Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Абсолютная и условная сходимость рядовРассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами.Возьмем какойнибудь знакопеременный ряд:∞a1 + a2 + a3 + ... + an =∑a ,(1)nn =1где числа a1, a2, a3, …, an, … могут быть как положительными, таки отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмотрим ряд из абсолютных величин членов ряда (1):∞| a1 | + | a2 | + | a3 | +...+ | an |=∑| ann =1123|.(2)Для знакопеременных рядов имеет место следующий признаксходимости.Теорема (критерий Коши).
Если ряд (2) сходится, то сходитсяи ряд (1).Доказательство. Пусть ряд (2) сходится. Обозначим через Snчастную сумму ряда (1), а через σ n частичную сумму ряда (2):Sn = a1 + a2 + a3 + … +an,σ n =| a1 | + | a2 | + | a3 | +...+ | an | .Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичныхсумм {σ n } имеет предел lim σ n = σ , при этом для любого n имеетn →∞место неравенствоσn ≤ σ,(3)поскольку члены ряда (2) неотрицательны.Обозначим через S 'n сумму положительных членов, а через S ''n —сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме Sn.ТогдаSn = S 'n — S ''n,σ n = S ' + S '' .n(4)(5)nОчевидно, последовательности {S 'n} и {S ''n} не убывают, а изравенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными:S n′ ≤ σ n ≤ σ и S n′′ ≤ σ n ≤ σ .Следовательно, существуют lim S n′ = S ′ и lim S n′′ = S ′′. Но в таn →∞n →∞ком случае в силу равенства (4) последовательность частичныхсумм ряда (1) имеет предел:lim S n = lim (S n′ − S n′′ ) = lim S n′ − lim S n′′ = S ′ − S ′′.n →∞n →∞n →∞124n ←∞Это означает, что ряд (1) сходится.Теорема доказана.Рассмотренный признак сходимости знакопеременного рядаявляется достаточным, но не необходимым, так как существуютзнакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленныеиз абсолютных величин их членов, расходятся.
Так, например,∞1ряд(−1)n +1 согласно признаку Лейбница сходится, а рядnn =1∑∞∑ n , составленный из абсолютных величин его членов, расхо1n =1дится.Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютнои условно сходящиеся.К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды,для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся.К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, длякоторых ряды, составленные из абсолютных величин их членов,расходятся.3. Функциональные последовательности и рядыВ настоящем параграфе будут рассматриваться последовательности и ряды, членами которых являются некоторые, вообще говоря, комплекснозначные, функции; т.
е. последовательностиf (x) = n, n = 1, 2, 3, …(1)и, соответственно, ряды∞∑ u (x ).n(2)n =1При каждом фиксированном значении аргумента эти последовательности и ряды представляют собой уже рассматривавшиеся числовые последовательности и ряды.125Пусть E — некоторое множество элементов, в частности множество точек прямой, плоскости или вообще nмерного пространства, и пусть (1) — последовательность функций, которые определены на множестве E и значениями которых являются, вообщеговоря, комплексные числа.Определение 1.
Пусть задана последовательность функций (1)и функция f, определенная на множестве E. Будем говорить, чтоуказанная последовательность сходится к функции f равномернона множестве E, если для любого ε > 0 существует такой номер N,что если N > n, тоf ( x ) − fn ( x ) < ε(3)для всех x ∈ E .Последовательность (1) называется равномерно сходящейся намножестве E, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на E.Очевидно, что если последовательность (1) равномерно сходится к функции f на множестве E, то она и просто сходитсяк этой функции на E.Если последовательность { fn} сходится на множестве E к функции f, то мы будем это символически записывать следующим образом:fn → f на Е .Если же эта последовательность { fn} равномерно сходится намножестве E к функции f, то мы будем писать: f n ⇒ f на E.Сущность равномерной сходимости последовательностифункций состоит в том, что для любого ε > 0 можно выбрать номер N, зависящий только от заданного ε и не зависящий от выбора точки x.Теорема (критерий Коши равномерной сходимости последовательностей).
Для того, чтобы последовательность функций fn,n = 1, 2, 3, …, определенных на некотором множестве E, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы126для любого ε > 0 существовал такой номер N, что для всех N > n,всех целых p > 0 и всех точек x ∈ E выполнялось неравенство:fn + p ( x ) − fn ( x ) < ε .(4)ДоказательствоНеобходимость. Пусть последовательность { fn} равномерносходится на множестве E. Тогда согласно определению равномерной сходимости существует такая функция f, что для любого ε > 0существовал такой номер N, что для всех N > nи всех точек x ∈ Ef ( x ) − fn ( x ) <ε.2Поэтому, если N > n и p > 0, то для всех x ∈ Efn + p ( x ) − fn ( x ) ≤ fn + p ( x ) − f ( x ) + f ( x ) − fn ( x ) < ε .Достаточность.
Если выполнено условие (4), то при любом фиксированном x ∈ E последовательностьfn(x), n = 1, 2, 3, …,(5)является числовой последовательностью, удовлетворяющей условию Коши, и поэтому сходится.Обозначим предел последовательности (5) на множестве E через f(x).Покажем, что последовательность { fn} сходится равномернок функции f на множестве E. Действительно, в силу условия (4),чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N, что для всехN > n, всех целых p > 0 и всех точек x ∈ E,fn + p ( x ) − fn ( x ) <127ε.2(6)Замечая, что lim f n + p ( x ) = f ( x ) , перейдем к пределу в нераp →∞венстве (6) при p → ∞ , тогда для всех N > n и всех x ∈ E получим:f ( x ) − fn ( x ) ≤ε< ε,2а это и означает, что f n ⇒ f на E.Теорема доказана.Теорема (признак Вейерштрасса). Если существует такая числовая последовательность {an}, чтоlim an = 0, an ≥ 0,(7)f ( x ) − f n ( x ) ≤ an(8)n →∞для всех n = 1, 2, 3, …, и всех x∈ E, то последовательность { fn} равномерно на E сходится к функции f.Доказательство.
В силу условия (7) для любого ε > 0 существовал такой номер N, что an < ε для всех N > n. Но тогда в силу условия (8)f ( x ) − fn ( x ) < εдля всех N > n и всех x∈ E, а это и означает равномерную сходимость последовательности { fn} к функции f на множестве E.Теорема доказана.Для рядов тоже можно ввести понятие равномерной сходимости.Определение 2. Ряд∞∑ u (x ),n(9)n =1члены которого являются функциями, определенными на множестве E, называется равномерно сходящимся на этом множестве,если последовательность его частичных сумм равномерно сходится на E.128Таким образом, равномерная сходимость ряда (9) означает существование такой функции s(x), чтоsn ( x ) ⇒ s ( x ) на Е .(10)Поскольку из (10) следует, что sn ( x ) → s ( x ) на E, то s(x) является суммой ряда (9).Положим∞rn ( x) =∑u (x ).nk =n +1Тогда s(x) – sn(x) = rn(x) и условие (10) можно переписать в эквивалентной форме:rn ( x ) ⇒ 0 на E ,(11)откуда следует, что, для того чтобы сходящийся на E ряд (9) равномерно сходился на множестве E, необходимо и достаточно, чтобыlim sup rn ( x ) = 0.(12)n → ∞ x∈EТаким образом, из равномерной сходимости ряда, в частности,вытекает, что начиная с некоторого номера верхние грани sup rn ( x )x∈Eконечны, а условие (12) сводит понятие равномерной сходимостиряда к стремлению к нулю числовой последовательности этихверхних граней.Теорема (критерий Коши равномерной сходимости рядов).Для того, чтобы ряд (9) равномерно сходился на множестве E,необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовалтакой номер N, что для всех номеров N > n, всех целых p > 0 и всехточек x ∈ E выполнялось неравенство:n+ p∑u (x ) < ε .kk =n129(13)Следствие (необходимое условие равномерной сходимости ряда).Если ряд (9) сходится на множестве E, тоun ( x ) ⇒ 0 на E .(14)Условие (14) получается из (13), если положить p = 0.Теорема (признак Вейерштрасса — достаточный признак сходимостиряда).
Пусть даны два ряда: функциональный (9), членами которогоявляются функции, определенные на множестве E, и числовой∞∑a , a≥ 0, n = 1, 2, 3, ...(15)un ( x ) ≤ an , n = 1, 2, 3, ... ,(16)nnn =1Если ряд (15) сходится ито ряд (9) абсолютно и равномерно сходится на множестве E.Доказательство. Абсолютная сходимость ряда (9) на E в случаесходимости ряда (15) сразу следует по признаку сравнения из неравенства (16).Докажем равномерную сходимость. Если ряд (15) сходится, тов силу критерия Коши для любого ε > 0 существует такой номер N,n+ pчто∑ak< ε для всех номеров N > n и всех целых p > 0.
Отсюдаk =nи из (16) следует, чтоn+ p∑n+ puk ( x ) ≤k =n∑n+ puk ( x ) ≤k =n∑ak<εk =nдля всех N > n и всех x ∈ E.Поэтому в силу критерия Коши для равномерной сходимостиряда ряд (9) равномерно сходится на множестве E.Теорема 1. Если функции un(x), n = 1, 2, 3, … непрерывны намножестве E ⊂ E n и рядnn =1∞его сумма s ( x ) =∞∑ u (x ) равномерно сходится на E, то∑ u (x ) также непрерывна на E.nn =1130Теорема 2. Пусть функции un(x), n = 1, 2, 3, … непрерывны наотрезке [a, b] и ряд∞∑u (x )(17)nn =1равномерно сходится на отрезке [a, b], тогда ряд∞ x∑ ∫ u (t )dt ,(18)nn =1 aтакже равномерно сходится на [a, b], и если∞s( x ) =∑ u (x ),n(19)n =1то∞ xx∫s ( x )dx =∑ ∫ u (t )dt ,na ≤ x ≤ b.(20)n =1 aaЕсли эту формулу переписать в виде:⎡ ∞⎤⎢ un (t )⎥dt =⎢⎥⎦a ⎣ n =1x∫∑∞ x∑ ∫ u (t )dt ,nn =1 aто видно, что она законна в условиях предыдущей теоремы почленного интегрирования ряда.Доказательство.
В силу равномерной сходимости ряда (17), согласно теореме 1 функция s(x) непрерывна на отрезке [a, b] и поэтому интегрируема на любом отрезке [a, x], a < x < b.131Покажем, что ряд (18) равномерно на отрезке [a, b] сходитсяк функцииx∫ s(t )dt .(21)anПусть sn ( x ) =∑u (x ) и r (x ) = s( x) − s ( x).knnk =1Тогда для любого x∈ [a, b] имеем:x∫an xs (t )dt −∑∫k =1 a∫∫∑∫xx=x⎡ n⎤s (t )dt − ⎢ uk (t )⎥dt =⎢⎥⎦aa ⎣ k =1xuk (t )dt =∫rn (t ) dt ≤ sup rn (t ) dt ≤ ( x − a) sup rn (t ) ≤ (b − a) sup rn ( x ) . (22)a[a,x ][a, x ]a[a,b ]Последовательность sup rn ( x ) , n = 1, 2, 3, … является число[a,b ]вой последовательностью.
В силу равномерной сходимости ряда (17)lim sup rn ( x ) = 0 , поэтому из неравенства (22) согласно признакуn → ∞ [a,b ]Вейерштрасса для равномерной сходимости последовательностиследует, что последовательность частичных сумм ряда (18) равномерно сходится к функции (21), а это и означает равномернуюсходимость ряда (18) к функции (21). Теорема и формула (20) доказаны.Теорема 3. Пусть функции un(x), n = 1, 2, 3, … непрерывнодифференцируемы на отрезке [a, b] и ряд, составленный из ихпроизводных∞un′ ( x ),(23)∑n =1∞равномерно сходится на отрезке [a, b]. Тогда, если ряд∑u (x )nn =1сходится хотя бы в одной точке c∈ [a, b], то он сходится равномерно на всем отрезке [a, b], его сумма132∞∑u (x )s( x ) =(24)nn =1непрерывно дифференцируема иs ′( x ) =∞∑ u′ (x ).(25)nn =1Если эту формулу переписать в виде:′⎡ ∞⎤⎢ un ( x )⎥ =⎢⎣ n =1⎥⎦∑∞∑u′ (x ),nn =1то видно, что она законна при сделанных предположениях почленного дифференцирования ряда.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
