициентом относительного удлинения линейного элемента, первоначально имевшего направляющие косинусы Г(Х,/7(Х. Применим формулу (3.59) к бесконечно малому линейному элементу Р, Я„расположенному относительно местных осей в точке Рс Х7 Р, так, как показано на рис. 3.4, и -::дХ получим коэффициент относительного удлинения этого элемента. Так как в этом случае РЯс расположен вдоль оси ХГР Г~Х ~/дХ (Х7/ (Х О с(Х7/с(Х =- 1, и поэтому в силу (3.59) лх — ЛХ дих лх ах, =1 (3.59) Рис. 3.4 Итак, оказывается, что коэффициент относительного удлинения элемента, первоначально расположенного вдоль направления Х, равен компоненте 1,„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
