1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (532401), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Точнотак же для элементов, первоначально лежащих вдоль осей Х, и Х„по формуле (3.59) коэффициенты относительных удлинений равны 1„и 1„соответственно. Таким образом, диагональные члены тензора линейных деформаций вообще представляют собой коэффициенты относительного удлинения вдоль осей координат. (с(х)7 — (с(Х)7 = (Нх — с(Х) (дх+ с(Х) = с(Х ° 2(. Г(Х. Для малых деформаций с(х — дХ, поэтому последнее равенство можно представить еще и так: сх — ДХ ЧХ; 0Х~ Гл.
3. ДЕФОРМАЦИИ Физическая интерпретация недиагональных членов (и основывается на рассмотрении линейных элементов, которые первоначально лежат вдоль двух осей координат. На рис. 3.5 линейные Рис. Зди ди " " ди "= дх '+'+ дх," (3.61) а единичный вектор, идущий из Р в М, равен ди " ди дХ е3+ дХ ел+ ез. 1 3 3 (3. 62) Поэтому ди3 дил дил дил со30= и,- пл — — — — + — ' дХ3 дХ3 дХ3 дхл (3. 63) или, пренебрегая членами более высокого порядка малости, созЕ = — + — = 2( . дил дил дХ дХ 33 (3.64) Кроме того, если рассмотреть изменение прямого угла между этими элементами у,л = и/2 — О и вспомнить, что в линейной теории у33 мало, то можно написать у,и 31пу33 — — 3(п(п!2 — 8) = созО= 2)33, (3.66) элементы Рс(~3 и Р,М„взятые первоначально на осях Х, и Х3, после деформации превращаются соответственно в линейные элементы РЯ и РМ в локальной системе координат с осями, параллельными исходным, и началом в точке Р.
Первоначально прямой угол между линейными элементами превращается в угол О. По формуле (3.46) в предположении теории малых деформаций в первом приближении единичный вектор, идущий из точки Р в точку (~, равен зза коэффициент длины. интвгпгвтхция конвчных двэогмхции )25 Следовательно, недиагональные члены тензора линейных деформаций представляют собой половины изменения углов между двумя первоначально ортогоиальными линейными элементами. Такие компоненты деформации называются дефорх(а(/ия»(и сдвига, а из-за множителя 2 в (3.66) эти компоненты теизора деформаций равны половине обычных»технических» деформаций сдвига.
Рассуждения, в основном аналогичные тем, которые только что были проведены для выяснения смысла компонент 1(/, могут быть проведены и для эйлерова тензора линейных деформаций вд. Основное различие заключено в выборе линейных элементов, которые прн эйлеровом подходе должны быть направлены вдоль осей координат после деформации.
Диагональные члены являются коэффициентами относительного удлинения, а недиагональные— деформациями сдвига. Для таких деформаций. для которых верно предположение /и — — еа, разницы между эйлеровым и лагранжевым подходами йет. 3.!О. Коэффициент длины. Интерпретация конечных деформаций Важной мерой деформации бесконечно малого линейного элемента является отношение 0х/((Х, известное под названием коэффициента длины.
Эту величину можно определить как для точки Р, в недеформированном состоянии, так и для точки Р в деформированном состоянии. Так, в силу (3.34) квадрат коэффициента длины в точке Р, для линейного элемента, взятого вдоль единичного вектора гп = ((Х/((Х, дается формулой ( ).= - = ° ' ' дх )~ х ((Х( ИХ; 2 — ! =Л. =Си — ' — ', или Л. =(п. С (и.
