Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Нетрудно видеть, что эта ограниченная на сегменте [0, 1]последовательность имеет своей предельной функцией разрывную функцию⎧0, 0 ≤ x < 1,y = ⎨x = 1,⎩1,которая не принадлежит пространству C. Всякая подпоследовательность рассмотренной последовательности будет сходитьсяк той же разрывной функции, т. е. не будет сходиться в пространстве C [0, 1].Рассмотрим критерий компактности в пространстве C.

Введемпредварительно два определения.78Определение. Функции f(x) некоторого множества S называются равномерноограниченными, если для всех функций этогомножества существует такая единая константа k, что |f(x)| < k.Определение. Функции f(x) некоторого множества S называются равностепеннонепрерывными, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f(x1) – f(x2) | < ε , если | x1 – x2 | < δ для любых х1, х2 и для любой функции f(x) ∈ M.Теорема (критерий компактности в пространстве C). Для того,чтобы множество S функций f(x) в пространстве C было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции множества S были равномерноограниченными и равностепеннонепрерывными.2. Евклидово пространствоПерейдем теперь к изучению множеств nмерного евклидовапространства.Числовой прямой мы попрежнему будем называть множествовсех действительных чисел Z; nмерным пространством будем называть множество всевозможных nточек действительных чисел(x1, x2, …, xn).Всякую такую nточку будем называть точкой nмерного пространства, а числа x1, x2, …, xn — ее координатами.

Расстояниеρ ( x, x ′) между двумя точками x = (x1, x2, …, xn) и x ′ = ( x1′, x2′ , ..., xn′ )nмерного пространства будем определять по формуле:ρ ( x, x ′) =( x1 − x1′ )2 + ( x2 − x 2′ )2 + ... + ( x n − x n′ )2 .При любом n пространство с таким определением расстояниямежду его точками называется nмерным евклидовым пространством и обозначается En.При n = 1 пространство E1, как уже было отмечено, есть числовая прямая, расстояние между точками которой определяетсяпо формуле:ρ ( x, x ′) = ( x − x ′ )2 = x − x ′ .При n = 2 пространство E2 называется плоскостью, а формулой для определения расстояния в этом случае является:ρ ( x, x ′) =( x1 − x1′ )2 + ( x 2 − x 2′ )2 .79Расстояние между точками nмерного евклидова пространстваудовлетворяет трем условиям:1) аксиоме тождества ρ ( x, x ′) = 0 — тогда и только тогда, когда точки x = (x1, x2, …, xn) и x ′ = ( x1′, x2′ ,..., xn′ ) совпадают, т.

е.тогда и только тогда, когда x1 = x1′, x2 = x2′ , ..., xn = xn′ ;2) аксиоме симметрии ρ ( x, x ′) = ρ ( x ′, x ) ;3) аксиоме треугольника ρ ( x, x ′) + ρ ( x ′, x ′′) ≥ ρ ( x , x ′′).Определение. nмерным сегментом (или nмерным параллелепипедом при условии, что a1 = a2 = … = an, b1 = b2 = … = bn nмерный сегмент называют nмерным кубом) будем называть множество всех точек x = (x1, x2, …, xn) nмерного евклидова пространства,для координат которых выполняются неравенства:a1 < x1 < b1,a2 < x3 < b3,…an < xn < bn.Определение. nмерный шар с центром в точке x0 = (x10, x20, …,радиуса R — множество всех точек x = (x1, x2, …, xn), для которых выполняется неравенство ρ ( x0 , x ) ≤ R .xn0)Множество всех точек, удовлетворяющих неравенству ρ ( x0 , x ) < R,называют внутренностью этого шара.Сформулируем некоторые основные определения.Множество точек nмерного пространства называется ограниченным, если существует nмерный сегмент, содержащий все точки данного множества.

Внутренность любого nмерного шара, содержащая данную точку nмерного пространства, называетсяокрестностью точки.Точка ξ называется предельной точкой множества A, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек множества A.Точка ξ может как принадлежать множеству A, так и не принадлежать ему. Очевидно, что конечные множества не могутиметь предельных точек.Точка a, принадлежащая множеству A и не являющаяся длянего предельной, называется изолированной точкой множества A.Для всякой изолированной точки a множества A существует80окрестность, не содержащая никаких точек множества, отличныхот точки a.Множество A называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, состоящейиз точек данного множества.Например, nмерный шар — связное множество, а множество,состоящее из двух nмерных шаров, не является связным.Точка a называется внутренней точкой множества A, если существует δ окрестность этой точки, состоящая из точек этогомножества.Множество A, состоящее лишь из внутренних точек, называется открытым множеством.Связное открытое множество A точек называется открытойобластью, или просто областью.Точка называется граничной точкой области, если в любой ееδ окрестности есть точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области.

Множество всех граничных точек областиназывается границей этой области.Например, для области, которая состоит из точек, лежащихвнутри шара, границей является сфера.Множество A точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.Определение. Последовательность точек nмерного пространстваx(1) = (x1(1), x2(1), …, xn(1)),x(2) = (x1(2), x2(2), …, xn(2)),…x(1) = (x1(1), x2(1), …, xn(1)).называется сходящейся, если существует такая точка этого пространства x = (x1, x2, …, xn), что при любом ε > 0 найдется такое N,что для всех значений l > N будет выполняться неравенствоρ ( x (l ), x ) < ε .

