Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда:α (x )= 0 , то α(x) — бесконечно малая более вы1) если limx → x0 β (x )сокого порядка, чем β(x) (говорят также, что α(x) имеет болеевысокий порядок малости, чем β(x), при x → x0);222) если limx → x0α (x )= A ≠ 0 (A — число), то α (x) и β (x) — бесβ (x )конечно малые одного порядка;α (x )= 1 , то α (x) и β (x) — эквивалентные бес3) если limx → x 0 β (x )конечно малые. Эквивалентность обозначается так: α (x) ≈ β (x).В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокогопорядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило;α (x )= A ≠ 0 , то α (x) — бесконечно малая nго4) если lim nx → x 0 β (x )порядка относительно β (x).Для бесконечно больших функций имеют место аналогичныеправила сравнения.Рассмотрим несколько примеров.1.

Функции α (x) = (1 + x) / x и β (x) = 1 / x являются при x → 0эквивалентными бесконечно большими, так какlimx →0α (x )= lim (1+ x )= 1.β ( x ) x →0В этом случае говорят также, что α (x) и β (x) имеют одинаковый порядок роста при x → 0.2. Функция α (x) = x2 + 4 является при x → ∞ бесконечно большой более низкого порядка, чем β (x) = x3 – 2 (имеет менее высокий порядок роста), так как1α (x )1+ 4/ x2x2 + 4= lim = 0.= lim= lim 3x →∞ β ( x ) x →∞ x − 2x →∞ 1 − 2 / x 2x →∞ xlim3. Бесконечно большие при x → ∞ функции α (x) = 2x2 + 1и β (x) = x3 – 1 имеют одинаковый порядок роста, так какlimx →∞2x 2 + 1x2 −1= lim2 + 1/ x 2x →∞ 1 − 1 / x 223= 2.4.

Функция α(x) = x4 + x + 1 является при x → 0 бесконечнобольшой второго порядка по отношению к бесконечно большойβ(x) = x2 + 1, так какlimx →∞x4 + x +1( x 2 + 1)2= limx4 + x +1x →∞x 4 + 2x + 1= lim1 + 1/ x 3 + 1/ x 4x →∞ 1 + 2 / x 2+ 1/ x 4= 1.6. Непрерывность в точкеПусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.Определение 1.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0,если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е. lim f(x) =x →x0= f(x0).Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0,если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ , выполняется неравенство:| f(x) – f(x0) | < ε .Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

Пустьфункция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0. Тогда существуеттакое δ > 0, что для всех x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) функция f(x) имеет тотже знак, что и f(x0).Доказательство. Пусть f(x0) > 0. Тогда в силу второго определения непрерывности функции для любого ε > 0 существует такоеδ > 0, что неравенство | f(x) – f(x0) | < ε выполняется для всех x,удовлетворяющих условию | x – x0 | < δ, или, что то же самое, выполняются неравенства: f(x0) – ε < f(x) < f(x0) + ε для всехx ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) .Возьмем ε = f(x0).

Тогда из левого неравенства получаемf(x) > 0 для всех x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ), что и требовалось доказать.Если же f(x0) < 0, то рассмотрим функцию — f(x). Так как —f(x) > 0, то по доказанному существует δ окрестность точки x0,в которой — f(x0) > 0 и, следовательно, f(x) < 0.Теорема доказано полностью.Определение 3. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x),если f(x) в точке x0 не является непрерывной.Разрывы функций классифицируются следующим образом.24Разрыв первого рода. Точка x0 называется точкой разрыва пер+вого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы:limx → x0 +0f ( x ) ≠ lim f ( x ).x → x 0 −0ПримерДля функции f(x) = sgn x точка x = 0 является точкой разрываlimпервого рода, так какx → x0 + 0sgn = 1 ,lim sgn = −1.x → x 0 −0Разрыв второго рода.

Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет покрайней мере одного из односторонних пределов или хотя быодин из односторонних пределов равен бесконечности.Пример1Для функции f (x ) =точка x = 0 является точкой разрываxвторого рода, так какlimx →x0 +0(1 / x ) = +∞ ,limx →x0 −0(1 / x ) =−∞ .Устранимый разрыв. Точка называется устранимой точкой раз+рыва функции f(x), если в этой точкеlimx → x0 +0f ( x ) ≠ limx → x 0 −0f ( x0 ).ПримерДля функции f (x ) =sinxточка x = 0 является точкой устраxнимого разрыва, так какlimx → x0 + 0sinxsinx= lim= 1 ≠ f (0).x → x0 −0 xx25Сложная функцияОпределение 4.

Если на некотором промежутке X определенафункция z = ϕ (x) с множеством значений Z, а на множестве значений y = f(z) определена функция y = f [ ϕ (x)], то функция называется сложной функцией от x, а переменная z — промежуточной переменной сложной функции.ПримерФункция y = sin2 x — сложная функция, определенная на всейчисловой прямой, так как y = f(z) = sin z, z = ϕ (x) = x2.Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функцияz = ϕ (x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(z) непрерывнав точке z0 = ϕ (x0).

Тогда сложная функция y = f [ ϕ (x)] непрерывнав точке x0.Доказательство. Возьмем из X любую последовательность точекx1, x2, x3, …, xn сходящуюся к точке x0. Тогда в силу непрерывностифункции z = ϕ (x) в точке x имеем lim zn = lim ϕ( xn ) = ϕ ( x0 ) =0n →∞n →∞= z0, т. е. соответствующая последовательность точек z1, z2, z3, …, znсходится к точке z0.

В силу же непрерывности функции f(z)в точке z0 получаемlim f (zn ) = f (z 0 ), т. е. lim f [ϕ ( xn )] = f [ϕ ( x0 )] .n →∞n →∞Следовательно, предел функции f [ ϕ (x)] в точке x0 равен еезначению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложнойфункции f [ ϕ (x)] в точке x0.Теорема доказана.Определение 5. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] (на полуинтервале [a, b)) и x0 ∈ (a, b ] ( x0 ∈ [a,b ) ).Функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке x0,еслиlimx → x0 − 0f ( x ) = f ( x0 ) (еслиlimx → x0 + 0f ( x ) = f ( x0 ) ).7.

Непрерывность на промежуткеОпределение 1. Функция, определенная на отрезке [a, b] и непрерывная в каждой его точке, называется функцией, непрерыв+ной на отрезке.26При этом под «непрерывностью в точке a» понимается непрерывность справа, а под «непрерывностью в точке b» — непрерывность слева.Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция f(x)непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значенияразных знаков. Тогда существует точка c ∈ (a, b ), в которой f(c) = 0.Теорема (вторая теорема Больцано—Коши). Пусть функцияf(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = A, f(b) = B. Далеепусть C — любое число, заключенное между A и B. Тогда на отрезке [a, b] найдется такая точка C, что f(c) = C.Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.Теорема (первая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x)определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она является ограниченной на этом отрезке.Предварительно докажем следующую лемму.Лемма. Функция f(x), непрерывная в точке x0, является ограниченной в некоторой ее окрестности.Доказательство. Пусть ε = 1; тогда согласно второму определению непрерывности в точке для данного ε существует такоеδ > 0 , что для всех x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) выполняется неравенство: | f(x) – f(x0) | < 1. Используя это неравенство, получаем:|f (x ) | = | (f (x ) − f (x0 ))+ f (x0 )| ≤≤ | f (x ) − f (x0 )|+ |f (x0 )|< 1+ | f (x0 )|,т.

е. | f(x) | < M, где M = 1 + | f(x0) |. Отсюда заключаем, что функция ограниченна в δ окрестности точки x0.Доказательство теоремы. Предположим обратное, т. е. допустим, что функция f(x) является неограниченной на отрезке [a, b].Разделим отрезок [a, b] пополам, тогда по крайней мере на одномиз двух полученных отрезков функция f(x) неограниченна (в противном случае она была бы ограниченна на [a, b]).