(3.66) О/( /е, (и» ' ((Х ((Х (зп) Аналогично в силу (3.30) обратная величина квадрата коэффициента длины для линейного элемента в точке Р, взятого вдоль единичного вектора.п = ((х/г/х, дается формулой ( †) = й/( !» ! ((х( дх) ! ((х е Х~ ' ((х ((х — = — = С( — — ', или — = и С и. (3.67) )» (и) ь» Для элемента, первоначально расположенного вдоль местной оси Х, (рис. 3.4), и) = е„и поэтому ((Х)/(!Х = ((Хх/((Х = О, дХ ((Х = 1, так что (3.66) для такого элемента дает Л'. =-О»» = 1+ 21»х„ (3.68) (ег 2» Такие же результаты получаются для Л и Л (е,) (м) 126 ге в двформдции Для элемента, параллелыюго оси хв после деформации, формула (3.67) дает 1/) '- = 1 — 2Е„ (3.60) (е,] и аналогичные выражения для 1/Л' я 1/а.'.. В общем случае !еа (е,] Л .
не равно Л -, так как элемент, расположенный до деформации (е,) (е,] вдоль оси Х„не обязательно будет после деформации направлен вдоль оси хгг Понятие коэффициента длины дает основу для интерпретации тензоров конечных деформаций. Так, изменение длины, приходящееся на единицу первоначальной длины (ол]носительное удлинение), определяется отношением (3.70) а для элемента РЯ„расположенного вдоль оси Х, (рис.
3.4), оно составляет В(а = Л. — ! = ) '1 + 25 — 1. (3.71) (е,] Зтот результат можно также получить непосредственно нз (3.36). В теории л(алых деформаций формула (3 71) сводится к (3.60). Относительные удлинения /(]] и /.(а] выражаются подобными равенствами через /.]] и /.аа соответственно. Изменение угла между двумя малыми линейными элементами, изображенными на рис. 3.5, характеризуется величиной у„= =и/2 — 0 и выражается через Л и Л следующим образом: (е,) (ее] 2 м 21еа (3.72) Д д Т']+~Г)/1+2/.
(е,] (ее] Если деформации малы, то (3.72) сводится к (3,65). 3.11. Теизоры коэффициентов длины. Тензор поворота ! В тензорном исчислении существует так называемое полярное разложение произвольного неособого тензора второго ранга. Оно состоит в том, что такой тензор можно представить произведением симметричного положительного (с положительными главными компонентами) тензора второго ранга на тензор второго ранга с ортогональной матрицей '). Если такое представление применить к градиенту деформации Г, то в результате получится ~(!=в ~~' = К]а5а( = Тга/7а(, или Г = й Б = Т. й, (3.73) ] ') Смотри, например: Седов Л.
1!., Введение в механику сплошной среды, гл. 1, $ 4, Физматгиэ, М., 1962.— Прим. перев. Гзт зла своиствл пеиовелзовлнии твнзовов двфоемлции где й — ортогональный тензор поворота, а $ и Т вЂ” положительные симметричные тензоры, которые называются правым и левыл| тенэорал|и коэффициентов длине| соответствеггно. Интерпретацию (3.73) легко получить, воспользовавшись соотношением (3.33) дхг = (дхгlдХг) дХР Подсгавляя сюда скалярные произведения, взятые из формулы (3.73), получаем е(хг = ЯглБлгг(Хг = 7|лКлгг(Хь или дх = В $ ° дХ = Т К ° дХ. (3,74) При помощи этих выражений превращение элемента дХ| в дх,. (рнс. 3.2) можно физически интерпретировать двояко.
Согласно первой форме записи правой части (3.74), это преобразование состоит из растяжения (3) н затем поворота с последующим переносом как твердого тела в точку Р. При второй форме записи сначала происходит параллельный перенос как твердого тела в точку Р, затем поворот и, наконец, растяжение (Т). Параллельный перенос не меняет, конечно, компонент вектора относительно декартовых осей Х, их,.
