Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Пусть R — некоторое множество функций,определенных на отрезке [a, b]. Система функций ϕ1( x ), ϕ2 ( x ), ...,..., ϕn ( x ) называется полной для множества R если, какова бы нибыла функция f(x) ∈R, для каждого ε > 0 существует такое конечное число функций ϕn1 ( x ), ϕn2 ( x ), ..., ϕnk ( x ) из данной системыи такие числа λ1, λ2 , ..., λk , чтоf ( x ) − [λ1ϕn1 ( x ) + λ2ϕn2 ( x ) + ...

+ λk ϕnk ] < εдля всех x ∈[a, b].Заметим, что тригонометрическая система (2) заведомо неполна в множестве всех непрерывных на [– π , π ] функций в смысле определения 3.Введем такой тригонометрический полином Tε , что если функция f (x) такова, что для любого ε > 0 существует такой тригонометрический полином Tε , чтоf ( x ) − Tε < ε , x ∈[−π , π ] ,то из условия Tε (π ) = Tε (−π ) при ε → 0 следует, что f (π ) = f (−π ) .Представление функций в виде интеграла ФурьеПусть функция f абсолютно интегрируема на всей вещественной оси. Напишем для нее интеграл, соответствующий в определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексуn заменено интегрированием по некоторому параметру:+∞∫ [a( y )cos xy + b( y ) sin xy ]dy,0143(1)гдеa( y ) =b( y ) =1π1π+∞∫ f (t ) cos yt dt ,(2)∫ f (t )sin ytdt .(3)−∞+∞−∞Формулы (2) и (3) напоминают формулы для коэффициентовряда Фурье.Определение 1.

Интеграл (1) называется интегралом Фурьефункции f.Подставляя (2) и (3) в интеграл (1), преобразуем его следующим образом:+∞1∫ [a( y )cos xy + b( y) sin xy ]dy =+∞π0+ sin ty sin xy )dt =1π+∞+∞0−∞+∞∫ ∫ f (t )(cos ty cos xy +dy0−∞∫ dy ∫ f (t ) cos y(x − t )dt .(4)Подобно тому, как сумма ряда Фурье функции при определенных условиях дает значение самой функции, интеграл Фурье также дает представление исходной функции.Теорема 1. Пусть функция f кусочнонепрерывна на каждом конечном отрезке и абсолютно интегрируема на всей вещественнойпрямой, пусть в каждой точке x существует производная справаf+(x) и производная слева f–(x), тогда справедлива формулаf ( x + 0) + f ( x − 0) 1=π2+∞∫ dy ∫ f (t )cos y(x − t )dt .(5)0В дальнейшем для простоты записи будем считать, что функция f в дополнение к условиям, сформулированным в теореме 1,144непрерывна во всех точках. В этом случае справедлива формулаФурье:1f (x ) =π+∞+∞0−∞∫ dy ∫ f (t ) cos y(x − t )dt ,и так как подынтегральная функция четная относительно переменной y, то1f (x ) =2π+∞+∞−∞−∞∫ dy ∫ f (t )cos y(x − t )dt .(6)Определение 2.

Пусть функция ϕ интегрируема на любом конечном отрезке, если существует конечный пределηlimι →+ ∞∫ ϕ(x )dx, η > 0−ηη(а не предел lim∫ϕ(x )dx, где ξ и η стремятся к бесконечностиι → +∞E → −∞ −ξнезависимо друг от друга, как при определении несобственного ин∞теграла), то он называется главным значением интеграла∫ϕ( x)dx−∞и обозначается буквами vp:η+∞∫v × p × ϕ ( x )dx = lim−∞η → +∞∫ϕ(x )dx.−ηОпределение 3.

Функция Ф, которая ставится в соответствиефункции f формулойΦ( x ) = v × p ×12π+∞∫ f ( y )e−∞145−ixydy,(7)называется преобразованием Фурье функции f и обозначаетсяF [ f ] или S f .В этом определении f(t), вообще говоря, комплекснозначнаяфункция вещественного аргумента. Отметим, что Ф = F [ f ] может принимать существенно комплексные значения и в том случае, когда функция f принимает только вещественные значения.Преобразование Фурье определено, в частности, для всех абсолютно интегрируемых функций.Определение 4. Функция Ф, которая ставится в соответствиефункции f формулойΦ( x ) = v × p ×12π+∞∫ f ( y)eixydy,(8)−∞называется обратным преобразованием Фурье функции f и обозначается F–1[ f ].Относительно обратного преобразования Фурье справедливызамечания, аналогичные тем, которые были сделаны после определения преобразования Фурье.

