Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(n − k + 1) (n −k ) (k )uv + ...+ uv (n ).k!Эта формула называется формулой Лейбница.Рассмотрим дифференциалы высших порядков. Для удобствабудем наряду с обозначениями дифференциалов символами dyи dx использовать обозначения δ y и δ x.Определение.
Пусть функция f (x) дифференцируема в каждойточке x некоторого промежутка, тогда ее дифференциал dy == f ' (x)dx, который назовем дифференциалом первого порядка,является функцией двух переменных — аргумента x и его дифференциала dx. Пусть функция f ' (x), в свою очередь, дифференци35руема в некоторой точке x.
Будем рассматривать dx в выражениидля dy как постоянный множитель. Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x, а ее дифференциалв точке x имеет вид:δ (dy ) = δ [ f ' ( x )dx ] = [ f ' ( x )dx ]' δx = f '' ( x )dx δx .Дифференциал δ(dy) от дифференциала dy в точке x, взятыйпри δx = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d2y, т.
е. d2y = f ' ' (x)(dx)2.В свою очередь, дифференциал δ(d2y) от дифференциала d2y,взятый при δx = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f (x) и обозначается d3y и т. д. Дифференциал δ(dn1y)от дифференциала dn1y, взятый при δx = dx, называется дифференциалом nго порядка функции f (x) и обозначается dny.Докажем, что для nго дифференциала функции справедливаформула:dny = y(n)(x)(dx)n, n = 1, 2, 3…Доказательство проведем по индукции.
Для n = 1 и n = 2 формула доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n – 1:dn1y = y(n1)(x)(dx)n1,а функция y(n1)(x), в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке x. Тогдаd n y = δ (d n −1y ) = δ [ y (n −1) ( x )(dx )n −1] == [ y (n −1) ( x )(dx )n −1 ]' δx = y (n ) ( x )δx(dx )n −1Полагая δx = dx, получаемd n y=δ (d n −1 y ) |δx = dx = y (n ) ( x )(dx )n ,что и требовалось доказать.3610. Признаки монотонности, экстремумы,максимумы, минимумы, выпуклость, вогнутостьи точки перегиба. Асимптоты графика функцииОпределение 1. Функция f (x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на некотором множестве X, если для любойпары чисел x1 и x2, принадлежащих этому множеству, из неравенства x1 < x2 следует f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)).Теорема 1.
Пусть функция непрерывна на интервале (a, b)и имеет на нем конечную производную, тогда:1) если производная f ' (x) > 0 на интервале (a, b), то функциявозрастает в этом интервале;2) если производная f ' (x) < 0 на интервале (a, b), то функцияубывает в этом интервале.Доказательство. Для случая 1) возьмем на интервале (a, b) любые два значения x1 и x2 (x1 < x2) и применим теорему Лагранжа,получим:f (x2) – f (x1) = (x2 – x1)f ' (c) (x1 < c < x2).Так как x2 – x1 > 0 и по условию f ' (c) > 0 (c ∈(a, b)), то f (x2) –– f (x1) > 0, т.
е. f (x1) < f (x2). Это и означает, что функция возрастает на интервале.Для случая 2) теорема доказывается аналогично.Теорема 2. Пусть функция f (x) в точке x0 имеет производнуюf ' (x0). Если f ' (x0) > 0, то функция f (x) в точке x0 возрастает, еслиf ' (x0) < 0, то функция f (x) в точке x0 убывает.Доказательство. По определению производной имеем:limΔx → x 0f (x )− f (x0 )= f ' (x0 ).x − x0Если f ' (x0), то для достаточно близких к x0 значений x будетвыполняться равенство:f (x ) − f (x0 )> 0.x − x0Отсюда следует, что если x < x0, то f (x) < f (x0), и если x > x0, тоf (x) > f (x0), т.
е. функция f (x) в точке x0 возрастает. Аналогич37ными рассуждениями доказывается, что если f ' (x0) < 0, то f (x)в точке x0 убывает.Теорема доказана.Определение 2. Говорят, что функция f (x) имеет в точке x0 максимум f(x0), если в некоторой окрестности этой точки (при x ≠ x0) выполняется неравенство:f (x) < f (x0).(1)Функция f (x) имеет в точке x0 минимум f(x0), если в некоторойокрестности этой точки (при x ≠ x0) выполняется неравенство:f (x) > f (x0).(2)Таким образом, поведение функции рассматривается в окрестности точки x0, и при выполнении условия (1) говорят, что функция в точке x0 имеет локальный (местный) максимум, а при выполнении (2) — локальный минимум.Максимум и минимум функции называются экстремумамифункции.
Точка, в которой функция имеет минимум или максимум, называется точкой экстремума функции.Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f (x)в точке x0 ∈(a, b) имеет экстремум и в этой точке существует конечная производная, то она равна нулю.Доказательство. По условию функция f (x) в точке x0 имеетмаксимум (минимум), т.
е. на интервале (x0 – ε , x0 + ε ) ⊂(a, b)в точке x0 функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, и в этой точке существует конечная производная, следовательно, по теореме Ферма f ' (x0) = 0.Теорема доказана.Достаточные условия экстремумаПервое правило. Если при переходе (слева направо) через критическую точку x0 производная f ' (x0) меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция f (x) имеет максимум; если с минуса наплюс, то минимум; если знака не меняет, то экстремума нет.Второе правило. Пусть x0 есть стационарная точка функцииf(x), т. е.
f ' (x0), и существует вторая производная в этой точкеf ' ' (x0), тогда:1) если вторая производная f ' ' (x0) > 0, то в точке x0 функцияимеет минимум;382) если f ' ' (x0) < 0, то — максимум;3) если f ' ' (x0) = 0, то вопрос остается открытым, и для его решения надо применить первое правило.Доказательство. Пусть f ' ' (x0) > 0, тогда f ' (x) в точке x0 естьфункция возрастающая (по теореме 2), т. е.
если x < x0, тоf ' (x) < f ' (x0) = 0, если x > x0, то f ' (x) > f ' (x0) = 0.Итак, при переходе через точку x0 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в точке x0 функция имеет минимум.Пусть f ' ' (x0) < 0, тогда f ' (x) в точке x0 есть функция убывающая, т. е. в окрестности точки x0 выполняются условия:если x < x0, то f ' (x) > f ' (x0) = 0,если x > x0, то f ' (x) < f ' (x0) = 0.Производная меняет знак с плюса на минус, значит, в точке x0функция имеет максимум.Определение 3. Кривая обращена вогнутостью вверх (вогнутость) на интервале (a, b), если все точки кривой лежат выше ее касательной на этом интервале.Кривая обращена вогнутостью вниз (выпуклость) на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательнойна этом интервале.Определение 4.
Точка M(x0, y0) называется точкой перегиба,если в некоторой окрестности точки x0 при x < x0 вогнутость кривой направлена в одну сторону, а при x > x0 — в другую сторону.Иначе говоря, точка M(x0, y0), отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.Заметим, что кривая пересекает касательную в точке перегибаи переходит с одной ее стороны на другую.Теорема 1. Если функция f (x) на интервале (a, b) имеет вторуюпроизводную f ' ' (x) > 0, то кривая y = f (x) вогнута.Теорема 2. Если функция f (x) на интервале (a, b) имеет вторуюпроизводную f ' ' (x) < 0, то кривая y = f (x) выпукла.Теорема 3.
Если при переходе через критическую точку x0 вторая производная f ' ' (x) меняет знак, то точка M(x0, y0) есть точкаперегиба кривой y = f (x).Доказательство. Если вторая производная при переходе черезточку x0 меняет знак с плюса на минус, то на кривой совершаетсяпереход от точек вогнутости к точкам выпуклости, и, наоборот,если вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то накривой переходим от точек выпуклости к точкам вогнутости.Следовательно, точка M(x0, y0) есть точка перегиба графика функции y = f (x).39Горизонтальные асимптотыЕсли расстояние b от точки M кривой y = f (x) до прямой y = bстремится к нулю при неограниченном удалении точки M от начала координат (вправо или влево), то прямая y = b есть горизонтальная асимптота этой кривой. Если d → 0 при x → + ∞( x → −∞ ), то y → b.Итак, чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции y = f (x), надо отыскать пределы:lim f (x ) = b и lim f (x ) = b1,Δx → +∞Δx → −∞(3)Если пределы (3) конечные и различные, то прямые y = bи y = b1 будут горизонтальными асимптотами.
