Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Несобственные интегралы.Абсолютная сходимость. Признаки сходимостиВводя определенный интеграл как предел интегральных сумм,мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция является ограниченной на этом отрезке.Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет смысл. Так,в случае бесконечного отрезка интегрирования нельзя разбитьотрезок на n частей конечной длины, а в случае неограниченнойфункции интегральная сумма не имеет конечного предела.Однако и на эти случаи можно обобщить понятия определенногоинтеграла. В результате такого обобщения и появилось понятиенесобственного интеграла.Определение 1.

Пусть функция f(x) определена на промежутке[a, +∞ ) и интегрируема по любому отрезку [a, R], т. е. существуетRопределенный интеграл∫ f ( x ) dx при любом R > a. Тогда, еслиaсуществует конечный пределRlimR → +∞∫ f (x )dx,a70(1)то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают+∞∫ f (x )dx.(2)aТаким образом, по определению+∞∫Rf ( x ) dx = limR → +∞a∫ f (x ) dx.aВ этом случае говорят, что интеграл (2) существует или сходится. Если же предел (1) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (2) не существует или расходится.Аналогично интегралу (2) вводится несобственный интегралпо промежутку ( –∞ , b]:b∫bf ( x )dx = limR → −∞−∞∫ f (x )dx.(3)RКак сумму интегралов вида (2) и (3) можно определить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами, т.

е.+∞с+∞−∞−∞с∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx,(4)где c — любое число, при условии существования обоих интегралов справа.Определение 2. Пусть функция f(x) определена на промежутке[a, b). Точку x = b будем называть особой, если функция f(x) неограниченна в любой окрестности этой точки, но является ограниченной в любом отрезке [a, b – ε ], заключенном в [a, b). Пусть налюбом отрезке [a, b – ε ] функция интегрируема, т. е. сущест71b −ε∫ f (x )dxвует определенный интегралпри таком любом ε > 0,aчто b – ε > a.

Тогда, если существует конечный пределb −εlimε →0+ 0∫ f (x )dx,(5)aто его называют несобственным интегралом второго рода и обозначаютb∫ f ( x )dx.(6)aВ этом случае говорят, что интеграл (6) существует или сходится. Если же предел (5) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (6) не существует или расходится.Аналогично, если x = a — особая точка, то несобственный интеграл определяется так:b∫bf ( x )dx = limε →0 + 0a∫ f ( x )dx .a +εЕсли функция f(x) неограниченна в окрестности какойнибудь внутренней точки c ∈ [a, b], то при условии существованияобоих интегралов справа по определению полагают, чтоb∫acf ( x )dx =∫bf ( x )dx +a∫ f (x )dx.cЕсли a и b — особые точки, то, если оба интеграла справа существуют, несобственный интеграл определяется как сумма:bcbaac∫ f (x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f (x )dx.где c — любая точка из (а, b).Теорема (признак сходимости несобственных интегралов).

Еслифункции f(x) и g(x) непрерывны на полупрямой [a, +∞ ) и удовлетворяют на ней условию 0 < f(x) < g(x), то из сходимости интеграла72+∞∫ g (x )dx(7)aследует сходимость интеграла+∞∫ f (x )dx,(8)aа из расходимости интеграла (8) следует расходимость интеграла (7).Доказательство. Введем обозначения:F (R ) =R∫f ( x )dx , G (R ) =aR∫ g (x )dx .aТак как 0 < f(x) < g(x) при x > a, то справедливы следующие неравенства:0 < F(R) < G(R) при R > a,(9)кроме того, функция F(R) (а также G(R)) является неубывающей наR2полупрямой [a, +∞ ).

В самом деле, если a < R1 < R2, тоR1и, следовательно,F (R2 ) =R2∫aR1f ( x )dx =∫ f (x )dx ≥ 0∫aR2f ( x )dx +∫R1R1f ( x )dx ≥∫ f (x )dx = F (R ).1aПусть интеграл (7) сходится, т. е. функция G(R) имеет конечный предел при R → +∞ . Отсюда в силу неубывания G(R) следует, что функция G(R) является ограниченной на [a, +∞ ). Нотогда согласно равенству (9) функция F(R) тоже является ограни73ченной на [a, +∞ ) и, следовательно, имеет на [a, +∞ ) точную верхнюю грань.По определению точной верхней грани для любого ε > 0 найдется такое Rε ≥ a, что 0 ≤ I − F (Rε ) .

Так как функция F(R) неубывает на [a, +∞ ), то для любого R > Rε выполняется неравенствоF (R ) ≥ F (Rε ) и, значит, 0 ≤ I − F (R ) < ε при R ≥ Rε .Таким образом, F (R ) − I < ε при R ≥ Rε .Это означает, что lim F (R ) = I , т. е. интеграл (8) сходится.R → +∞Пусть теперь интеграл (8) расходится. Тогда, если предположить, что интеграл (7) сходится, то, в силу доказанного выше, интеграл (8) сходится, что противоречит условию. Следовательно,интеграл (7) также расходится.Теорема доказана.Теорема (критерий) Коши.

Для того, чтобы интеграл (2) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 сущестb2вовало такое число b > a, что если b1 > b и b2 > b, то∫ f (x )dx< ε.b1Определение 3. Интеграл (2) называется абсолютно сходящимся,+∞если сходится интеграл∫ f (x ) dx .aТеорема 1.

Для того чтобы интеграл (2) был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое число такое число b > a, что если b1 > b и b2 > b, тоb2∫ f (x ) dx< ε.b1Теорема 2. Если интеграл (2) абсолютно сходится, то он простосходится.ЛЕКЦИЯ № 3. Функции нескольких переменных1. Топология.

Метрические пространства.Компактные множества в ℜnОпределение 1. Пусть A — некоторое множество. Функцияd : A × A → R , удовлетворяющая условиям:1) d(a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b;2) d(a, b) + d(a, c) > d(b, c) для всех a, b, c ∈ A, — называется метрикой на A.Множество A с определенной на нем метрикой называется метрическим пространством и обозначается (A, a) или просто M.Второе свойство известно как неравенство треугольника.Если взять A = R и d(x, y) = |x – y| , то нетрудно видеть, что dметрика. Вообще возьмем A = Rn и определим d равенством:⎛ n⎞d ( x, y ) = ⎜( xi − yi )2 ⎟⎜⎟⎝ i =1⎠∑12= x−y,где и x = (x1, x2 …, xn) и y = (y1, y2, …, yn).Снова нетрудно показать, что d — метрика.

Эта метрика называется евклидовой, или обычной, метрикой.Два других примера метрик на A = Rn задаются равенствами:nd ( x, y ) =∑xi− yi , d ( x, y ) = max xi − yi .1≤ i ≤ ni =1Проверку того, что это действительно метрики, оставляем читателю в качестве упражнения.Если A — любое множество, на нем можно определить метрику по правилу: d(x, y) = 0 при x = y и d(x, y) = 1 при x ≠ y.Полученная метрика называется дискретной метрикой на A.75Теперь легко определить непрерывность отображений метрических пространств.Определение 2.

Пусть (A, dA), (B, dB) — метрические пространства. Функция f : A →B называется непрерывной в точке x ∈ A, еслидля любого ε > 0 существует такое δ > 0, dr(f(x), f(y)) < ε что, кактолько dA(x, y) < δ . Функция называется непрерывной, если онанепрерывна во всех точках x ∈ A.Определение. Покрытием множества S множества X называется такое семейство подмножеств {Uj : j ∈ J} множеств X, что S ⊂ U U j .j ∈JЕсли индексирующее множество J конечно, то {Uj : j ∈ J} называется конечным покрытием.ПримерСемейство {[1/n, 1 – 1/n ]: n ∈ N} является покрытием подмножества (0, 1) пространства ℜ .Если S = X, то семейство {U j : j ∈ J}, обладающее свойствомS ⊂ U U j , является покрытием X.j ∈JПримерЕсли U n = (n, n + 3) ⊂ ℜ , то {Un : n ∈ N} — покрытие ℜ .Определение.

