Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Сведем вопрос о существовании интеграла Лебега к вопросу о существовании некоторого интеграла Стилтьеса:n −1limα →0∑n −1yi mE ( yi ≤ f ≤ yi +1 ) = limα →1i =0n −1= limα →0∑∑ y {mE ( yii +1> f ) − mE ( yi > f )} =i =0yi {g ( yi +1) − g ( yi ) }=i =0M∫ ydg ( y ),mгде через g(y) обозначено g(y) = mE(y > f ). Функция f (y) = y, очевидно, непрерывна, а функция g(y) монотонна, так как если y1 < y2, тоmE(y1 > f ) < mE(y2 > f ). Отсюда существование последнего предела в рассматриваемой цепи равенств на основании теоремы о существовании интеграла Стилтьеса (если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а функция g(x) имеет на этом сегментеограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса функции f (x) пофункции g(x) на [a, b] существует) становится доказанным.Чем и заканчивается доказательство теоремы о существовании интеграла Лебега.Из доказательства теоремы следует, что класс интегрируемыхпо Лебегу функций так же широк, как класс ограниченных измеримых функций.
Перечислим следующие свойства интеграла Лебега.1.∫ f (x )dx = 0,если mE = 0.EЭто очевидно, так как мера всякого подмножества E(yi < f < yi+1)также равна нулю, а значит, любая интегральная сумма Лебега равна нулю. Отсюда следует, что на величину интеграла Лебега невлияют значения, принимаемые подынтегральной функцией f(x) намножестве E0 ⊂ E при условии mE0 = 0. Такими подмножествамипри интегрировании по Лебегу можно просто пренебрегать.152∫ f (x )dx ≤ BmE .2. Если A < f < B, то AmE ≤EСправедливость ее видна из рассмотрения интегральных суммдля интеграла Лебега∫ϕ (x)dx (i = 1, 2, 3, …) в случае ϕ (x ) = A,1iEϕ2 ( x ) = f ( x ), ϕ3 ( x ) = B .n −1∑ y mE ( y ≤ f ≤ yДействительно,ii +1 )iдля ϕ1( x ) = A окажетсяi =0состоящей из одного слагаемого: y0mE(y < A < y1), так как E(y0 < A <∫< y1) = E, y0 = A и, таким образом, в этом случае ϕ1( x )dx = A × mE .АналогичноE∫ϕ (x )dx = B × mE .3EВ тоже время интегральная сумма, составленная для функцииϕ2 ( x ) = f ( x ), удовлетворяет соотношениямn −1n −1AmE =∑AmE ( yi ≤ f < yi +1) ≤∑ ymE ( y ≤ f < yi +1 ) ≤ii =0i =0n −1≤∑ BmE ( y ≤ f < yi +1 ) = BmE .ii =0Переход к пределу убеждает нас в справедливости утверждения.Отсюда следует: если f(x) = C, то∫ f (x )dx = CmE .E3.
Если E = E1 + E2, где E1 I E2 = 0, то∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx.EE1E2Это видно из следующих рассуждений:∫En −1n −1f ( x )dx = limα →0∑yi × mE ( yi ≤ f < yi +1 ) = limα →0i =1∑ y mE ( y ≤ii =0n −1≤ f < yi _1 ) + limα →0∑ y mE ( y ≤ f < yii =01532ii +1 ).1i4. Если на множестве E определены такие две функции f (x)и ϕ (x ) , что mE ( f ≠ ϕ ) = 0 , то∫ f (x )dx = ∫ϕ(x )dx . Для обоснованияEEпоследнего равенства обозначим E ( f ≠ ϕ ) = E1:∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx,EE − E1E1∫ϕ(x )dx = ∫ϕ(x )dx + ∫ϕ(x )dx.EE − E1E2Сравнивая правые части равенства, убеждаемся в том, что первые слагаемые в них равны благодаря совпадению функций f(x) иϕ (x ) на множестве E – E1, вторые слагаемые равны нулю на основании 1.5. Лемма.
Если функция f(x) интегрируема по Риману на сегменте [a, b], то она:1) интегрируема по Лебегу на сегменте;2) интегралы функций на сегменте по Риману и по Лебегуравны.Докажем справедливость этого утверждения.Доказательство. Действительно, пусть E — множество точек разрыва функции f (x) на сегменте S = [a, b]. Пусть мера этого множества mE = 0. Докажем, что в этом случае множество M = S(f > A),представляющее собой часть сегмента S, в точках которого f > A (A —произвольное действительное число), измеримо.
Очевидно, чтоM = M − M ′(S − M ) ,где M — замыкание множества M;M ′ — множество предельных точек множества M.Для доказательства леммы нужно доказать только, что множество M ′(S − M ) измеримо, так как M замкнуто, а следовательно,измеримо. Множество M, как разность двух измеримых множеств,окажется тогда множеством измеримым.Докажем, что множество M ′(S − M ) измеримо.Нетрудно видеть, что M ′(S − M ) ⊂ E , так как всякая предельная точка M, не принадлежащая множеству M, принадлежит E.154В самом деле, пусть ξ — предельная точка M. Допустим, что вточке ξ функция f(x) непрерывна. Тогда f( ξ ) < A, и это неравенство остается справедливым для некоторой окрестности U( ξ , ε )точки.