Может оказаться,что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет однагоризонтальная асимптота. Если же конечных пределов (3) нет,то нет и горизонтальных асимптот.Вертикальные асимптотыЕсли при x → x0 (слева или справа) расстояние d от точки Mкривой y = f (x) до прямой x = x0 стремится к нулю, а точка M неограниченно удаляется от начала координат (вверх или вниз), топрямая x = x0 есть вертикальная асимптота этой кривой.Следовательно, если хотя бы один из односторонних пределовфункции в точке x0 равен бесконечности:limΔx → x 0 + 0f (x ) = ∞ иlimΔx → x 0 − 0f (x ) = ∞,(4)то прямая x = x0 есть вертикальная асимптота графика этой функции.Очевидно, что если выполняется хотя бы один из односторонних пределов (4), то точка x0 является точкой разрыва функциивторого рода.Наклонные асимптотыПрямая y = kx + b, называется наклонной асимптотой графикафункции y = f (x), при x → + ∞ ( x → −∞ ), если:1) некоторый луч (a, + ∞ )( −∞ , a) целиком принадлежит D(f)2)limΔx → +∞[f (x )− (kx + b)]= 0 (limΔx → −∞40[f (x )− (kx + b)]= 0)0011.
Неопределенности видаи∞∞.Правило Лопиталя.Раскрытие неопределенностей вида0.0Будем говорить, что отношение двух функцийx → a есть неопределенность вида0, если lim f ( x ) =x →a0f (x)приg(x )limx →aРаскрыть эту неопределенность — значит вычислитьg ( x ) = 0.limx →af (x),g (x )если он существует, или установить, что он не существует. Следующая теорема устанавливает правило для раскрытия неопределен0ности вида .0Теорема Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением,быть может, самой точки a. Пусть далее lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0x →ax →aи g' (x) в указанной окрестности точки a.
Тогда если существуетf (x )предел отношения производных lim '(конечный или бескоx →a g (x )нечный), то существует и пределформула:limx →af (x )=g (x )f (x )limx →ag' ( x )limx →ag' ( x )f (x ), причем справедлива.Доказательство. Пусть {xn} — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к точке a, причем xn ≠ а.Доопределим функции f(x) и g(x) в точке a, положив их равныминулю, т. е. f(a) = g(a) =0.
Тогда, очевидно, функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, xn], дифференцируемы на интервале (a, xn),и по условию g' (x) ≠ 0. Таким образом, для f (x) и g(x) выполненывсе условия теоремы Коши на [a, xn], т. е. внутри [a, xn] существует такая точка ξn , чтоf ( xn ) − f (a) f ' (ξn ), ξn ∈ (a, xn ).=g ( xn ) − g (a) g' (ξn )41По доопределению f(a) = g(a) = 0, следовательно,f ( xn ) f ' (ξn ), ξn ∈ (a, xn ).=g ( xn ) g' (ξn )(1)Пусть теперь в формуле (1) n → ∞ .
Тогда очевидно, что ξn → aпри n → ∞ . Так какlimx →af ' (x )g' ( x )существует, то правая часть формулы (1) имеет при n → ∞ предел, равныйlimx →af ' (x )g' ( x ). Следовательно, при n → ∞ существует предел и левой части формулы (1),причемlimn →∞f ( xn )=g ( xn )f ' (x )limx →a.g' ( x )Так как {xn} — произвольная последовательность значений аргуf (x)мента, сходящаяся к точке a, то отсюда заключаем, что limx →a g (x )существует иlimx →af (x )=g (x )limx →af ' (x )g' ( x ).Теорема доказана полностью.Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя.Замечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