Сам термин «обратное преобразование Фурье» оправдывается тем, что преобразование F–1[ f ]обращает преобразование Фурье F–1[ f ]. Более точно справедлива следующая лемма.Лемма 1. Пусть непрерывная абсолютно интегрируемая на всейоси функция f имеет в каждой точке конечные односторонниепроизводные, тогдаF −1[F [ f ]] = F [F −1[ f ]] = f .Доказательство. Покажем справедливость второй формулыобращения F [F–1[ f ]] = f.

Поскольку косинус — четная функция, тоf (x ) =12π+∞+∞∫ ∫ f (t ) cos y(x − t )dt ,dy−∞−∞146в силу же нечетности синуса+∞+∞∫ ∫ f (t )sin y (t − x )dt = 0.v × p × dy−∞−∞Поэтому имеемf (x ) =илиf (x ) =112π+∞+∞∫ ∫ f (t )edy−∞+∞ ⎡dt ,−∞⎢ 1⎢ 2π2π−∞ ⎣∫iy (t − x )+∞∫ f (t )e−∞ity⎤dt ⎥e −ixy dy,⎥⎦где внешний интеграл понимается в смысле главного значения.Эта формула может быть переписана в виде:F[F–1[ f ]] = f.(9)Лемма доказана.Лемма 2.

Пусть для функций f1 и f2 существует преобразованиеФурье (соответственно обратное преобразование Фурье), тогда, каковы бы ни были числа λ1 и λ2 , существует преобразование Фурье(соответственно обратное преобразование Фурье) и для функцииλ1 f1 + λ2 f 2 , причемF [λ1 f1 + λ2 f 2 ] = λ1F [ f1] + λ2F [ f 2 ](10)(соответственно F −1[λ1 f1 + λ2 f 2 ] = λ1F −1[ f1] + λ2F −1[ f 2 ] ).Это свойство называется линейностью преобразования Фурье,(соответственно обратного преобразования Фурье).

Оно непосредственно следует из формул (7), (8).Лемма 3. Преобразование Фурье, так же как и обратное преобразование Фурье, является взаимно однозначным преобразова147нием на множестве непрерывных абсолютно интегрируемых навсей оси функций, имеющих в каждой точке односторонние производные.Это означает, что если f1 и f2 — две функции указанного типаи если F [ f1] = F [ f2] (соответственно, если F–1[ f1] = F–1[ f2]), тоf1 ≡ f2 на всей оси.Доказательство.

Пусть F [ f1] = F [ f2]. Тогда в силу линейностиразбиения Фурье F [ f1 – f2] = 0. Поэтому по линейности F–1и F–1[F [ f1 – f2]] = 0. Но согласно лемме 1 F–1[F [ f1 – f2]] = f1 – f2.Следовательно, f1 ≡ f2 . Аналогично доказывается взаимная однозначность обратного преобразования Фурье.Лемма доказана.Теорема (неравенство Бесселя). Пусть f(x) — функция с интегрируемым на отрезке квадратом. Тогда, если Sn(x) — ее суммаФурье порядка n, тоππ22∫ [f (x ) − Sn (x )] dx = min ∫ [f (x ) − Tn (x )] dx,Tn ( x )−π(11)−πгде минимум в правой части равенства берется по всем тригонометрическим многочленам Tn степени не выше n.Если a0, an и bn, n = 1, 2, 3, … коэффициенты Фурье функцииf (x), то справедливо неравенство∞a021+an2 + bn2 ≤2 n =1π∑π∫f2( x )dx ,(12)−πназываемое неравенством Бесселя.Доказательство.

ПустьnTn ( x ) =∑A0+Ak cos kx + Bk sin kx,2 k =1тогда, открыв квадратные скобки в выраженииπ∫ [f (x ) − T (x )] dx2n−π148(13)и используя рассуждения об ортогональности тригонометрической системы из начала параграфа, получаем:ππn⎛ A2⎞f 2 ( x )dx + π ⎜ 0 +Ak2 + Bk2 ⎟ −⎜ 2⎟k =1⎝⎠−π−ππππn⎡⎤A− 2⎢ 0 f ( x )dx +Ak f ( x ) cos kxdx + Bk f ( x ) sin kxdx ⎥ =⎢ 2⎥k =1−π−π⎣ −π⎦∑2∫ [f (x ) − Tn (x )] dx = ∫∑ ∫∫π=∫n⎛ A2 n 2⎞⎡a A⎤f 2 ( x)dx + π ⎜ 0 +Ak + Bk2 ⎟ − 2π ⎢ 0 0 + ak Ak + bk Bk ⎥ =⎜ 2⎟⎢⎣ 2⎥⎦k =1k =1⎝⎠−π∑∫π=∫−π∑n⎡ ( A − a )2⎤f 2 ( x )dx + π ⎢ 0 0 +( Ak − ak )2 + (Bk − bk )2 ⎥ − π2⎢⎣⎥⎦k =1∑n⎡ a2⎤−π ⎢ 0 +ak2 + bk2 ⎥ .⎢⎣ 2 k =1⎥⎦∑(14)Из полученного выражения видно, что величина (13) принимает наименьшее значение, когда A0 = a0, Ak = ak, Bk = bk, k = 1, 2,3, …, т. е.

когда Tn(x) является суммой Фурье Sn(x) функции f(x).Первое утверждение теоремы доказано.Если Tn(x) = Sn(x), то из (14) следует, чтоπ2∫ [f (x ) − Sn (x )] dx =−ππn⎡ a2⎤f 2 ( x )dx − π ⎢ 0 +ak2 + bk2 ⎥ ,⎢⎣ 2 k =1⎥⎦−π∑∫(15)откудаπn⎡ a2⎤f 2 ( x )dx − π ⎢ 0 +ak2 + bk2 ⎥ ≥ 0.⎢⎣ 2 k =1⎥⎦−π∫∑Это неравенство справедливо при любом натуральном n. Переходя в нем к пределу при n → ∞ , получим неравенство149π∞⎡ a2⎤f 2 ( x )dx − π ⎢ 0 +ak2 + bk2 ⎥ ≥ 0.⎢⎣ 2 k =1⎥⎦−π∑∫Очевидно, что оно равносильно неравенству (12).Теорема доказана.Теорема (равенство Парсеваля).

Пусть функция f (x) непрерывна на [– π , π ], f ( π ) = f (– π ) и a0, an и bn, n = 1, 2 , 3, … — ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство1ππ∫f 2 ( x )dx =−π∞a02+an2 + bn2,2 n =1∑называемое равенством Парсеваля.Доказательство. Для каждого ε > 0 в силу полноты в смыслесреднего квадратичного системы тригонометрических функций(2) в классе непрерывных функций, принимающих одинаковыезначения на концах отрезка [– π , π ], для функции f(x) существует такой тригонометрический полином T(x) некоторого порядка k, чтоπ∫ [f (x ) − T (x )] dx < ε .2−π(16)ЛЕКЦИЯ № 5.

Интегралы ЛебегаВ целях обобщения понятия интеграла на более широкийкласс функций применяется определение интеграла, введенное вматематику А. Лебегом.Пусть на измеримом множестве E определена измеримая ограниченная функция f (x) : m < f(x) < M, где M и m — данные числа. Разобьем сегмент [m, M], лежащий на координатной оси Oy (а не наоси Ox!), на части точками деления m = y0 < y1 < y2 < ...

< yn = M .Пусть α = max( yi +1 − yi ).Составим сумму:n −1Sα =∑ y mE ( y ≤ f < yii +1 ),ii =0где mE ( yi ≤ f < yi +1 ) — мера той части множества E (эта часть измерима на основании определения измеримой функции), для которой значения функции f во всех точках этой части множестваподчинены неравенствам, указанным в скобках.Составленная сумма называется интегральной суммой Лебега.Определение 1. Предел интегральной суммы Лебегаn −1Sα =∑ y mE ( y ≤ f < yii +1 ),ii =0при стремлении α к нулю называется интегралом Лебега функциина множестве E.Интеграл Лебега обозначается (L) f ( x )dx , или просто f ( x )dx,∫∫EEесли же множество E есть сегмент [a, b], то эти обозначения принимают вид:bb∫(L) f ( x )dx, или простоa∫ f (x )dxa151Теорема 1. Интеграл Лебега измеримой ограниченной функцииf(x), определенной на измеримом множестве E, по этому множествусуществует.Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций