Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Теорема остается верной и в случае, когдаx → + ∞, x → −∞ .Замечание 2. Если производные f ' (x) и g' (x) удовлетворяют темже требованиям, что и сами функции f(x) и g(x), то правилоЛопиталя можно применить повторно. При этом получаем:limx →af (x )f ' (x )= lim '=g ( x ) x →a g ( x )42limx →af ' ' (x )g' ' ( x ).Рассмотрим примеры.1 − cosxsinx 1sinx 11= lim= lim= ×1= .x → 0 2x2 x →0 x22x2xxe −1e2. lim= lim= lim e x = 1.x →0x →0 1x →0x1.limx →0Раскрытие неопределенности виданошение двух функций∞. Будем говорить, что от∞f (x)при x → a есть неопределенностьg(x )∞, если lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ , + ∞ или −∞ .x →ax →a∞Для этой неопределенности справедливо утверждение, аналогичное предыдущей теореме, а именно: если в формулировке теовидаремы заменить требованиеlimx →af (x ) =limx →alimx →af (x ) =limx →ag ( x ) = 0 условиемg ( x ) = ∞ , то теорема останется справедливой.Рассмотрим примеры.1.limx →+ ∞2.limx →+ ∞lnx(1 / x )= lim=x→+∞x1xnex=limx →+ ∞nx n −1ex=limx →+ ∞limx →+ ∞1= 0.xn(n − 1)x n − 2ex= ...
=n!limx →∞ e x= 0.12. Формула ТейлораТеорема (Тейлора)Пусть функция f(x) имеет в точке a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть x — любое значение аргумента из указанной окрестности, x ≠ a . Тогда между точками xи a найдется такая точка ξ , что справедлива следующая формула:f ( x ) = f (a) ++f ' (a)f ' ' (a)( x − a) +( x − a)2 + ... +1!2!f (n+1)(ξ )f (n ) (a)( x − a )n+1.( x − a)n +(n + 1)!n!43(1)Доказательство. Обозначим через ϕ (x, a) многочлен относительно x степени n, стоящий в правой части формулы (1), т.
е. положим( x, a ) = f (a)+f ' (a)f '' (a)( x − a)+( x − a)2 + ...+1!2!+f (n ) (a)( x − a)n .n!Он называется многочленом Тейлора степени n для функции f(x).Далее обозначим через Rn+1(x) разность:Rn+ 1( x ) = f ( x ) − ϕ ( x, a ).Теорема будет доказана, если установить, чтоRn+1( x ) =f (n+1) (ξ )( x − a)n+1, a < ξ < x .(n + 1)!Фиксируем любое значение x из указанной окрестности. Дляопределенности считаем x > a. Обозначим через t переменную величину, изменяющуюся на отрезке [a, x], и рассмотрим на отрезке вспомогательную функциюF (t ) = f ( x ) − ϕ ( x, t ) −( x − t )n+1Rn+1( x )( x − a )n+1.(2)Функция F(t) удовлетворяет на отрезке [a, x] всем условиямтеоремы Ролля:1) из формулы (2) и из условий, наложенных на функцию f(x),вытекает, что F(t) непрерывна и дифференцируема на [a, x],так как f(t) и ее производные до порядка n непрерывны и дифференцируемы на [a, x];2) полагая в (2) t = a, имеем:F (a ) = f ( x ) − ϕ( x, a) − Rn+ 1( x ) = Rn+ 1( x ) − Rn+ 1( x ) = 0.44Полагая в (2) t = x, получаем:F (x ) = f (x ) − f (x ) −...
−f ' (x )f '' ( x )(x − x) −( x − x )2 − ...1!2!( x − x )n+1Rn+1( x )f (n ) ( x )= 0.( x − x )n −n!( x − a )n+1Таким образом, условие F(a) = F(x) выполнено.На основании теоремы Ролля внутри отрезка [a, x] существуеттакая точка ξ , чтоF ' ( ξ ) = 0.(3)Вычислим производную F' (t). Дифференцируя равенство (2)по t, получаем:F ' (t ) = − f ' (t ) ++f ' (t ) f ' ' (t )f ' ' (t )( x − t )+2( x − t )2 + ... +−1!1!2!(n + 1)( x − t )n Rn+1( x )f (n+1) (t )f (n ) (t ).( x − t )n +n( x − t )n −1 −n!n!( x − a)n+1Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, заисключением двух последних, взаимно уничтожаются.
Таким образом,F ' (t ) = −f (n+1)(t )(n + 1)( x − t )n Rn+1( x ).( x − t )n +n!( x − a )n+1Полагая в (4) t = ξ и используя равенство (3), получаем:F ' (ξ ) = −f (n+1) (ξ )(n + 1)( x − ξ )n Rn+1( x )= 0,( x − ξ )n +n!( x − a)n+145(4)откудаRn+1( x ) =f (n+1) (ξ )( x − a)n+1, a < ξ < x .(n + 1)!Теорема полностью доказана.Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение дляRn+1(x) — остаточным членом в форме Лагранжа.Формула Маклорена. Формула Маклорена получается из формулы Тейлора при a = 0:f ( x ) = f (0)+f ' (0)f ' ' (0) 2f (n ) (0) n( x )+( x ) + ...+( x ) + Rn+1( x ).1!2!n!Существуют различные формы остаточного члена в формулеТейлора, например:Rn(x) = O((x – a)n) остаточный член в форме ПеаноRn ( x ) =f (n+1) [a + θ ( x − a )](1 − θ )n ( x − a)n+1,(n − 1)!0 < θ < 1 остаточный член в форме Коши.Пример 1.
Запишем многочлен Тейлора при a = 0 для функцииf(x) = ex. Производные любого порядка для этой функции совпадают с самой функцией f(x)(n) = f(x) = ex. Поэтому формула Тейлора для функции f(x) = ex с остатком в форме Лагранжа имеет следующий вид:e x = 1+ x +x2x n −1+ Rn ( x ),+ ...+2!(n − 1)!Rn ( x ) =xn θxe , 0 < θ < 1.n!Если положить x = 1 , то получим приближенное выражение для e:e ≈ 1+ 1+11+ ...+.2!(n − 1)!46Остаточный член можно оценить следующим образом:Rn (1) ≤13e< .n!n!Пример 2.
Запишем многочлен Тейлора при a = 0 для функцииπnπn) , f (n ) (0) = sin( ) . Значит, форf(x) = sin x. f (n ) ( x ) = sin( x +22мула Тейлора для функции f(x) = sinx с остатком в формеЛагранжа имеет следующий вид:sinx = x −x 2k −1x3+ ...+ (−1)k+1+ R2k+1( x ),3!(2k − 1)!R2k+1( x ) =x 2k+1πsin(θx + (2k + 1) ), 0 < θ < 1.(2k + 1)!2Для любого x остаток стремится к нулю при k → ∞ .13. Первообразная функцияи неопределенный интегралВ дифференциальном исчислении мы находили производнуюи дифференциал данной функции F(x):F ' (x + Δx )− F ' (x )и dF ( x ) = F ' ( x )dx .Δx →0ΔxF ' (x )= limОбозначим производную F '(x) через f (x), тогдаF '(x) = f (x) и dF(x) = f (x)d.В интегральном исчислении решается обратная задача — отыскание функции F(x) по заданной ее производной f (x) или дифференциалу f (x)dx, т.
е. для заданной функции f (x) надо найтитакую функцию F(x), производная которой F '(x) = f (x), или дифференциал ее dF(x) = f (x)dx.47Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве X, если производная ееF'(x) = f(x) или дифференциал ее dF(x) = f(x)dx на этом множестве.Теорема. Если две различные функции F(x) и Ф(х) являютсяпервообразными функциями для функции f (x), то они отличаются одна от другой на произвольную постоянную.Определение 2.
Совокупность всех первообразных функцийF(x) + C для функции f (x) называется неопределенным интеграломфункции f (x) и обозначается символом∫ f (x )dx , в котором неявным образом содержится произвольная постоянная.Из определения неопределенного интеграла вытекают егосвойства.'1.
⎛⎜ f ( x )dx ⎞⎟ = f ( x ) , т. е. производная от неопределенного⎝⎠интеграла равна подынтегральной функции. Действительно,∫⎛⎜⎝2. d∫ f (x )dx =∫'f ( x )dx ⎞⎟ = [F ( x ) + C ]' = f ( x ).⎠f ( x )dx , т. е. дифференциал неопределенногоинтеграла равен подъинтегральному выражению. Иначе говоря,знаки дифференциала и интеграла, когда первый предшествуетвторому, взаимно сокращаются. Действительно,d3.∫ f (x )dx = d [F (x ) + C ]= [F (x ) + C ]dx ='f ( x )dx .∫ dF (x ) = F (x ) + C , т. е.
неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольного постоянного. Действительно,∫ dF (x ) = ∫ F (x )dx = ∫ f (x )dx = F (x ) + C .'48Основные методы интегрированияНепосредственное интегрирование. Докажем основные правилаинтегрирования.∫∫1. af ( x )dx = a f ( x )dx (a ≠ 0), т. е. постоянный множительможно выносить за знак неопределенного интеграла.Найдем производную от правой части данного равенства.'⎛⎜ a f ( x )dx ⎞⎟ = a⎛⎜⎝⎠⎝∫'∫ f (x )dx ⎞⎟⎠ = af (x ),∫следовательно, функция F ( x ) + C = a f ( x )dx есть первообразнаяфункции для функции af (x), что и требовалось доказать.2.∫ [f (x )+ f (x ) − f (x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx,123123т. е.
неопределенный интеграл алгебраической суммы несколькихфункций равен алгебраической сумме их интегралов.Найдем производную от правой части равенства.Таким образом, функцияF (x ) + C =∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx123есть первообразная функция для функцииf (x) = f1 (x) + f2 (x) – f3 (x),так как F '(x) = f (x).Правило 2 доказано.Пример 1.∫ (3x2− 4x +5x∫∫∫)dx = 3 x 2dx − 4 xdx + 5 x −1 / 2dx == x 3 − 2 x 2 + 10 x + C .49Метод подведения под знак дифференциала.