3.12. Свойства преобразований тензоров деформаций Все тензоры деформаций Еи, Е||,(и и ви, определенные соответственно формулами (3.37), (3.39), (3.42) и (3.43), являются декартовыми теизорами второго ранга. В соответствии с этим для со- Ряс. 3.6 вокупности повернутых осей Х;, имеющих матрицу преобразования (Ьи) относительно совокупности локальных осей без штрихов Х, в точке Р, (рис. 3.6, а), компоненты Ец и (гг выражаются формулами Ец = Ь!рЬмЕрц, или Вв В ° Со ° В„(3.75) )ц = ЬгрЬг,!е„ггли $.' = В . $.. В,.
(3.76) !за Гл э двФОРмхнии Точно так же для повернутых осей хс, имеющих матрицу преобразования!а(,1 относительно осей без штрихов (рис. 3.6, б), компоненты Е» и в» имеют вид Е» = а;еамЕ„, или Ел = А ° Ел А„(3.77) е;; = ас ае е,, или Е' = А ° Е ° А,. (3.78) По аналогии с поверхностью напряжений, описанной в 5 2.9, можно ввести лагранясееу и эйлероеу поверхности линейных деформаций (кеадрини деформаций) относительно локальных декартовых Рис.
3.7. координат т), и ~, в точках Р, н Р соответственно (рис. 3.7). Так, уравнение лагранжееой поверхности деформаций имеет вид )»Ч-7М = ~ Ь2, или Ч . $ Ч = ~ п2, (3.79) а уравнение эйлероеой поверхности деформаций — вид е~ДД; = ~ ае, или ° Е ° ь = д- аз. (3,80) Сушествуют два следующих важных свойства лагранжевой (эйлеровой) поверхности линейных деформаций.
1. Коэффициент удлинения вдоль некоторого луча, отнесенный к начальной (конечной) длине линейного элемента, обратно пропорционален квадрату расстояния от центра поверхности деформаций Р, (Р) до точки на этой поверхности. 2. Относительное перемешение соседней частицы, расположенной в точке Д, ( Д], параллельно нормали к поверхности деформаций в точке ее пересечения с линией Р, Щ„ (Рф .
Следуюшим шагом в изучении природы локальных деформаций в окрестности точки Р, является определение эллипсоссда деформаций в этой точке. Для этого возьмем в недеформированной среде материальный объем, ограниченный поверхностью в аиде бесконечно малой 129 злз. гллвныв двэовмхции.
инвлвилнты двеоемхции сферы радиуса Р. Уравнение этой поверхности в л1атериальных координатах в соответствии с формулой (3.28) будет (йХ) = БчйХаХ1= Щ или (аХ)'= йХ ° 1 ° йХ = Щ (3.81) После деформации уравнение поверхности того же самого материального объема при использовании формулы (3.30) оказывается таким: (йХ)з = С9,е)х9йх; = Щ или (йХ)з = йх ° С ° йх = Щ (3.82) и определяет эллипсоид, известный как материальный эллипсоид деформаций. Сферический в недеформированном состоянии объем сплошной среды превращается при деформации в эллипсоид с центром в точке Р,.
Подобным же образом заключаем, что бесконечно малый сферический объем в точке Р деформированной среды в не- деформированном начальном состоянии был эллипсоидальным. Уравнения этих поверхностей в локальных координатах получаются при помощи формулы (3.32) для сферы в виде (йх)' = Бцйхах1 = г', или (йх) = йх ° ! йх = г', (3.83) и при помощи формулы (3.34) для эллипсоида в виде (Нх)з = 0;9йХ9йХ1 = гз, или (йх)з = йХ ° С ° НХ = гз.
(3.84) Эллипсоид (3.84) называется пространственным эллипсоидом деформаций. Такие эллипсоиды, как описаны здесь„часго называются эллипсоидами деформации Коши. 3.13. Главные деформации. Инварианты деформации. Кубическое расширение Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным л1етодом, ю ж 9 9199СФ 9 ление тензора д маций — это ако ия е меняется п и чистоп е рмации 1ЕН анн лавное значение дефо мацки есть просто п иходящееся на единицу 9 " " ~ И9 ИШ~-999999 уйШйения)вдоль главного направления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
