Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ПустьΔ =′′ ( x0 , y0 )f xx′′ ( x0 , y0 )f xy′′ ( x0 , y0 )f xy.′′ ( x0 , y0 )f yyТогда:1) если Δ > 0 , то в точке M0 функция имеет экстремум, причем при′′ ( x0 , y0 ) < 0 — локальный максимум, приf xx′′ ( x0 , y0 ) > 0 — локальный минимум;f xx2) если Δ < 0 , то в точке M0 нет экстремума.Доказательство. Пусть Δ > 0 . Введем следующие обозначения:′′ ( x0 , y0 ) = A, f xy′′ ( x0 , y0 ) = B и f yy′′ ( x0 , y0 ) = C .f xxПо условию f x′ ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0 , A > 0 (или A < 0).Согласно формуле Тейлора для n = 1 полное приращение функции f(x, y) в точке M0 можно записать в виде:Δf =1[ A′(Δx )2 + 2B ′ΔxΔy + C ′(Δy )2 ],2!100(1)′′ ( x0 + θΔx, y0 + θΔy ),где A′ = f xx′′ ( x0 + θΔx, y0 + θΔy ),B ′ = f xy′′ ( x0 + θΔx, y0 + θΔy ), 0 < θ < 1 Из непрерывности частC ′ = f yyных производных второго порядка в точке M0 следует:′′ ( x0 , y0 ) = A > 0 или A < 0.lim A′ = f xxΔx → 0Δy → 0а также′′ ( x 0 , y 0 ) f yy′′ ( x 0 , y 0 ) − [ f xy′′ ( x 0 , y 0 )]2 = Δ > 0.lim ( A ′C ′ − B ′2 ) = f xxΔx → 0Δy → 0Поэтому для достаточно малых Δ x и Δ y имеемA′ > 0 (или A′ < 0 ), A′C ′ − B ′2 = Δ′ > 0.Так как A′ ≠ 0 , то соотношение (1) можно переписать в виде:1 1× [ A ′2 (Δx )2 + 2 A′B ′ΔxΔy + A′C ′(Δy )2 ]2! A′или, дополняя до полного квадрата,Δf =Δf =1 1× [( A′Δx + B ′Δy )2 + ( A ′C ′ − B ′2 )( Δy )2 ].2! A′Выражение в квадратных скобках неотрицательно, поэтомуесли A′ > 0 , то Δ f > 0, и, следовательно, в точке M0 — локальныйминимум; если же A′ < 0 , то Δ f < 0, Δ f > 0, и, следовательно,в точке M0 — локальный максимум, что и требовалось доказать.2′′ ( x0 + θПусть теперь Δ = AC − B < 0 и попрежнему A′ = f xx′′′′′+ θΔx, y0 + θΔy ) , B = f xy ( x 0 + θΔx , y0 + θΔy ) , f yy ( x0 + θΔx , y0 ++ θΔy ) .101Рассмотрим многочлен A + 2Bx +Cx2.Так как B 2 – AC > 0, то можно указать такие два числа x1и x2, чтоA + 2Bx1 +Cx12 > 0, A + 2Bx2 +Cx22 > 0.Полное приращение функции f(x, y) в точке M0, запишем в виде (1).
В силу непрерывности частных производных второго порядкаlim ( A ′ + 2B ′x1 + C ′x12 ) = A + 2Bx1 + Cx12 > 0.Δx → 0Δy → 0Следовательно, существует такая δ окрестность точки M0, чтоесли точка M(x0 + Δ x, y0 + Δ y) принадлежит этой окрестности, тоA ′ + 2B ′x1 + C ′x12 > 0.(2)Рассмотрим теперь такую произвольную δ окрестность точкиM0, что δ ′ ≤ δ . Можно выбрать число t > 0 столь малым, что точка M1(x + t, y + tx1) будет принадлежать δ окрестности точки M0.Полагая в (1) Δ x = t, Δ y = tx1, в силу (2) получаемΔf = f ( x0 + Δx, y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ) ==1 2t [ A ′ + 2B ′x1 + C ′x12 ] > 0.2!Рассуждая аналогично относительно значения x2, получим,что в произвольной δ окрестности точки M0 существует точкаM2(x + Δx, y + Δy), для которойΔf = f ( x0 + Δx, y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ) < 0,т. е.