Пусть {Uj : j ∈ J} и {Vk : k ∈ K} — покрытия подмножества S ⊂ X . Если для любого j ∈ J найдется такое k ∈ K, чтоUj = Vk, то говорят, что {Uj : j ∈ J} — подпокрытие покрытия {Vk : k ∈ K}.Пример{Vr : r ∈ ℜ }, где V r = (r , r + 3) , является покрытием ℜ , и {Un :: n ∈ N}, где Un = (n, n+3) — его подпокрытие.Определение. Пусть X — метрическое пространство и S — егоподмножество. Покрытие {Uj : j ∈ J} называется открытым покрытием S, если каждое Uj : j ∈ J, открыто в X.Определение. Подмножество S метрического пространства Xназывается компактным, если всякое открытое покрытие S обладает конечным подпокрытием.В частности, метрическое пространство X компактно, есливсякое его открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.Пространство ℜ с обычной метрикой некомпактно, потому чтооткрытое покрытие {(n, n + 2) : n ∈ Z} не имеет конечных подпокрытий.

Пространство X с дискретной метрикой тогда и толькотогда компактно, когда оно конечно. Так как каждая точка дискретного пространства X является открытым множеством, то для76бесконечного X открытое покрытие, состоящее из всех одноточечных множеств, не имеет конечного подпокрытия. С другойстороны, если X конечно, то оно имеет только конечное число открытых подмножеств.Докажем следующую теорему.Теорема. Пусть f : X →Y — непрерывное отображение. ЕслиS ⊂ Y — компактное подпространство, то f(S) компактно.Доказательство. Пусть {Uj : j ∈ J} — открытое покрытие f(S);тогда {f–1(Uj) : j ∈ J } — открытое покрытие S.

Так как S компактно, найдется конечное подпокрытие {f–1(Uk) : k ∈ K}, K конечно.Но f(f–1(Uk)) ⊂ Uk, и поэтому {Uk : k ∈ K} — покрытие f(S), являющееся конечным подпокрытием покрытия {Uj : j ∈ J}.Теорема доказана.Компактность множеств пространства En и CИз ограниченности последовательности точек евклидова пространства, как известно, следует возможность выделения из этойпоследовательности сходящейся подпоследовательности (теорема Больцано—Вейерштрасса). Однако этот факт наблюдается далеко не во всех метрических пространствах. Так, например, последовательность точек x1(1, 0, 0, ...),x2 (0, 1, 0, ...),...в пространстве m располагается в замкнутой сфере радиуса 1, следовательно, она ограничена.

Но из этой последовательности нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность изза того, чторасстояние между любыми двумя точками последовательностиd(xi, xk) = 1, i ≠ k .Определение. Множество S, содержащееся в метрическом пространстве ℜ , называется компактным, если из любой бесконечнойпоследовательности точек множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность.Если пределы указанных последовательностей принадлежат S,то множество S называется компактным в себе, если же эти пределы принадлежат пространству ℜ , не принадлежа, может быть,множеству S, то множество S называется компактным в пространстве (относительно пространства).Из определения следует, что, для того чтобы множество былокомпактно в себе, необходимо и достаточно, чтобы оно былокомпактным в пространстве ℜ и замкнутым.77Рассмотрим некоторые свойства компактных множеств.Теорема. Всякое бесконечное ограниченное множество точекnмерного евклидова пространства компактно.Теорема.

Всякое компактное множество ограничено.Доказательство. Предположим, что данное множество неограничено. В этом случае всегда можно построить такую последовательность точек {xn} данного множества, чтоd(x1, xn) > n,d(xk, xk=1), k = 1, 2, … .Никакая подпоследовательность такой последовательности неможет быть фундаментальной. Полученное противоречие доказывает неправильность предположения.Теорема доказана.Таким образом, в качестве примеров компактных множествможно привести любые ограниченные множества точек nмерного евклидова пространства, так как для множеств пространства Enнеобходимым и достаточным условием компактности является ихограниченность.В пространстве С существуют ограниченные бесконечныемножества непрерывных функций, из которых нельзя выделитьсходящиеся (в смысле метрики С) последовательности. Так, например, рассмотрим множество функций x1, x2, x3 … пространстваC [0, 1].

Характеристики

Список файлов лекций