Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Так как разбиение τ может быть получено из разбиения τ ' добавлением к нему точек разбиения τ '', то согласно свойству 2, учитывая очевидное неравенство S > s, получаем: s' < s < S < S '.Но разбиение τ может быть также получено из разбиения τ ''добавлением точек разбиения τ '. Поэтому s'' < s < S < S ''.Сравнивая установленные неравенства, получаем s' < S ', s'' < S ''.4.
Множество {S} верхних сумм Дарбу данной функции f(x) длявозможных разбиений отрезка [a, b] ограниченно снизу, а множество {s} нижних сумм Дарбу ограниченно сверху, причем точнаяверхняя грань множества {s} не превосходит точной нижней грани множества {S}.Доказательство. Это свойство непосредственно следует изсвойства 3. Действительно, множество всех верхних сумм Дарбу{S} является ограниченным снизу, например, любой нижней суммой Дарбу s, а множество всех нижних сумм Дарбу {s} являетсяограниченным сверху, например, любой верхней суммой Дарбу S,а это значит, что множества {S} и {s} имеют точные грани.Обозначим через I* точную нижнюю грань множества {S}, а черезI* — точную верхнюю грань множества {s}:I* = inf{S}, I* = sup{s}.Покажем, что I* < I*.
Пусть I* > I*. Обозначим их разность через ε , так что I * − I * = ε > 0 . Из свойства точных граней I* и I*вытекает, что существуют числа S ' и s'', представляющие собой61соответственно такие верхнюю и нижнюю суммы Дарбу некоторыхεεразбиений τ ' и τ '' отрезка [a, b], что I * + > S ′ и I * − < s ′′ .22Вычитая второе неравенство из первого, получаем:S ′ − s ′′ < I * − I * + ε .Но I * − I * = −ε , поэтому S ' – s'' < 0, т. е. s'' > S ', что противоречит свойству 3.
Следовательно, I* < I*.16. Критерий интегрируемостиТеорема. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимои достаточно, чтобыlim (S − s ) = 0.λ →0(1)Условие (1) означает: для любого ε > 0 существует такоеδ > 0 , что при λ < δ выполняется неравенство | S – s | < ε .
Таккак S > s , то последнее неравенство равносильно неравенствуS − s < ε.(2)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], т. е. существует определенный интегралbI =∫ f (x )dx . Это означает, что для любого ε > 0 существует такоеaδ > 0, что для любого разбиения τ , удовлетворяющего условиюλ < δ , независимо от точек ξi выполняется неравенство:σ − I < ε / 4.(3)Зафиксируем любое такое разбиение τ . Для него, согласнопервому свойству сумм Дарбу, можно указать такие интегральныесуммы σ ′ и σ ′′ , чтоS − σ ′ ≤ ε / 4, σ ′′ − s ≤ ε / 4.62(4)Отметим, что обе интегральные суммы σ ′ и σ ′′ удовлетворяютнеравенству (3). Из соотношения S − s = (S − σ ′) + (σ ′ − I ) − (I −− σ ′′) + (σ ′′ − s ) и из неравенств (3) и (4) следует, что S – s < ε ,а это и означает выполнение условия (2).Достаточность.
Пусть выполнено условие (2). Согласно свойству 4 сумм Дарбу s ≤ I * ≤ I * ≤ S для любых верхних и нижних*сумм Дарбу, поэтому 0 ≤ I − I * ≤ S − s , откуда согласно (2) сле*дует, что 0 ≤ I − I * ≤ ε для любого ε > 0 . Значит, I* — I* = 0, т. е.I*= I*. Полагая I = I* = I*, получаем, что для любого разбиениявыполняются неравенстваs < I < S.(5)Если же интегральная сумма σ и суммы Дарбу s и S отвечаютодному и тому же разбиению τ , то, как известно,s ≤ σ ≤ S.(6)Из неравенств (5) и (6) следует, чтоσ − I ≤ S − s.(7)По условию, для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , чтопри λ < δ выполняется неравенство (2), но тогда из неравенства(7) следует, что и σ − I < s при λ < δ , а это означает, что числоI является пределом интегральной суммы σ при λ → 0 , т.
е.функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] .17. Интеграл с переменным верхним пределом.Формула Ньютона—ЛейбницаРассмотрим определенный интеграл с нижним пределом aи переменным верхним пределом x(a < x < b). Этот интеграл является функцией верхнего предела. Обозначим его через Ф(x), т. е.Φ (x ) =x∫ f (t )dt .a63(1)Напомним, что в определенном интеграле переменную интегрирования x можно обозначать любой буквой, от этого величинаинтеграла не изменится.
В интеграле (1) во избежание смешивания переменной интегрирования с переменным верхним пределом обозначили переменную интегрирования через t, а переменный верхний предел — через x.Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], тофункцияΦ (x )=x∫ f (t )dt( x ∈ [a,b ] )aимеет производную на этом сегменте, причемΦ′(x ) = f (x ).Иными словами, производная от интеграла по переменномуверхнему пределу равна значению подынтегральной функцииf(t) при t = x.Доказательство. Дадим в произвольной точке x ∈ [a, b] приращение Δ x такое, чтобы x + Δ x ∈ [a, b], тогда новое значение функции Ф(x):Φ (x + Δx ) =x + Δx∫af (t )dt =x∫f (t )dt +x + Δxa∫ f (t )dt .xОтсюда получим приращение функции в упомянутой точке x:Φ (x + Δx ) − Φ (x )=x + Δx∫ f (t )dt .xПрименив к этому интегралу теорему о среднем значении, будем иметьΦ (x + Δx ) − Φ(x ) = Δxf (ξ ),64(2)где x ≤ ξ ≤ x + Δx , отсюдаΦ (x + Δx ) − Φ (x )= f (ξ ).ΔxПусть x → 0, тогда в силу двойного неравенства (2) ξ → xи f (ξ ) → f (x ) , так как по условию функция f(t) непрерывна.Следовательно, предел левой части равенства (3) также существует:limΔx → 0Φ (x + Δx ) − Φ (x )= f (x ),Δxт.
е.Φ′(x )= f (x ).Таким образом, доказали, что производная функции Ф(x) существует в произвольной точке x ∈ [a, b], следовательно, функциядифференцируема на отрезке [a, b].Теорема доказана полностью.Из доказанной теоремы следует:1) непрерывная функция f(x) на отрезке [a, b] всегда имеетпервообразную функцию хотя бы в таком виде:Φ (x ) =x∫ f (t )dt (x ∈[a,b]);a2) первообразная непрерывной функции также непрерывна.Это следует из дифференцируемости первообразной функции Ф(x).Теорема 2 (формула Ньютона—Лейбница). Если функция f(x)непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) — какаянибудь первообразная функция для f(x) на этом отрезке, то имеет место следующаяформула:b∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ).a65(4)Доказательство.
По условию теоремы, непрерывная функцияf(x) на отрезке [a, b] имеет первообразную функцию F(x) и, по доказанной теореме 1, для этой функции первообразной также будет функцияΦ (x )=x∫ f (t ) dt , (x ∈ [a,b ]).aИзвестно, что две любые первообразные функции для однойи той же функции отличаются между собой на произвольную постоянную, следовательно,Ф(x) = F(x) + C.Пусть x = a, тогда Φ (a ) =C = –F(a).(5)a∫ f (t )dt = 0 и 0 = F(a) + C, отсюдаaПодставив это значение C в равенство (5), получимФ(x) = F(x) – F(a)илиx∫ f (t )dt = F (x )− F (a ).aПусть теперь x = b, тогда Ф(b) = F(b) – F(b), т.
е.b∫ f (t )dt = F (b ) − F (a )aили, сменив обозначение t переменной интегрирования на x, получим формулу (4), которая является основной формулой в интегральном исчислении и носит название формулы Ньютона—Лейбница. Эту формулу можно прочитать так: определенныйинтеграл при x = b равен разности двух значений и при х = а —любой первообразной функции F(x) для функции f(x).Теорема доказана.66Формулу Ньютона—Лейбница обычно записывают в следующем виде:b∫ f (x )dx = F (x )ba= F (b )− F (a ).(6)abСимвол a называется знаком двойной подстановки.Сформулируем полученное правило: чтобы вычислить определенный интеграл (6), надо найти первообразную функцию F(x)для f(x) и произвести двойную подстановку от a до b для функцииF(x), т. е. получить разность F(b) – F(a).18.
Интегрируемостьнепрерывных и некоторых разрывных функцийТеорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], тоона интегрируема на нем.Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке[a, b], то по теореме Кантора она и равномернонепрерывна нанем. Пусть дано любое ε > 0 . Согласно следствию из теоремыКантора для положительного числа ε /(b − a) найдется такоеδ > 0 , что при разбиении отрезка [a, b] на частичные отрезки[xi1, xi], длина которых Δ xi < δ , все колебания ω i меньше ε /(b − a) .ОтсюдаnS −s =∑i =1ωi Δxi <εb −an∑ Δx = ε при λ < δ .ii =1Следовательно, для непрерывной на отрезке [a, b] функцииf(x) выполнено достаточное условие интегрируемости, а из неговытекает существование определенного интеграла.Теорема доказана.Как следует из теоремы, условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции.
Но это неозначает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире.Так, например, существует определенный интеграл от функций,67имеющих конечное число точек разрыва. Сформулируем следующую теорему.Теорема 2. Если функция f(x) является ограниченной на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.Определение. Функция f(x) называется кусочнонепрерывнойна отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках[a, b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках a и b.Следствие из теоремы 2.
Кусочнонепрерывная на отрезкефункция интегрируема на этом отрезке.19. Замена переменной и интегрирование по частямв определенном интегралеТеорема 1. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда, если:1) функция x = ϕ (t ) дифференцируема на [ α , β ] и ϕ ′ непрерывна на [ α , β ];2) множеством значений функции x = ϕ (t ) является отрезок[a, b];3) ϕ (α ) = a и ϕ ( β ) = b , то справедлива формулаβb∫f ( x )dx =∫ f [ϕ (t )]ϕ′(t )dt .(1)αaДоказательство. По формуле Ньютона—Лейбницаb∫ f (x )dx = F (b) − F (a),aгде F(x) — какаянибудь первообразная для функции f(x) на [a, b].С другой стороны, рассмотрим на отрезке [ α , β ] сложнуюфункцию от переменной t: Φ (t ) = F [ϕ (t )] . Согласно правилу дифференцирования сложной функции находимΦ′(t )= F ′[ϕ (t )]ϕ ′(t )= f [ϕ (t )]ϕ ′(t ).68Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной дляфункции f [ϕ (t )]ϕ ′(t ), непрерывной на [ α , β ], и поэтому согласноформуле Ньютона—Лейбница получаем:β∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t )dt = Φ (β ) − Φ (α ) = F [ϕ(β )] − F [ϕ(α )] =αb∫ f (x )dx.= F (b ) − F (a) =aЭтим доказана справедливость формулы (1).Теорема доказана.Формула (1) называется формулой замены переменной илиподстановки в определенном интеграле.Замечание 1.
Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной от новой переменной t следуетвозвращаться к старой переменной x, то при вычислении определенного интеграла этого делать не нужно, так как теперь следуетнайти число, которое, согласно доказанной формуле, равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.Замечание 2. При использовании формулы (1) необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если этиусловия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.Теорема 2. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формулаb∫ udvabb= uv a∫− vdu.(2)aДоказательство. Так как функция u(x)v(x) является первообразной для функции [u( x )v( x )]′ = u( x )v ′( x ) + v( x )u′( x ) , то по формуле Ньютона—Лейбницаb∫ [u(x )v′( x ) + v(x )u′(x )]dx = [u(x )v(x )] .baa69Отсюда, используя 4е свойство определенных интегралов, получаем:b∫bu( x )v ′( x ) dx +a∫ v( x )u′( x ) dx = [u(x )v(x )]baaилиbb∫ udv + ∫ vdu = uvab,aaоткуда и следует формула (2).Теорема доказана.Формула (2) называется формулой интегрирования по частямв определенном интеграле.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