Точка x называется пределом последовательности{x(l)}, что записывается в виде:lim x (l ) = x , или { x (l ) } → x .l →∞Из определения расстояния между точками nмерного евклидова пространства непосредственно следует, что точка x будет81пределом последовательности точек {x(l)} тогда и только тогда,когдаx1 = lim x1(l ),l →∞x2 = lim x2(l ),l →∞…x n = lim xn(l ) .l →∞В самом деле, пусть lim x (l ) = x , т. е. для любого найдется таl →∞кое N, что для всех значений l > N будет выполняться неравенствоρ ( x (l ), x ) < ε , или подробнее:( x1(l ) − x1 )2 + ( x 2(l ) − x 2 )2 + ...

+ ( x n(l ) − xn )2 < ε .Так какxi (l ) − xi ≤( x1(l ) − x1 )2 + ( x2(l ) − x2 )2 + ... + ( xn(l ) − xn )2 < ε ,тоlim x1(l ) = x1, lim x2(l ) = x2, …, lim xn(l ) = xn .l →∞l →∞l →∞Наоборот, еслиlim x1(l ) = x1, lim x2(l ) = x2, …, lim xn(l ) = xn ,l →∞l →∞l →∞то для любого ε > 0 найдется такое N, что для всех значений l > Nбудут выполняться неравенства:x1(l ) − x1 <εn, x 2(l ) − x 2 <εn, … , x n(l ) − x n <ε.nОтсюда следует:ρ ( x (l ), x ) =( x1(l ) − x1 )2 + ( x2(l ) − x2 )2 + ... + ( xn(l ) − xn )2 < ε ,т. е. lim x (l ) = x.l →∞82В математическом анализе, как известно, одним из самыхважных понятий было понятие предельного перехода.Самым простым, но не единственным способом введенияпредельного перехода во множество является его метризация, т.

е.введение закона расстояния между элементами множества.Определение. Метрическим пространством называется произвольное множество R некоторых элементов, называемых точками,в котором для любых двух точек x, y ∈ R определено числоρ ( x, y ) — расстояние от x до y (метрика)так, что выполняются следующие условия (аксиомы):1) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) для любых x и y (аксиома симметрии);2) ρ ( x, y ) > 0 при x ≠ y , ρ ( x, y ) = 0 при x = y (аксиома тождества);3) ρ ( x , y ) + ρ ( y, z ) ≥ ρ ( x , z ) (аксиома треугольника).Определение. Последовательность {xn} точек метрическогопространства R называется фундаментальной, если ρ ( xm , xn ) → 0при m, n → ∞ .Определение.

Метрическое пространство R называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательностьсходится, т. е. если для каждой фундаментальной последовательности {xn} существует такая точка x0 ∈ R, что lim xn = x0 .n →∞На основании этих определений легко обобщается на случайполного метрического пространства необходимый и достаточныйпризнак Коши сходимости последовательности.Теорема. Для сходимости последовательности точек полногометрического пространства необходима и достаточна ее фундаментальность.Доказательство.Необходимость.

Пусть {xn} → x0 ∈ R. Тогда для любого скольугодно малого ε > 0 найдется такое N, что для всех значенийm, n > N будут выполняться неравенства:ρ ( xn , x0 ) <εε, ρ ( xm , x 0 ) < .22Складывая эти неравенства и применяя аксиому треугольника, получаем:ρ ( x m , x n ) ≤ ρ ( xn , x0 ) + ρ ( x m , x 0 ) < ε .83Достаточность. Достаточность следует из определения полного метрического пространства.3. Функция нескольких переменных.Предел и непрерывностьПусть D — множество пар (x, y) действительных чисел, или естьмножество точек на плоскости Oxy и Z = {z} — числовое множество.Если каждой паре чисел (x, y) ∈ D по некоторому правилу (закону) f поставлено в соответствие одно определенное число z ∈ Z,то говорят, что на множестве D задана (определена) функцияZ =f (x, y).Переменные x и y называются независимыми переменными илиаргументами функции, а множество D — областью определенияфункции.Функцию двух переменных, как уже говорилось, можно рассматривать как функцию точки M(x, y), поэтому ее принято обозначать и таким символом: Z = f(M).Аналогично определяется функция от большего числа переменных: u = f(x1, x2, …, xn).

Область определения этой функцииесть множество D = {x1, x2, …, xn}, которое можно рассматриватькак множество точек nмерного пространства, поэтому функциюи в этом случае можно также обозначать через Z = f(M).Определение 1. Окрестностью точки M0(x0, y0) будем называтькруг, центром которого служит эта точка. Говорят, что последовательность точек {Mn(xn, yn)} сходится к точке M0(x0, y0), еслиlim ρn = 0, где ρn =n →∞(xn − x0 )2 + (yn − y0 ) 2Пусть функция z = f (x, y) определена в окрестности точкиM0(x0, y0), за исключением, может быть, самой точки M0(x0, y0).Функция f (x, y) имеет предел A (конечный или бесконечный)при стремлении x к x0 и y к y0 (или в точке (x0, y0)), если для любой стремящейся к (x0, y0) последовательности точек (пар значений аргументов) (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), входящих в областьопределения функции, но отличных от (x0, y0), соответствующаяпоследовательность значений функции f (x1, y1), f (x2, y2), …, f (xn, yn)всегда стремится к A.84В этом случае пишут:lim f ( x, y ) = A илиx → x0y → y0limM →M 0f ( x , y ) = A.Это определение предела основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением на языке последовательностей.Для большего числа переменных предел можно определитьаналогично.Запишем еще одно определение предела для функции многихпеременных на языке ε – δ.Определение 1а.

Характеристики

Список файлов лекций