Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пустьσ (x ) =∞∑ u′ (x ),(26)nn =1в силу равномерной сходимости этого ряда его можно почленноинтегрировать:x∫cσ (t )dt =∞ x∑∫un′ (t )dt =n =1 c∞∑ [u (x ) − u (c)], a ≤ x ≤ b.nn(27)n =1По теореме 2 ряд∞∑ [u (x ) − u (c)], a ≤ x ≤ b,nn(28)n =1сходится. Сходится по условию теоремы и ряд∞∑ u (c ),nn =1133(29)поэтому и сходится сумма рядов (28) и (27), т. е. ряд∞∑ u (x ), a ≤ x ≤ b.(30)nn =1Поэтому (27) можно переписать в виде:x∫σ (t )dt =s(x ) − s(c).(31)cФункция, стоящая в левой части этого равенства, имеет производную по x, значит, и функция s(x) также имеет производную.Дифференцируя равенство (31), получимs ′( x ) = σ ( x ),(32)где функция σ (x) является непрерывной на отрезке [a, b] функцией, ибо представляет собой сумму равномерно сходящегося ряда(23), члены которого — непрерывные функции.
Подставляя (26)в (32), мы получаем искомую формулу (25).Остается лишь отметить, что из равенства (27) в силу доказанной сходимости рядов (28) и (29) следует, что∞∞ x∞∑u ( x ) = ∑ ∫ u′ (t )dt + ∑u (c).nn =1nnn =1 cn =1∞ xРяд∑ ∫ u′ (t )dt равномерно сходится на отрезке [a, b], а рядnn =1 c∞∑ u (c ) — числовой ряд, поэтому и их сумма, т. е.
ряд (24), равноnn =1мерно сходится на отрезке [a, b].Теорема доказана.4. Степенные рядыОпределение. Ряд видаa0 + a1x + a2 x 2 + ... + an x n =∞∑a xnn =1называется степенным рядом.134n(1)Числа a0, a1, a2, a3, …, an называются коэффициентами степенного ряда.Придавая x различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися илирасходящимися. Множество тех значений x, при которых ряд (1)сходится, называется областью сходимости, это множество всегдане пусто, так как любой степенной ряд сходится при x = 0.Теорема (Абеля). 1.
Если степенной ряд (1) сходится при х = х0≠(х х0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех x, удовлетворяющих условию |x| < |x0|.2. Если ряд (1) расходится при x = x1, то он расходится для всехx, удовлетворяющих условию |x| < |x1|.Доказательство.∞1. Так как, по условию, числовой ряд∑a xnnсходится, то егоn =1nобщий член an x0 → 0 при n → 0 , откуда следует, что последоваnтельность { an x0 } является ограниченной, т.
е. существует такоечисло M > 0, что| an x0n | < M , n = 0, 1, 2, ...(2)Перепишем ряд (1) в виде:n2⎛ x ⎞⎛ x ⎞⎛ x ⎞a0 + a1x0 ⎜⎜ ⎟⎟ + a2 x02 ⎜⎜ ⎟⎟ + ... + an x0n ⎜⎜ ⎟⎟⎝ x0 ⎠⎝ x0 ⎠⎝ x0 ⎠(3)и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:xx| a0 | + | a1x0 |+ | a2 x0 2 |x0x02+ … + | an x0nx|x0n(4)Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда:M +Mxx+Mx0x02+ ...
+ M135xx0n+ ...(5)При | x | < | x0 | ряд (5) представляет собой геометрическую проxгрессию со знаменателем q =< 1 и, следовательно, сходится.x0Так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда(5), то по признаку сравнения ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при | x | < | x0 | сходится абсолютно.2. Докажем теперь вторую часть теоремы. По условию в точкеx1 ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится для всехx, удовлетворяющих условию | x | > | x1 |. Предположим обратное, т. е.допустим, что при таком некотором значении x, что | x | > | x1 |,ряд (1) сходится. Тогда по только что доказанной первой частитеоремы ряд (1) должен сходиться и в точке x1, так как | x | > | x1 |.Но это противоречит тому, что в точке x1 ряд расходится.Теорема доказана полностью.∞Теорема.
Если ряд∑a xnnсходится не при всех значениях xn =1и не только при x = 0, то существует такое число R > 0, что ряд абсолютно сходится при | x | < R и расходится при | x | > R.Доказательство. Обозначим через X множество точек x, в кото∞рых ряд∑a xnnсходится. Покажем, что множество X являетсяn =1ограниченным. Действительно, если взять точку x1, в которой рядрасходится (по условию такие точки существуют), то по теоремеАбеля для любого x из X выполняется неравенство | x | < | x1 |.Известно, что у ограниченного сверху множества существуетточная верхняя грань.
Положим R = sup x . Так как ряд сходитсяx∈Xне только при x = 0, то R > 0 .Возьмем теперь любое x, для которого | x | < R. Согласно свойству точной верхней грани, найдется такое x0 ∈ X, что | x | < | x1 | < R,откуда, по теореме, Абеля следует абсолютная сходимость рядапри взятом x.Возьмем теперь любое x, для которого | x | > R . Такое x ∈ X.Следовательно, при этом x ряд расходится.Теорема доказана.Таким образом, решен вопрос об области сходимости степенного ряда. Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости136степенного ряда.
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.Отметим, что интервал сходимости некоторых степенных рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R = ∞ ),у других вырождается в одну точку (R = 0).Разложение функции в степенные рядыКак показывает следующая теорема, разложение функции в степенные ряды единственно.ТеоремаЕсли функция f(x) на интервале (–R;R) разлагается в степенной рядf(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn(6)то это разложение единственно.Доказательство.
По условию ряд (6) сходится на интервале(–R; R) и функция f(x) — его сумма. Следовательно, ряд (6) можно почленно дифференцировать на интервале (–R; R) любое число раз. Дифференцируя, получаем:f ′( x ) = 1 × a1 + 2a2 x + ... + nan x n −1,f ′′( x ) = 1 × 2a2 + 2 × 3a3 x + 3 × 4a4 x 2 + ...
+ n(n − 1)an x n − 2,f ′′′( x ) = 1 × 2 × 3a3 + 2 × 3 × 4a4 x + 3 × 4 × 5a5 x 2 + ...... + n(n − 1)(n − 2)an x n −3,…f (n ) ( x ) = n!an + 2 × 3 × 4...(n + 1)an +1xПолагая в полученных равенствах и равенстве (6) x = 0, имеем:f (0) = a0 ,f ′(0) = 1 × a1,f ′′(0) = 2!a2 ,…f (n ) (0) = n!an ,137откуда находимa0 = f (0), a1 =f ′(0)f ′′(0)f (n )(0), a2 =, …, an =1!2!2!(7)Таким образом, все коэффициенты ряда (6) определяются единственным образом формулами (7), что и доказывает теорему.Теорема доказана полностью.Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (6), получаем:f ( x ) = f ( 0) +f ′(0)f ′′(0) 2f (n ) (0) nx+x + ... +x1!2!n!(8)Ряд (8) называется рядом Маклорена для функции f(x).5.
Тригонометрические ряды. Ряды ФурьеОпределение 1. Ряд видаa0+ a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2 x + b2 sin 2 x + ... + an cos nx +2∞+ bn sin nx + ... =∑a0+(an cos nx + bn sin nx )2 n =1(1)называется тригонометрическим рядом, а числа a0, b0, a1, b1, a2, b2, …,an, bn, … называются коэффициентами тригонометрического ряда.В отличие от степенного ряда, рассмотренного ранее, в тригонометрическом ряде вместо простейших функций 1, x, x2, x3, …, xnвзяты тригонометрические функции1 / 2, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, ..., cos nx, sin nx(2)которые также хорошо изучены.Система функций (2) называется тригонометрической системой.Прежде всего отметим, что все функции системы (2) являютсяпериодическими с периодом 2π .
В самом деле, постоянная 1/2138имеет любой период, а период функций sinx и cosx (n = 1, 2, …) равен 2π / n и, следовательно, число 2π = n(2π / n) = также является их периодом. Очевидно, что каждый член тригонометрическогоряда (1) — это периодическая функция с периодом 2π . Поэтомуи любая частичная сумма ряда (1) 2π — периодична (если все члены ряда не меняются от замены x на x + 2π , то и сумма его не изменится от этой замены). Отсюда следует, что если (1) сходитсяна отрезке [– π , π ], то он сходится на всей числовой прямой,а его сумма, будучи пределом последовательности периодическихчастичных сумм, является периодической функцией с периодом2π . Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны приизучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы, которые имеют место в природе и технике.
Примерами периодических процессов служат колебательныеи вращательные движения различных деталей машин и приборов,периодическое движение небесных тел и элементарных частиц,акустические и электромагнитные колебания и др.Другим важным свойством системы (2) является их ортогональность на отрезке [– π , π ] в следующем смысле: интеграл поотрезку [– π , π ] от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [– π , π ] отквадрата любой функции этой системы отличен от нуля.Действительно,π∫−πππ11cos kxdx =sin kx22k= 0,−ππ11∫ 2 cos kxdx = − 2k cos kx−π=0(3)−πДалееπ∫cos kx cos nx dx =−π12π∫ [cos(k + n)x + cos(k − n)x ]dx =−ππ=1 ⎡ sin(k + n)x sin(k − n)x ⎤+= 0, при k ≠ n2 ⎢⎣ k + nk − n ⎥⎦ −π139( 4)Аналогично находимπ∫ sin kx sin nxdx = 0, при k ≠ n,−ππ∫ sin kx cos nxdx = 0, при k ≠ n.(5)−πНаконецππ∫cos2 kxdx =∫sin 2 kxdx =−πππ1⎡11⎤(1 + cos 2kx )dx = ⎢ x +sin 2kx ⎥ = π ,22⎣2k⎦ −π∫−ππ−ππ11⎡1⎤(1 − cos 2kx )dx = ⎢ x −sin 2kx ⎥ = π ,22⎣2k⎦ −π∫−ππ(6)21π⎛1⎞⎜ ⎟ = x = ,42⎝2⎠−π∫что и требовалось доказать.Ряды ФурьеАналогично степенному ряду, для тригонометрического рядаимеет место следующая теорема.Теорема.
Если функция f(x) определена и интегрируема наотрезке [– π , π ], разлагается в тригонометрический ряд∞f (x ) =∑a0+(an cos nx + bn sin nx ),2 n =1(7)который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно.Доказательство. Интегрируя (7), получаемπ∫−πf ( x )dx =a02π∫π⎡ π⎤⎢an cos nxdx + bn sin nxdx ⎥ ,⎢⎥n =1 ⎣ −π−π⎦∞dx +−π∑ ∫140∫откуда, учитывая (3), находимa0 =1ππ∫ f (x )dx.(8)−πДля определения коэффициента ak при coskx (k — натуральноечисло) умножим равенство (7) на coskx и проинтегрируем по x от– π до π . Тогда на основании формул (3) — (6) получаем:π∫−π⎡ π⎢an cos kx cos nx dx +cos kx dx +⎢n =1 ⎣ −π−πππ⎤⎥+ bn cos kx sin nx dx = ak cos 2 kx dx = ak π ,⎥−π−π⎦af ( x ) cos kx dx = 02π∞∑ ∫∫∫∫откудаak =1ππ∫ f ( x ) cos kx dx.(9)−πАналогично, умножая равенство (7) на sinkx и интегрируя в пределах от – π до π , на основании тех же формул получаем:π∫⎡ π⎢an sin kx cos nx dx +⎢=n1−π⎣ −ππ⎤+ bn sin kx sin nx dx ⎥ = bk π ,⎥−π⎦f ( x ) sin kxdx =−πa02π∫∞sin kx dx +∑ ∫∫откуда находимbk =1ππ∫ f (x ) sin kx dx.−π141(10)Таким образом, коэффициенты a0, ak и bk ряда (7) определяются единственным образом формулами (8) — (10).Теорема доказана.Определение 2.
Пусть f (x) — функция определенная и интегрируемая на отрезке [– π , π ]. Тогда числа a0, an и bn, найденные поформулам (8)—(10), называются коэффициентами Фурье, а рядс этими коэффициентами∞∑a0+(an cos nx + bn sin nx ) —2 n =1это ряд Фурье.Введем понятие периодического продолжения функции f (x),заданной на отрезке [– π , π ].Будем говорить, что функция F(x), определенная на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f (x), если на отрезке [– π , π ]F(x) = f (x).Очевидно, что если на отрезке [– π , π ] ряд Фурье сходится кфункции f (x), то он сходится на всей числовой прямой к ее периодическому продолжению.Установим, при каких условиях ряд Фурье функции f (x) сходится к этой функции.Теорема.
Пусть функция f(x) и ее производная — непрерывные функции на отрезке [– π , π ] или же имеют на нем конечноечисло точек разрыва первого рода. Тогда ряд Фурье функции f (x)сходится на всей числовой прямой, причем в каждой точкеx ∈(– π , π ), в которой f (x) непрерывна, сумма ряда равна f (x),а в каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равнаf ( x 0 − 0) + f ( x 0 + 0),2где f ( x0 − 0) = limx → x 0 −0f ( x ) и f ( x0 + 0) = limx → x0 + 0f ( x ).На концах отрезка [– π , π ] сумма ряда равнаf (−π ) + f (π ).2142В любой точке x ∈[– π , π ] сумма ряда Фурье равна F(x), еслиF (x0 − 0 ) + F ( x0 + 0 )x — точка непрерывности F (x), и равна, ес2ли x — точка разрыва F (x), где F (x) — периодическое продолжение f (x).Теорема доказана.Определение 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