приращение функции f (x, y) в сколь угодно малой окрестности точки M0 не сохраняет знак и, следовательно, в точке M0 нетэкстремума.Теорема доказана полностью.1029. Двойной интегралДвойной интеграл представляет собой обобщение понятияопределенного интеграла на случай функции двух переменных.Пусть G — некоторая замкнутая ограниченная область, а z == f (x, y) — произвольная функция, определенная и ограниченнаяв этой области.Предполагается, что граница области G состоит из конечногочисла кривых, заданных уравнениями вида y = f(x) или x = ϕ (y),где f(x) и ϕ (y) — непрерывные функции.Разобьем область G произвольно на n частей Gi, не имеющихобщих внутренних точек, с площадями Δ si (i = 1, 2, …, n). В каждой части Gi выберем произвольную точку (ξi , ηi ) и составим суммуnσ =∑ f (ξ , η )Δs ,ii(1)ii =1которую назовем интегральной суммой для функции f(x, y) в областиG.
Назовем диаметром d(G) области G наибольшее расстояние междуграничными точками этой области. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей Gi (λ = max {d (Gi )}).1≤ i ≤ nОпределение 1. Если интегральная сумма (1) при λ → 0 имеетпредел, равный I, не зависящий ни от способа разбиения областиG на подобласти Gi, ни от выбора точек (ξi , ηi ) , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Gи обозначается следующим символом:I =∫∫ f (x, y )ds.GВ этом случае функция f (x, y) называется интегрируемойв области G, G — область интегрирования, ds — элемент площади.Теорема 1. Функция f (x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области G, интегрируема в этой области.Однако не следует считать, что двойной интеграл существует только для непрерывных функций.
Имеет место более общая теорема.Теорема 2. Функция f (x, y), ограниченная в замкнутой ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежа103щих на конечном числе кривых, являющихся графиком непрерывных функций вида y = f(x) или x = ϕ (y), интегрируема в этойобласти.Рассмотрим свойства двойного интеграла.1.
Если k — произвольное число и функция f(x, y) интегрируема в области G, то функция kf(x, y) тоже интегрируема в G и∫∫ kf (x, y)dxdy = k ∫∫ f (x, y )dxdy,GGт. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.2. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области G, тоих алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и∫∫[f (x, y ) ± g (x, y )]dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy ± ∫∫ g (x, y )dxdy.GGG3. Если область G является объединением областей G1 и G2, неимеющих общих внутренних точек, в каждой из которых функция f(x, y) интегрируема, то в области G эта функция также интегрируема и∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy.GG1G24. Теорема (о среднем).
Если функция f(x, y) непрерывнав области G, то в этой области найдется такая точка (ξi , ηi ) , что∫∫ f (x, y )dxdy = f (ξ ,η )s,iiGгде s площадь фигуры G.Сведение двойного интеграла к повторномуСлучай прямоугольной области. Рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику D со сторонами, параллельными осям координат.104Теорема. Пусть для функции f(x,y) в прямоугольнике D == {(x, y) | a < x < b, c < y < a} существует двойной интеграл∫∫ f (x, y )dxdy.(2)DПусть далее для каждого x из отрезка [a, b] существует определенный интегралdI (x ) =∫ f (x, y )dy.(3)cТогда существует интегралb∫abI ( x )dx =d∫ ∫ f (x, y )dydxac(он называется повторным) и справедливо равенствоbdac∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x, y )dy.D(4)Доказательство.
