Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙМАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗЕ. Б. БоронинаЭта книга написана для студентов технических вузов, желающихподготовиться к экзамену по математическому анализу. Содержание данной книги полностью соответствует программе по курсу«Математический анализ», экзамен по которому предусмотреныв большинстве высших учебных заведений России.

Программа помогает быстро и без лишних трудностей найти необходимый ответна поставленный вопрос. Вопросы составлены автором на основеличного опыта с учетом требований преподавателей.ЛЕКЦИЯ № 1. Математический анализфункций одной переменной1. МножестваПонятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые.Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность некоторых предметов, объединенных по какомунибудь признаку».Объекты, из которых состоит множество, называют его эле+ментами или точками. Множества часто обозначают большими,а их элементы — малыми буквами. Если x — элемент множества X,то пишут x ∈ X (точка x принадлежит множеству X).

Если x неявляется элементом множества X, то пишут x ∉ X (x не принадлежит X). Если множество X состоит из элементов x1, x2, x3, …, xnзаписывают X={x1, x2, x3, …, xn}.Пусть X и Y — два множества. Если X и Y состоят из одних и техже элементов, то пишут X = Y. Если в Х нет элементов, не принадлежащих Y, то пишут, что x ⊂ X . Если X не содержится в Y, то пишут x ⊄ X . В математике часто используется пустое множество.Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом O.Пустое множество является подмножеством любого множества.Множество (−∞;+ ∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой.

Пусть a — произвольная точка числовойпрямой и δ — положительное число. Интервал (a − δ ; a + δ ) называется δ+окрестностью точки a.Проколотой δ+окрестностью точки a называется ее δ+окрест+ность, из которой удалена сама точка a.Точка a называется внутренней точкой множества X, если существует δокрестность точки a, в которой содержатся толькоточки множества X.Точка a называется граничной точкой множества X, если в любой δокрестности точки a содержатся точки, принадлежащиеи не принадлежащие множеству X.3Говорят, что множество X ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполнено неравенство x < c (x > c). Число c в этом случае называется верхней (ниж+ней) гранью множества X.

Множество, ограниченное и сверхуи снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) изверхних (нижних) граней ограниченного сверху (снизу) множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.2. Теорема о вложенных отрезкахОпределение. Пусть дана последовательность таких отрезков[a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], …, что каждый последующий содержится в предыдущем: [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ … ⊃ [an, bn] ⊃ …, т. е. для всех nan < an+1 < bn+1 < bn(1)и пусть lim (bn − an ) . Такая последовательность называется поn →∞следовательностью вложенных отрезков.Теорема о вложенных отрезках.

Для любой последовательностивложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.Доказательство. Из неравенства (1) следует, что левые концыотрезков образуют неубывающую последовательностьa1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ an+ 1 ≤ ... ,(2)а правые концы образуют невозрастающую последовательностьb1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ... ≥ bn ≥ bn+ 1 ≥ ... ,(3)при этом последовательность (2) ограничена сверху, а последовательность (3) ограничена снизу, так как an < b1, а bn > a1 для любого n. Следовательно, на основании признака сходимости монотонной последовательности эти последовательности имеют пределы'Пусть lim an = c , а lim bn = c'' .

Тогда из условия lim (bn − an ) =n →∞''n →∞n →∞'= lim bn − lim an = c – c = 0n →∞n →∞4следует, что c' ' = c' , т. е. последовательности {an} и {bn} имеют общий предел. Обозначая этот предел буквой C, получаем, что длялюбого n справедливы неравенства an < c < bn, т. е. точка c принадлежит всем отрезкам последовательности (1).Докажем теперь, что такая точка только одна. Допустим, что существует еще одна точка c1(c1 ≠ c), принадлежащая всем отрезкампоследовательности (1). Тогда для любого n должно выполняться неравенство bn – an > | c1 – c | и, следовательно, lim (bn − an ) ≥ c1 − c ,n →∞что противоречит условию теоремы. Таким образом, теорема доказана полностью.Замечание. Теорема неверна, если вместо отрезков рассматривать интервалы.

Например, для последовательности вложенныхинтервалов(0, 1) ⊃ (0, 1/2) ⊃ (0, 1/4) ⊃ … ⊃ (0, 1/2n)(4)не существует точки, принадлежащей всем интервалам. В самомделе, какую бы точку C на интервале (0,1) ни взять, всегда найдет1ся такой номер N, что при n > N будет n < c и, следовательно,2точка C не будет принадлежать интервалам последовательности (4),1 ⎞⎛начиная с интервала ⎜ 0, N + 1 ⎟ .⎝ 2⎠3. Числовые последовательностиОпределение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие вещественное число xn,то множество вещественных чиселx1, x2, x3, …, xn(1)называют числовой последовательностью или просто последовательностью.Числа x1, x2, x3, …, xn называются элементами (или членами) последовательности (1), символ xn — общим элементом последовательности, а число n — его номером.

Сокращенно последовательность (1) обозначается символом {xn}.5Последовательность задана, если указан способ получениялюбого ее элемента. Например, формула xn = 1 + (–1)n задает последовательность:0, 2, 0, 2, …Определение 2. Последовательность {xn} называется ограничен+ной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), чтолюбой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенству xn < M (xn > m).Определение 3. Последовательность {xn} называется ограничен+ной, если она ограничена и сверху и снизу, т.

е. существуют числаm и M такие, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенству m < xn < M.Определение 4. Последовательность {xn} называется неограни+ченной, если для любого положительного числа A существуетэлемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенству | xn | > A(т. е. xn > A, либо xn < –A).Примеры1. Последовательность 1, 2, 3, …, n ограничена снизу, но неограничена сверху.2. Последовательность –1, –2, –3, …, –n ограничена сверху,но неограничена снизу.1 113.

Последовательность 1, , , ..., ограничена, так как любой2 3nэлемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам:0 < xn < 1 (m = 0, M = 1).4. Последовательность –1, 2, –3, 4, …б (–1)nn неограниченная.В самом деле, каково бы ни было число A среди элементов xn этойпоследовательности, найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство.Определение 5.

Последовательность {xn} называется бесконеч+но большой, если она становится и остается, начиная с некоторого номера N, по абсолютной величине больше любого наперед заданного сколь угодно большого положительного числа A.Символическая запись определения бесконечно большой последовательности:(∀A > 0 )(∃N )(∀n > N ): |xn |> A.6Определение 6. Последовательность {xn} называется бесконеч+но малой, если она становится и остается, начиная с некоторогономера N, по абсолютной величине меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа ε.Символическая запись определения бесконечно малой последовательности:(∀ε > 0 )(∃N )(∀n > N ) : |xn |< ε .Теорема. Если {xn} — бесконечно большая последовательность⎧1 ⎫и все ее члены отличны от нуля, то последовательность ⎨ ⎬ бес⎩ xn ⎭конечно малая, и, наоборот, если {xn} — бесконечно малая после⎧1 ⎫довательность и xn ≠ 0, то последовательность ⎨ ⎬ — бесконечно⎩ xn ⎭большая.Доказательство.

Пусть {xn} — бесконечно большая последовательность, т. е.(∀ε =11> 0) (∃N )(∀n > N ) : |xn |>AA(∀ε =11> 0), (∃N )(∀n > N ) :<A|xn |Aили⎧1 ⎫т. е. ⎨ ⎬ бесконечно малая.⎩ xn ⎭Доказательство второй части проводится аналогично.4. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.Критерий КошиОпределение 1. Число a называется пределом последователь+ности {xn}, если для любого ε > 0 существует такой номер N, чтопри n > N выполняется неравенство|xn− a| < ε .7(1)С помощью логических символов это определение можно записать в виде:(∀ε > 0) (∃N )(∀n > N) : |xn − a|< ε .Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.Если последовательность {xn} сходится и имеет своим пределом число a, то символически это записывается так:lim xn = a или xn → a при n → ∞ .n →∞(2)Последовательность, не являющаяся сходящейся, называетсярасходящейся.Определение 2.

Говорят, что последовательность {xn} удовлетворяет условию Коши, если для любого ε > 0 существует такойномер N, что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условиюn > N и m > N, справедливо неравенство:|xn − xm | <ε.(3)Условие (3) можно сформулировать и таким образом: для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех номеров n > Nи всех целых неотрицательных p|xn+ p − xn | < ε .(4)Для того, чтобы убедиться в равносильности условий (3) и (4),достаточно положить p = n – m, если n > m и p = m – n, , если n < m.Последовательности, которые удовлетворяют условию Коши,называют также фундаментальными.Определение 3. Последовательность {xn}, k = 1, 2, …— подпо+следовательность последовательности {xn}, если (∀k )(∃N ): yk = xN ,причем (nk1 < nk 2 ) ⇔ (k1k2 ) .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций