Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. если вычисление данного интегралаПример 5.∫ xsinxdx = ∫ xd (−cosx ) = − xcosx − ∫ (−cosx )dx == − xcosx + sinx + C .14. Определенный интегралПусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b], a > b.Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками:a = x0 < x1 < x2 < ... < xi −1 < xi < ... < xn = b.53Обозначим это разбиение через τ , а точки x0, x1, x2, …, xn будемназывать точками разбиения.
В каждом из полученных частичныхотрезков [xi–1, xi] выберем произвольную точку ξi (xi −1 ≤ ξ ≤ xi ).Через Δ xi обозначим разность xi – xi–1, которую условимся называть длиной частичного отрезка [xi–1, xi].Образуем сумму:σ = f (ξ1 )Δx1 + f (ξ2 )Δx2 + ... + f (ξn )Δxn =n∑ f (ξ )Δx ,ii(1)i =1которую назовем интегральной суммой для функции y = f(x) на [a,b], соответствующей данному разбиению [a, b] на частичныеотрезки и данному выбору промежуточных точек ξi .Определение 1. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при λ → 0 , то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:bI =∫ f (x )dx(2)aИлиb∫af (x )dx = limλ →0n∑ f (ξ )Δx .iii =1В этом случае функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], числа a и b — соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, f(x) — подынтегральная функция, x — переменная интегрирования.Определение 2.
Функция f(x) называется интегрируемой (поРиману) на отрезке [a, b], если для любой последовательностиразбиений { τ л }, у которой lim λk = 0, соответствующая последоk →0вательность интегральных сумм {σ k } стремится к одному и томуже числу I.Теорема (необходимое условие интегрируемости функции). Еслифункция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она является ограниченной на этом отрезке.54Доказательство. Положим обратное, т. е.
допустим, что f(x) неявляется ограниченной на [a, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно за счет выбора точек ξ1, ξ2, ..., ξn сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка.Действительно, так как f(x) не является ограниченной на [a, b],то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, напримерна [x0, x1].
Выберем на остальных частичных отрезках точкиξ1, ξ2, ..., ξn произвольно и обозначимσ ′ = f (ξ 2 )Δx2 + f (ξ3 )Δx3 + ... + f (ξn )ΔxnЗададим произвольное число M > 0 и возьмем такое ξ1 на [x0, x1],чтобыσ′ + Mf (ξ1 ) ≥.Δx1Это можно сделать в силу неограниченности функции f(x) на[x0, x1]. Тогдаf (ξ1 )Δx1 ≥ σ ′ + Mиσ = f (ξ1 )Δx1 + σ ′ ≥ f (ξ1 )Δx1 − σ ′ ≥ M ,т. е. интегральная сумма σ не имеет конечного предела при λ → 0,а это означает, что определенный интеграл от неограниченнойфункции не существует.Свойства определенного интегралаПри выводе свойств определенного интеграла будем предполагать, что подынтегральная функция непрерывна на [a, b].1.
Из определения определенного интеграла следует, что интегралb∫ f (x )dx,aгде a и b — постоянные, есть число.Следовательно, определенный интеграл при постоянных пределах a и b зависит только от вида функции f(x) и не зависит от пе55ременной интегрирования x, которую поэтому можно обозначатьлюбой буквой:b∫bf (x )dx =∫af (t )dt =ab∫ f (z )dz,(1)a2. Если нижний предел интеграла равен верхнему пределу, тоинтеграл равен нулю:b∫ f (x )dx = 0.(2)aЭто предложение можно принять за определение. С геометрической точки зрения равенство (2) очевидно, так как основаниекриволинейной трапеции равно нулю, следовательно, площадь еетакже равна нулю.3.
Если верхний и нижний пределы интегрирования поменятьместами, то интеграл изменит свой знак:b∫af (x )dx = − f (x )dx .∫a(3)bВ определении определенного интеграла мы полагали, чтоотрезок [a, b] ориентирован и a < b. Напишем интегральную сумму, соответствующую первому интегралу равенства (3):nσ1 =∑ f (ξ )(x − xiii −1).(4)i =1Очевидно, что Δ xi = xi – xi–1 > 0.Теперь напишем интегральную сумму, соответствующую интегралу правой части равенства (3) при том же способе деления и выборе точек ξi в соответствующих частичных сегментах, получимnσ2 =∑ f (ξ )(xi −1 − xiii =1где – Δ xi = –(xi – xi–1) = xi–1 – xi.56),(5)Из равенств (4) и (5) следует, что σ 1 = −σ 2 .В этом равенстве перейдем к пределу при Δx → 0 ( Δ x = max Δ xi),получим равенство (3).4. При любом расположении точек a, b, c в промежутке интегрируемости f(x) имеет место равенство:bcbaac∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx.5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:b∫bkf (x )dx = k f (x )dx .∫a(6)aНапишем интегральную сумму, соответствующую интегралулевой части равенства (6):n∑ kf (ξ )Δxini=ki =1∑ f (ξ )Δx .iii =1В этом равенстве перейдем к пределу при Δx → 0 , получимравенство (6).6.
Интеграл постоянной величины равен произведению этойпостоянной на длину промежутка интегрирования:b∫ cdx = c (b − a ).aСледствие. Если подынтегральная функция равна нулю, тоопределенный интеграл тоже равен нулю.7. Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:bbbb∫ [f (x ) + f (x ) − f (x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx.1a2312aa573a(7)Разделим отрезок [a, b] на n произвольных частей, составиминтегральную сумму, соответствующую интегралу левой частиравенства (7), и преобразуем ее:nni =1i =1∑ [f1(ξi )+ f2 (ξi )− f3 (ξi )] Δxi = ∑ f1(ξi )Δxi + ∑ f2 (ξi )Δxi −−∑ f (ξ )Δx .3i(8)iВ равенстве (8) перейдем к пределу при Δx → 0 , получим равенство (6).8.