Разобьем прямоугольник D с помощью точекa = x0 < x1 < … < xn = b и c = y0 < y1 < … < yk = d на nk частичныхпрямоугольников Dij = {( x, y ) | xi −1 ≤ x ≤ xi , y j −1 ≤ y ≤ y j } . Положим Δ xi = xi – xi–1, Δ y = yi – yi–1 и обозначим через mij и Mijсоответственно точную нижнюю и верхнюю грани функции f(x, y)на частичном прямоугольнике Dij. Тогда всюду на этом прямоугольникеmij < f (x, y) < Mij .(5)Положим в этом неравенстве x = ξi , где ξi — произвольнаяточка отрезка [xi–1, xi], и затем проинтегрируем (4) по y в пределахот yj–1 до yi.105Получимyj∫ f (ξ , y )dy ≤ M Δy .mij Δy j ≤iij(6)jy j −1Суммируя (6) по всем j от 1 до k и используя обозначение (2),имеем:k∑kmij Δy j ≤ I (ξi ) ≤j =1∑ M Δy .ij(7)jj =1Далее, умножая (7) на Δ xi и суммируя по всем i от 1 до n, получаем:n∑∑nnkmij Δxi Δy j ≤i =1 j =1∑I (ξi )Δxi ≤i =1k∑ ∑ M Δx Δy .ijij(8)i =1 j =1Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников Diстремится к нулю ( λ → 0 ).
Тогда и наибольшая из длин Δ xi → 0 .Крайние члены в (8), представляющие собой нижнюю и верхнююсуммы Дарбу, стремятся при этом к двойному интегралу (1).Таким образом, существует предел и среднего члена (8), равныйтому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению определенного интеграла равен:b∫bI ( x )dx =ad∫ ∫ f (x, y )dy.dxacТем самым доказано существование повторного интегралаи равенство (4).Теорема доказана.Рассмотрим случай криволинейной области.Теорема.
Пусть функция z = f(x, y) определена в областиG = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, y1( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} , где y1(x) и y2(x) — непрерывные функции, y1(x) < y2(x) для a < x < b. Пусть также существует двойной интеграл∫∫ f (x, y )dxdy и для каждого x из [a, b]существует определенный интеграл106y2 (x )∫ f (x, y )dy.I (x ) =y1 ( x )Тогда существует повторный интегралbby2 ( x )aay1 ( x )∫ I (x )dx = ∫ dx ∫ f (x, y )dyи справедливо равенствоby2 ( x )ay1 ( x )∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x, y )dy.G(9)Доказательство. Положим c = min y1( x ) , d = max y2 ( x ) и за[a,b ][a,b ]ключим область G в прямоугольник D = {(x, y) | a < x < b, c < y < d}.Рассмотрим в этом прямоугольнике вспомогательную функцию⎧ f ( x, y ) в точках области G ,F ( x, y ) = ⎨в остальных точках D .⎩0Эта функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы.Действительно, она интегрируема в области G, так как совпадаетв ней с f (x, y), и интегрируема в остальной части D–G прямоугольника D, где она равна нулю.
Следовательно, согласно третьему свойству двойного интеграла она интегрируема и по всемупрямоугольнику D. При этом∫∫ F (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdyGGи∫∫ F (x, y )dxdy = 0,D −G107откуда∫∫ F (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy.D(10)GДалее для каждого x из [a, b] существует интегралy1 ( x )d∫F ( x, y )dy =c∫y2 ( x )∫F ( x, y )dy +cdF ( x, y )dy +y1 ( x )∫ F (x, y )dy,y2 ( x )так как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа.Действительно, отрезки [c, y1(x)] и [y2(x), d] лежат вне области Gи на них F(x, y) равна нулю, отсюда первый и третий интегралыравны нулю, а второй интеграл существует по условию, так какF(x, y) = f(x, y) на отрезке [y1(x), y2(x)].
Поэтомуdy2 ( x )cy1 ( x )∫ F (x, y )dxdy = ∫ f (x, y)dy.(11)Таким образом, для функции F(x, y) выполнены все условия теоремы для случая прямоугольной области и, следовательно, двойнойинтеграл от этой функции по прямоугольнику D может быть сведен к повторному∫∫bF ( x, y )dxdy =Dd∫ ∫dx F ( x, y )dy .acОтсюда из равенств (10) и (11) получаем:by2 ( x )ay1 ( x )∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x, y)dy,Gт. е.
формулу (9).Теорема доказана.108Замена переменных в двойном интегралеПусть функция f (x, y) непрерывна в некоторой замкнутойограниченной области G. Тогда для функции f (x, y) существуетдвойной интеграл∫∫ f (x, y)dxdy.(12)GПредположим далее, что с помощью формулX = x (u,v), y = y (u,y)(13)мы переходим к новым переменным u и v.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