Подведение подзнак дифференциала постоянного слагаемого: если= F ( x )+ C , то∫ f (x )d (x ) =∫ f (x + a)d (x ) = F (x + a) + C ,где a = constПример 2.∫xdx2− 10 x + 15==dx∫ (x − 5)2− 10=d ( x − 5)∫ (x − 5)2− 10=⏐x − 5 − 10⏐ln⏐⏐+ C .2 10 ⏐x − 5+ 10⏐1Подведение под знак дифференциала постоянного множите1ля: если f ( x )dx = F ( x ) + C, то f (ax )dx = F (ax ) + C, где a =a= const.∫∫Пример 3.dx1d11x1∫ sin 11x = 11 ∫ sin 11x = − 11 ctg11x + C22Методы подведения под знак дифференциала постоянногомножителя и постоянного слагаемого комбинируются: если1f ( x )dx = F ( x ) + C, то f (ax + b )dx = F (ax + b ) + C, где a,b =a= const.Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки).Если интеграл непосредственно не вычисляется, то во многихслучаях к цели приводит метод интегрирования заменой переменной. Он является основным методом вычисления неопределенных интегралов.1.
Пусть требуется найти∫∫∫ f [ϕ(x )]ϕ (x )dx,'(1)где подъинтегральная функция непрерывна. Применив подстановку t = ϕ (x) , получим50∫ f [ϕ(x )]ϕ (x )dx = ∫ f (t )dt ,'(2)где dt = ϕ' ( x )dx .Предположим, что интеграл правой части равенства (2) проще,чем в левой части, и мы нашли его значение, равное F(t) + C, т. е.∫ f (t )dt = F (t )+ C , где dF (t ) = F (t )dt = f (t )dt , тогда'∫ f [ϕ(x )]ϕ (x ) dx = F [ϕ(x )]+ C .'(3)Докажем, что равенство (3) справедливо. Для этого найдемдифференциал правой части этого равенства:d {F [ϕ( x )]+ C } = F ' [ϕ ( x )]ϕ' ( x )dx = f [ϕ ( x )]ϕ' ( x )dx .Получили подъинтегральное выражение интеграла левой части равенства (3), следовательно, это равенство справедливо.Полезно запомнить частный случай:∫f ' (x )dx = ln | f ( x ) | + C .f (x )(4)Интеграл от дроби, числитель которой есть дифференциалзнаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.Действительно, положим f (x) = t, тогда f ' (x)dx = dt и∫f ' (x )dx =f (x )dt∫t= ln | t |+ C = ln | f ( x ) | + C .2.
Пусть требуется найти интеграл∫ f ( x )dx,(5)где функция f (x) непрерывна. Первообразная функция для функции f (x) нам неизвестна. Произведем замену переменной, поло51жив x = ϕ (t ) , тогда dx = ϕ' (t )dt , причем функция ϕ (t ) строго'монотонна и имеет непрерывную производную ϕ (t ) . Обратнуюфункцию по отношению к функции x = ϕ (t ) обозначим черезt = ϕ (x ) .Докажем, что∫ f ( x )dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ (t )dt .'(6)Для этого достаточно показать, что дифференциал правой части равенства (6) равен подынтегральному выражению интеграла левой части этого равенства при x = ϕ (t ) или, что то же самое,при t = ϕ (x ) .Действительно,∫ f [ϕ(t )]ϕ (t ) dt = f [ϕ(t )]ϕ (t ) dt = f (x ) dx.''Следовательно, равенство (6) справедливо.Таким образом, чтобы вычислить интеграл левой части равенства (6), надо найти интеграл в правой части этого равенстваи в полученном выражении перейти от t к прежней переменной xпо формуле t = ϕ (x ) .Заметим, что такое преобразование интеграла (5) целесообразно лишь в том случае, если интеграл в правой части равенства(6) проще по сравнению с данным интегралом (5).Пример 4.∫x=12adx2−a⎛21=12a∫x12a2−a⎞2dx =∫ ⎜⎝ x − a − x + a ⎟⎠dx ==12a12a∫∫( x + a) − ( x − a)dx =( x + a)( x − a)d ( x − a)1−x −a2a∫d ( x + a)=x+ax − a⏐11 ⏐⏐+ C(ln|x − a| − ln|x + a|) + C =ln⏐2a2a ⏐x + a⏐52Метод интегрирования по частям.
Формула интегрирования почастям имеет следующий вид:∫ udv = uv − ∫ vdu,(7)где функции u(x) и v(x) — непрерывно дифференцируемые в некоторой области X.Докажем эту формулу. Известно, что d(uv) = udv +vdu , отсюда∫ d (uv ) = ∫ udv + ∫ vdu,∫ udv = ∫ d (uv ) − ∫ vdu = uv + C − ∫ vdu.Присоединив к одному из двух неопределенных интеграловпроизвольную постоянную C, получим формулу (7).Применение формулы (7) для вычисления интеграла∫ udv будем считать удачным, если интеграл в правой части равенства (7)проще по сравнению с интегралом левой части этого равенства,∫ udv мы свели к вычиcлению другого более простого интеграла vdu .∫т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