Следовательно, ξ не может быть предельной для M. Отсюда, если ξ — предельная точка M, не принадлежащая ему (f( ξ ) <A), то ξ есть точка разрыва, т. е. точка, принадлежащая E. Так какмера mE = 0, то всякая его часть, в том числе и M ′(S − M ) , есть измеримое множество нулевой меры.Разобьем сегмент [a, b] точками деления a = x0 < x1 < … < xn = bи обозначим через Mi и mi верхнюю и нижнюю грани функции f(x)на сегменте [xi, xi+1]. Тогда на основании 2x i +1∫ f (x )dx ≤ M (xmi ( xi +1 − x ) ≤ (L)i +1 − xi ).ixiПросуммировав по индексу i, имеем на основании 3:n −1∑b∫mi ( xi +1 − x ) ≤ (L ) f (x )dx ≤i= 0n −1∑ M (xii +1− xi ).i =0ab∫Между теми же суммами заключен и (R ) f ( x )dx .aПереходя к пределу при α → 0 , получаем:bb∫∫(L ) f ( x )dx = (R ) f ( x )dx .aaПримерФункция Дирихле ϕ (x ) интегрируема по Лебегу, так как1∫ϕ(x )dx = ∫ϕ(x )dx + ∫ϕ(x )dx,0IR155где I — множество иррациональных точек сегмента [0, 1];R — множество рациональных точек сегмента [0, 1].∫Но ϕ( x )dx = 0 на основании 5, так как ϕ (x ) = 0 на множестве I,I∫ϕ(x )dx = 0 на основании 1, так как mR = 0.RВ заключение изложения теории Лебега отметим, что интеграл Лебега от характеристической функции e(x) по измеримомумножеству E равен лебеговой мере этого множества:∫(L ) e( x )dx = mE ,Eчто непосредственно следует из рассмотрения интегральной суммыЛебега, в которой в этом случае все слагаемые обратятся в нуль,кроме одного, равного mE для любого разбиения.Это позволяет, вопервых, установить некоторую аналогиюмежду интегралами Римана и Лебега, а именно: жорданова мерамножества связана с интегралом Римана соотношениемb∫mesE = (R ) e( x )dx,aа лебегова мера множества — аналогичноb∫mE = (L) e( x )dx,aи, вовторых, отметить принципиальную разницу в самом построении теории Лебега, которая никак не исчерпывается бросающимся в глаза различием в разбиении сегмента не на оси Ox, какэто делается для вычисления интегральной суммы Римана, а наоси Oy.156СодержаниеЛЕКЦИЯ № 1.
Математический анализ функцийодной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32. Теорема о вложенных отрезках . . . . . . . . . . . . . . . . .43. Числовые последовательности .
. . . . . . . . . . . . . . . .54. Сходящиеся и расходящиесяпоследовательности. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . .75. Определение и признак сходимостимонотонной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . .10ЛЕКЦИЯ № 2. Функции одной переменной . . . . .
. . . . . 131. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153. Два замечательных предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174. Критерий Кошисуществования предела функции . . . . . . . . . . . . . . . .195. Бесконечно малыеи бесконечно большие функции . . . . . . . . . . . . . . . .216. Непрерывность в точке . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247. Непрерывность на промежутке . . . . . . . . . . . . . . .268. Производная и дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . .309. Производные и дифференциалывысших порядков . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .3415710. Признаки монотонности, экстремумы,максимумы, минимумы, выпуклость,вогнутость и точки перегиба.Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37∞11. Неопределенности вида 0 и .0∞Правило Лопиталя . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4112. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4313. Первообразная функцияи неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4714. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .5315. Суммы Дарбу и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . .5916. Критерий интегрируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . .6217. Интеграл с переменным верхним пределом.Формула Ньютона—Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . .6318. Интегрируемость непрерывныхи некоторых разрывных функций . . .
. . . . . . . . . . . .6719. Замена переменной и интегрированиепо частям в определенном интеграле . . . . . . . . . . . .6820. Несобственные интегралы.Абсолютная сходимость.Признаки сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70ЛЕКЦИЯ № 3. Функции нескольких переменных . . . .
. 751. Топология. Метрические пространства.Компактные множества в ℜn . . . . . . . . . . . . . . . . . .752. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793. Функция нескольких переменных.Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .841584. Частные производныеи дифференцируемость .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .875. Производная по направлению.Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .916. Частные производные и дифференциалывысших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .937. Формула Тейлора для функциидвух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .978. Необходимые и достаточные условиясуществования локального экстремума . . . . . . . . . .999. Двойной интеграл . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
