Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Будем считать, что uи v определяются из (13) единственным образом:u=u (x, y), v = v (x, y)(14)С помощью формул (14) каждой точке M(x, y) из области G ставится в соответствие некоторая точка M*(x, y) на координатнойплоскости с прямоугольными координатами u и v. Пусть множествовсех точек M*(u, v) образует ограниченную замкнутую область G*.Формулы (13) называют формулами преобразования координат,а формулы (14) — формулами обратного преобразования.При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производныепервого порядка и если определитель∂xD( x, y )∂= u∂yD (u, v )∂u∂x∂v∂y∂v(15)отличен в G* от нуля, то для интеграла (12) справедлива формулазамены переменных:∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f [x(u,v), y(u,v)] D(u,v ) dudv.D( x, y )GG*109(16)Определитель (15) называется функциональным определителем,или якобианом (по имени немецкого математика К.
Г. Якоби),функций x= x(u, v) y = y(u, v) по переменным u и v.Теорема. Если преобразование (13) переводит замкнутую ограниченную область G* в замкнутую ограниченную область G* и является взаимно однозначным и если функции (13) имеют в областиG* непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (15), а функция f(x, y) непрерывна в области G,то справедлива формула замены переменных (16).10. Криволинейные интегралыОбобщим понятие определенного интеграла на случай, когдаобластью интегрирования является отрезок некоторой кривой,лежащий на плоскости.Интегралы такого рода называются криволинейными.Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и второго рода.Криволинейные интегралы первого родаОпределение 1.
Кривая, заданная уравнениями x = ϕ (t ),y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β , называется гладкой, если функции ϕ (t )и ψ (t ) непрерывны и имеют непрерывные производные ϕ ′(t ) и ψ ′(t ) ,не обращающиеся в нуль одновременно (тем самым кривая в каждой точке имеет касательную). Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется кусочногладкой.Рассмотрим на плоскости Oxy некоторую кривую AB, гладкуюили кусочногладкую, и предположим, что функция z = f (x, y)определена и ограничена на кривой AB.Разобьем кривую AB произвольно на n частей точками A = M0,M1, M2, …, Mi–1, Mi, …, Mn–1, Mn = B, выберем на каждой из частичных дуг Mi–1Mi произвольную точку Mi* и составим суммуn∑ f (M *)Δl ,ii =1110i(1)где Δ li — длина дуги Mi—1Mi.Сумма (1) называется интегральной суммой для функции z == f(x, y) = f(M) по кривой AB.
Обозначим через λ наибольшую издлин частичных дуг Mi—1Mi( λ = max {Δli } ).1≤ i ≤ nОпределение 2. Если интегральная сумма при λ → 0 имеетпредел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции F(x, y) по кривой AB и обозначается одним из следующих символов:I =∫ f (M )dl = ∫ f (x, y )dl .ABABВ этом случае функция f (x, y) называется интегрируемой вдолькривой AB, сама кривая AB — это контур интегрирования, A — начальная, а B — конечная точки интегрирования.Криволинейные интегралы второго родаПусть на кривой AB определены две ограниченные функцииP(x, y) и Q(x, y). Разобьем кривую AB на n частей точками A = M0,M1, M2, …, Mi–1, Mi, …, Mn–1, Mn = B.
Обозначим через Δ xi и Δ yiпроекции вектора M i −1M i на оси координат, на каждой частичной дуге Mi–1Mi возьмем произвольную точку Mi* и составим интегральную сумму для функции P(x, y)[Q(x, y)]:n∑i =1⎡ n⎤P (M i *)Δxi ⎢ Q(M i*)Δyi ⎥.⎢⎣ i =1⎥⎦∑(2)Определение 3. Если интегральная сумма (2) при λ → 0( λ = max {Δli } , Δ li — длина дуги Mi–1Mi ) имеет предел, равный I,1≤ i ≤ nто этот предел называется криволинейным интегралом второго родаот функции P(x, y)[Q(x, y)] по кривой AB и обозначается символом∫ P (x, y ) dx [ ∫ Q(x, y)dy ].ABСуммуAB∫ P (x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy называют общим криволинейABABным интегралом второго рода и обозначают символом∫ P (x, y )dx +AB+ Q( x, y )dy . .11111.
Поверхностные интегралыВ этом параграфе рассмотрены интегралы от функций, заданных на поверхности, так называемые поверхностные интегралы.Различают поверхностные интегралы первого и второго рода.Поверхностный интеграл первого родаДадим сначала определение гладкой и кусочногладкой поверхности.Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость и при переходе от точки к точк еположение этой касательной плоскости меняется непрерывно.Поверхность, состоящая из конечного числа гладких кусков, которые ориентированы непрерывно, называется кусочногладкой.Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочногладкой определена ограниченная функция f (M) = f (x, y, z).Разобьем поверхность S произвольно на nчастей с площадямиΔS1, ΔS2, …, ΔSn. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi(ξi, ηi, ζi), составим суммуn∑ f (M )ΔS .ii(1)i =1Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f (M)по поверхности S.
Обозначим через λ наибольший из диаметровчастей поверхности.Определение 1. Если интегральная сумма (1) при λ → 0 имеетпредел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x, y, z) по поверхности S и обозначается одним из следующих символов:I =∫∫ f (M )dS = ∫∫ f (x, y, z )dS .SSВ этом случае функция f(x, y, z) называется интегрируемой поповерхности S, где S — это поверхность интегрирования.Данное определение, по сути, аналогично определению двойного интеграла.
Поэтому свойства двойных интегралов и условияих существования без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.112Поверхностный интеграл второго родаВведем предварительно понятие стороны поверхности.Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку Mи проведем через нее нормаль к поверхности (вектор n ). Рассмотрим теперь на поверхности какойлибо замкнутый контур, проходящий через точку M и не имеющий общих точек с границейповерхности S.
Будем перемещать точку M по заданному контурувместе с вектором n так, чтобы вектор n все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно. В начальное положение точка M вернетсялибо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращениив исходную точку не меняет направления нормали к поверхности,то поверхность называется двусторонней.Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость,сфера, любая поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), гдеf (x, y), f 'x(x, y) и f 'y(x, y) — функции, непрерывные в некоторойобласти G плоскости Oxy.Если же на поверхности S существует замкнутый контур, приобходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности.
Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точекс выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны — ориентациейповерхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а одностороннюю — неориентируемой.Пусть S — гладкая поверхность, заданная уравнением z = f (x, y),а R(x, y, z) — ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, т. е.
одноиз двух возможных направлений нормали в точках поверхности(тем самым мы ориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с осью Oz, то будем говорить, что выбранаверхняя сторона поверхности z = f (x, y), если тупые углы — то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольнона n частей и обозначим через Gi проекцию iй части поверхности113на плоскость Oxy. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку M i (ξi ,ηi ,ζ i ) , составим сумму:n∑ R(ξ ,η ,ζ )Δs ,iii(2)ii =1где Δsi — площадь Gi, взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности S. Сумма (2) называется интегральнойсуммой функции R(M) = R(x, y, z). Обозначим через λ наибольший из диаметров частей поверхности S.Определение 2.
Если интегральная сумма (2) при λ → 0 имеетпредел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R (x, y, z) по выбранной сторонеповерхности S и обозначается одним из следующих символов:I =∫∫ R(M )dxdy = ∫∫ R(x, y, z )dxdy.SSВ этом случае функция R(x, y, z) называется интегрируемой поповерхности S по переменным x и y.Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S, по переменным y и z(z и x) от функции P(x, y, z)[Q(x, y, z)], которая определена на поверхности S:⎡⎤⎣S⎦∫∫ P (x, y, z )dydz ⎢⎢∫∫Q(x, y, z )dzdx ⎥⎥SСумму∫∫ P (x, y, z )dydz + ∫∫Q(x, y, z )dzdx + ∫∫R(x, y, z )dxdySSSназывают общим поверхностным интегралом второго рода и символом∫∫ P (x, y, z )dydz + Q(x, y, z )dzdx + R(x, y, z )dxdy.S114Поверхностный интеграл второго рода обладает такими жесвойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но, в отличие от последнего, при изменении стороны поверхности (переориентации) он меняет знак.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
