Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть на множестве E пространства En определена функция f(x), E0 — некоторое подмножество множества E.Число a называется пределом функции f(x) по множеству E0при x → x(0), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что(0)для любой точки x ∈ O( x , δ ) ∩ E 0 , x ≠ x0 ( O( x (0), δ ) — δ —окрестность точки x0).Наряду с указанными пределами функций многих переменных можно рассматривать и пределы других видов, связанныес последующим переходом к пределу, например по различнымкоординатам, т. е. предел видаlimlim … lim 0 , f (x1, x2,..., xn )xi1 → xi01 xi2 → xi02xin → xinгде (i1, i2, …, in) — некоторая перестановка чисел 1, 2, …, n, x(0) == (xi(0)) ∈ En и функция f(x) определена в некоторой окрестноститочки x(0), кроме, быть может, самой этой точки.
Предел указанного вида называется повторным пределом.Теорема. Пусть функция f(x, y) определена на множестве E, содержащем все точки некоторой прямоугольной окрестностиP (( x0 , y0 ); δ1, δ 2 ) точки (x0, y0), кроме, быть может, точек прямыхx = x0 и y = y0.Если существует предел функции f в точке (x0, y0) по множеству E и если при любом y ∈ ( y0 − δ 2, y0 + δ 2 ) , y ≠ y0 существуетпредел85lim f ( x, y ) = g ( y ),(1)x → x0то повторный предел lim lim f ( x, y ) существует:y → y0 x → x 0lim lim f ( x, y ) =y → y0 x → x 0Доказательство.
Пустьlim( x , y )→( x 0 , y0 ),( x , y )∈Elim( x , y )→( x 0 , y0 ),( x , y )∈Ef ( x, y ).f ( x, y ) = A и пустьфиксирована произвольная ε > 0 . Существует прямоугольнаяокрестность P (( x0 , y0 ); η1, η2 ) , 0 < η1 < δ1 и 0 < η2 < δ 2 так, чтоесли 0 < x − x0 < η1 , 0 < y − y 0 < η2 , тоf (x, y )− A <ε.2(2)В силу существования предела (1) для такого любого числа y,что 0 < y − y 0 < η2 , из (2) следует, что g ( y ) − A ≤ε< ε , а это2и означает, что lim g ( y ) = A .y → y0Теорема доказана полностью.Пусть функция z = f (x, y) определена в окрестности точкиM0(x0, y0) и в самой этой точке.Если предел функции f (x, y) при x → x0 и y → y0 равен значению функции в точке (x0, y0), то говорят, что функция f(x, y) непрерывна в этой точке.Определение 2.
Если lim f ( x, y ) = f ( x 0 , y0 ) , то функция f (x, y)x →x0y → y0называется непрерывной в точке (x0, y0), в противном случае функция имеет разрыв в этой точке.Пусть функция z = f (x, y) определена в окрестности точкиM0(x0, y0) и непрерывна в этой точке. Дадим в точке (x0, y0), приращения Δ x и Δ y аргументам x и y, тогда и функция z получитновое значение, равное f (x0 + Δ x, y0 + Δ y).Определение 3. Разность вида Δ z = f (x0 + Δ x, y0 + Δ y) – f (x0, y0)называется приращением функции в точке (x0, y0).86Итак, для того, чтобы функция f(x, y) была непрерывной в точке (x0, y0), необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Δ zв этой точке стремилось к нулю вместе с приращениями Δx и Δyаргументов x и y.Определение 4.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.4. Частные производные и дифференцируемостьПусть функция z = f(x, y) определена в окрестности точкиM0(x0, y0). Значение функции в этой точке обозначим черезz0 = f(x0, y0). Дадим в точке (x0, y0) аргументу x приращение Δ x, а переменная y пусть принимает постоянное значение, равное y0, тогдафункция z получит приращение Δ xz по переменной в точке (x0, y0):Δ x z = f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ).(1)Приращение (1) называется частным приращением функциипо переменной x.Аналогично напишем частное приращение функции в точке(x0, y0), по переменной y, а x будем считать постоянной, равной x0:Δ y z = f ( x0 , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ).Разделим обе части равенства (1) на приращение Δ x и перейдем к пределу при Δx → 0:limΔx → 0Δxzf ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ).= limΔx Δx →0Δx(2)Определение 1.
Если предел (2) существует, то он называетсячастной производной функции f(x, y) по переменной x в точке (x0, y0)и обозначается одним из следующих символов:z x′ , f x′ ,∂f ∂z,.∂x ∂x87Аналогично определяется частная производная функции f (x, y)по переменной y в точке (x0, y0):limΔyzΔy → 0Δy= limΔy → 0f ( x0 , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ).ΔyИтак, частной производной функции f(x, y) называется пределотношения частного приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.Напомним, что полным приращением функции z = f(x, y)в точке M0(x0, y0), соответствующим приращениям Δ x и Δ y переменных x и y, называется функцияΔz = f ( x 0 + Δx , y 0 + Δy ) − f ( x, y ).Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестноститочки M0(x0, y0).Определение 2. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке M0(x0, y0), если ее полное приращение в этой точкеможет быть представлено в виде:Δz = AΔx + BΔy + α (Δx, Δy )Δx + β (Δx, Δy )Δy,(3)где A и B — некоторые не зависящие от Δ x и Δ y числа,а α (Δx, Δy ) и β (Δx , Δy ) — бесконечно малые при Δ x → 0 и Δ y → 0функции.Далее будем рассматривать функцию двух переменных какфункцию точки M(x, y), т.
е. будем обозначать z = f (x, y).Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Еслифункция z = f (x, y) дифференцируема в точке M, то она непрерывна в этой точке.Доказательство. Если функция z = f (x, y) дифференцируемав точке M, то, как следует из соотношения (3), lim Δz = 0 , а этоΔx → 0Δy → 0означает, что функция непрерывна в точке M.Теорема доказана.88Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Еслифункция z = f (x, y) дифференцируема в точке M, то она имеетв этой точке частные производные f'x (x, y) и f'y(x, y), причемf x′ ( x, y ) = A, f y′ ( x, y ) = B .Доказательство. Так как функция z = f(x, y) дифференцируемав точке M, то имеет место соотношение (3). Полагая Δy = 0, имеем:Δ x z = AΔx + α (Δx,0)Δx,где α ( Δx ,0) — бесконечно малая при Δx → 0 функция.
Разделивна Δx и переходя к пределу при Δx → 0, получаем:limΔx → 0Δxz= lim [A + α (Δx,0)] = A.Δx → 0ΔxСледовательно, в точке M существует частная производнаяf'y(x, y) = B.Что f'x (x, y) = A, доказывается аналогично.Теорема доказана.Теорема 3 (достаточные условия дифференцируемости). Еслифункция z = f (x, y) имеет частные производные в некоторойδ окрестности точки M и эти производные непрерывны в самойточке M, то функция дифференцируема в точке M.Доказательство.
Придадим переменным x и y столь малые приращения Δx и Δy, чтобы точка M(x + Δx, y + Δy) не выходила запределы указанной δ окрестности точки M. Полное приращениефункцииΔz = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y )можно записать в виде:Δz = [f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y +Δy)] + [f (x, y + Δy) – f (x, y)].
(4)89Выражение [f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y + Δy)] можно рассматривать как приращение функции f (x, y + Δy) одной переменной x(второй аргумент имеет постоянное значение, равное y + Δy). Так каксогласно условию эта функция имеет производную f 'x (x, y + Δy), топо теореме Лагранжа получаемf ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y + Δy ) = f x′ ( x + θ1Δx, y + Δy )Δx,0 < θ1 < 1.Рассуждая аналогично, для выражения имеем:f ( x, y + Δy ) − f ( x, y ) = f y′ ( x, y + θ 2Δy )Δy,0 < θ 2 < 1.Производные непрерывны в точке f (x, y + Δy) – f (x, y), поэтомуlim f x′ ( x + θ1Δx, y + Δy ) = f x′ ( x, y ),Δx → 0Δy → 0lim f y′ ( x , y + θ 2 Δy ) = f y′ ( x , y ).Δx → 0Δy → 0Отсюда следует, чтоf x′ ( x + θ1Δx, y + Δy ) = f x′ ( x, y ) + α (Δx, Δy ),f y′ ( x, y + θ 2 Δy ) = f y′ ( x , y ) + β (Δx, Δy ),где α (Δx , Δy ) и β (Δx , Δy ) — бесконечно малые при Δ x → 0и Δ y → 0 функции.Подставляя полученные выражения в формулу (4) для Δ z, находимΔz = f x′ ( x, y )Δx + f y′ ( x, y )Δy + α (Δx, Δy )Δx + β (Δx, Δy )Δy,а это и означает, что функция z = f(x, y), дифференцируема в точке M.Теорема доказана полностью.Следствие.
Из непрерывности частных производных следуетнепрерывность самой функции.905. Производная по направлению. ГрадиентРассмотрим функцию z = f (x, y), определенную в некоторойокрестности точки M(x, y), и произвольный единичный векторl = {cos α , cos β } .Для характеристики скорости изменения функции в точке M(x,y) в направлении вектора l введем понятие производной по направлению. Для этого проведем через точку M прямую L так, чтобы одноиз направлений на ней совпадало с направлением вектора l ,и возьмем на направленной прямой точку M 1( x + Δx, y + Δy ) .
Обо22значим величину отрезка MM1 через Δl , т. е. Δl = ± (Δx ) + (Δy )(в зависимости от расположения точки M1).Функция f (M) получит при этом приращениеΔz = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y ).Δz— при Δl → 0 (M → M1),Δlесли он существует, называется производной функции z = f (x, y)∂zв точке M(x, y) по направлению вектора l и обозначается, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