Пусть f ( x ) ≤ ϕ ( x ) на отрезке [a, b], тогдаbbaa∫ f (x )dx ≤ ∫ϕ (x )dx.(9)Разделим отрезок [a, b] на n произвольных частей и составиминтегральные суммы для данных двух функций. Точки ξi в частичных сегментах выбираем произвольно, но для отдельныхсумм одни и те же, получим:n∑ f (ξ )Δx ≤ ∑ϕ (ξ )Δx .iiii(10)i =1В неравенстве (10) перейдем к пределу при Δx → 0 , получимнеравенство (9).9. Теорема (о среднем значении). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], тогдаb∫ f (x )dx = (b − a )f (c ),где c ∈ [a,b ].(11)aДоказательство. Известно, что непрерывная функция f(x) наотрезке [a, b] является ограниченной и достигает наибольшегои наименьшего своих значений, т.
е. m < f(x) < M.Это двойное неравенство проинтегрируем, получимb∫ mdx ≤ab∫ f (x )dxa58b≤∫ Mdx .aВоспользовавшись свойством 6, будем иметьbm(b − a ) ≤b∫ f (x )dx ≤ M (b − a ),откуда m ≤∫ f (x )dxaab −a≤ M.Непрерывная функция f(x) принимает все свои промежуточные значения, заключенные между m и M. Поэтому найдется такая точка c ∈ [a, b], чтоbf (c )=∫ f (x )dxab −a,отсюда получаем равенство (11).Теорема доказана полностью.Геометрический смысл теоремы. Если непрерывная функцияf(x) > 0, то равенство (11) можно прочитать так: площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника, основаниемкоторого служит основание этой трапеции, а высотой — некоторая средняя ордината.15. Суммы Дарбу и их свойстваПусть функция f(x) является ограниченной на отрезке [a, b]и τ — разбиение этого отрезка точками a = x0 < x1 < x2 < … < xi1 << xi < … < xn = b.
Обозначим через mi и Mi соответственно точнуюнижнюю и точную верхнюю грани этой функции на отрезке [xi1, xi]и составим следующие суммы:nS = M1Δx1 + M 2 Δx2 + ... + M n Δxn =∑ M Δx ,iii =1ns = m1Δx1 + m2 Δx 2 + ... + mn Δx n =∑ m Δx .iii =1Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения τ отрезка [a, b].59Из определения верхней и нижней граней следует, чтоmi ≤ f (ξi ) ≤ M при ξi ∈ [ xi −1, xi ].Отсюдаns=∑i =1nmi Δxi ≤ σ =∑f (ξi )Δxi ≤i =1n∑ M Δx = S ,iii =1т. е. любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного разбиения связаны неравенствами: s ≤ σ ≤ S .
(1)Свойства сумм Дарбу1. Для любого фиксированного разбиения τ и для любогоε > 0 точки ξi на отрезках [xi1, xi] можно выбрать так, что интегральная сумма σ будет удовлетворять неравенствам: 0 ≤ S − σ < ε .Точки ξi можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам: 0 ≤ σ − s < ε .Доказательство.
Пусть τ — некоторое фиксированное разбиение отрезка [a, b]. Докажем, например, неравенства0 ≤ S − σ < ε . Согласно свойству точной верхней грани Mi дляданного ε > 0 на [x i1 , x i ] можно указать такую точку ξi , чтоε0 ≤ M i − f (ξi ) <, I = 1, 2, …, nb −aУмножая эти неравенства на Δ xi и затем складывая, получаем:0 ≤ S − σ < ε . Аналогично устанавливаются неравенства 0 ≤≤σ −s <ε.2. От добавления к данному разбиению τ отрезка [a, b] новыхточек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняяне увеличивается.Доказательство. Для доказательства достаточно ограничитьсядобавлением к данному разбиению τ еще одной точки разбиенияx', так как добавление нескольких точек разбиения можно провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая точка x'попала на отрезок [x i1 , x i ].
Обозначим соответственно через s и s'нижние, а через S и S' — верхние суммы Дарбу данного разбиенияи полученного из него добавлением точки x' разбиения τ '.Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу s и s'. Обозначим через m'i и m''i точные нижние грани функции f(x) соот60ветственно на отрезках [x i1 , x'] и [x', x i ]. В сумму s входит слагаемое mi Δ xi, а в сумму s' вместо него — слагаемые m'i(x' – x i1 ) ++ m''i(x i – x'). Остальные слагаемые в суммах s и s' одинаковы. Таккак m'i > mi, m''i > mi (точная нижняя грань на части [xi1, x'] не меньше точной нижней грани на всем [x i1 , x i ]), тоmi′ (x ′ − xi −1 ) + mi′′(xi − x ′) ≥ mi (x ′ − xi −1 ) + mi (xi − x ′) = mi Δxi .Отсюда следует, что s' > s.Аналогично доказывается, что S > S'.3.
Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения τ ' не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения τ ''.Доказательство. Пусть s' и S ', s'' и S '' — нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений τ ' и τ ''. Рассмотрим разбиение τ , состоящее из всех точек, входящих в разбиения τ ' и τ ''.Обозначим его суммы Дарбу через s и S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