Обозначимэтот отрезок через [a1, b1]. Разделим отрезок [a1, b1] пополами обозначим через [a2, b2] тот отрезок, на котором функция f(x) неограниченна. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем по27следовательность [a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ … ⊃ [an, bn] … вложенныхотрезков, на каждом из которых f(x) неограниченна, причемbn − an =b −a2n→ 0, n → ∞.По теореме о вложенных отрезках существует точка C, принадлежащая всем отрезкам. Функция f(x) по условию определенаи непрерывна в точке C, следовательно, согласно доказаннойлемме в некоторой окрестности точки C она является ограниченной.

При достаточно большом n в эту окрестность попадает отрезок [an, bn], на котором функция f(x) также ограниченна. Но этопротиворечит тому, что f(x) является неограниченной на каждомиз вложенных отрезков. Полученное противоречие доказываеттеорему.Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своихточных граней, т.

е. существуют такие точки x1, x2 ∈ [a, b], чтоf ( x1 ) = M = sup f ( x ), f ( x2 ) = m = sup f ( x ) .[a,b ][a, b ]Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке[a, b], то по предыдущей теореме она ограниченна на этом отрезке. Следовательно, существует точная верхняя M и точная нижняя m грани функции f(x) на отрезке [a, b].Покажем, что функция f(x) достигает M, т. е. существует такаяточка x1 ∈[a, b], что f(x1) = M. Будем рассуждать от противного.Пусть функция f(x) не принимает ни в одной точке [a, b] значения, равного M. Тогда для всех x ∈ [a, b] справедливо неравенствоf(x) < M. Рассмотрим на отрезке [a, b] вспомогательную повсюдуположительную функциюF (x )=1.M − f (x )Функция F(x) непрерывна как частное двух непрерывныхфункций.

В этом случае, согласно предыдущей теореме, функция28F(x) является ограниченной, т. е. найдется положительное числоμ такое, что для всех x ∈ [a, b]F (x )=1≤ μ,M − f (x )откудаf (x ) ≤ M −Таким образом, число M −1.μ1, меньшее, чем M, является верхμней гранью f(x) на отрезке [a, b]. Но это противоречит тому, чточисло M является точной верхней, т. е. наименьшей верхней, гранью функции f(x) на отрезке [a, b]. Это противоречие и доказывает, что существует точка x1 ∈[a, b], что f(x1) = M.Аналогично доказывается, что функция f(x) достигает на отрезке [a, b] своей точной нижней грани m.К числу других свойств функции, непрерывной на отрезке, относится очень важное свойство, называемое равномерной непрерывностью.Пусть f(x) — функция, непрерывная на некотором промежутке X, и пусть x0 ∈X.

Так как функция f(x) непрерывна в точке x0, тосогласно второму определению непрерывности для любого ε > 0существует такое δ > 0 , что | f(x) – f(x0) | < ε при | x – x0 | < δ . Ясно,что δ зависит от ε , но δ зависит также и от x0. При изменении x0в пределах рассматриваемого промежутка (при постоянном ε )число δ будет различным для разных x0.Возникает вопрос, существуют ли непрерывные функции, определенные на некоторых промежутках, для которых по любомуε > 0 находилось бы δ > 0 , не зависящее от x, т. е. δ было бы общим для всех x из рассматриваемого промежутка. Это приводитк понятию равномерной непрерывной функции.Определение 2. Функция f(x) называется равномернонепрерывной на промежутке X, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 ,что для любых двух точек x',, x'' ∈X, удовлетворяющих неравенству| x′– x′′|| < δ , выполняется неравенство: | f(x' ) – f(x'' ) | < ε .Из определения следует, что равномернонепрерывная функция на X является непрерывной на этом промежутке.29Теорема Кантора.

Характеристики

Список файлов лекций