Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Последовательность {yk} обозначается в этом случае так же {xn}.8Теорема (Больцано—Вейерштрасса). Из любой ограниченнойпоследовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательностьсходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворялаусловию Коши.Доказательство. Докажем необходимое условие. Пусть последовательность {xn} сходится и lim xn = a .
Зададим ε > 0 , тогдаn →∞согласно определению предела последовательности существуетεтакой номер N, что |xn − a| <при n > N.2Пусть теперь n > N и m > N, тогда| xn − xm | = | (xn − a )+ (a − xm )| ≤ | xn − a | ++ | xm − a |<ε ε+ = ε,2 2т. е. выполняется условие Коши.Докажем достаточное условие. Пусть последовательность {xn}удовлетворяет условию Коши, т.
е. для любого ε > 0 существуеттакой номер N, что для всех номеров n и m, удовлетворяющихусловию n > N и m > N, справедливо неравенство |xn − xm |< ε .Возьмем ε = 0 , тогда существует такое N1, что | xn – xm | < 1 приn > N1 и m > N1.В частности, если n > N 1 a m = N 1 , то | x n – xN1 | < 1, т. е.xN − 1 < xn xN + 1 при n > N1. Это и значит, что последователь11ность {xn} при n = N1, N1+1,… ограничена. А это значит, что потеореме БольцаноВейерштрасса существует ее сходящаяся подпоследовательность { xnk }.Пусть lim xn = a . Покажем что и lim xn = a .n →∞n →∞kkЗададим некоторое ε > 0 . Тогда, вопервых, по определениюпоследовательности существует такое K, что| xn − a | <kдля всех k > K.9ε2(5)Причем согласно определению последовательности неравенство (5) выполняется для всех nk > nK.Вовторых, так как последовательность {xn} удовлетворяетεусловию Коши, то существует такое N, что |xn − xm | < для всех2n > N и всех m > N.Положим Nε = max{N, nk} и зафиксируем некоторое nk >Nε .Тогда для любого nk >Nε получим:| xn − a |= | ( xn − xnk )+ ( xnk− a ) | ≤ | x n − x n | + | xn − a | <|< ε2 + ε2 = εkkа это и доказывает, что lim xn = a.n →∞Теорема доказана.5.
Определение и признак сходимостимонотонной последовательностиОпределение 1. Последовательность {xn} называется возрастаю+щей, если xn < xn+1 для всех n; неубывающей — если xn < xn+1 длявсех n; убывающей — если xn > xn+1 для всех n; невозрастающей —если xn > xn+1 для всех n.Все такие последовательности объединяются одним общимназванием: монотонные последовательности.
Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.Примеры1 111. Последовательность 1, , , ..., убывающая и ограниченная.2 3n1,1 2,112. Последовательность 1,,, 3, ..., невозрастающая и огра2,1 3,1nниченная.3. Последовательность 1, 2, 3, …, n возрастающая и неограниченная.4.
Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n неубывающаяи неограниченная.105. Последовательность1 2 3n, , , ...,возрастающая и огра2 3 4n+1ниченная.Монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны: неубывающие последовательности — снизу(xn > x1 для всех n), невозрастающие — сверху (xn < x1 для всех n).Оказывается, что если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится.Немонотонные последовательности этим свойством не обладают.Например, немонотонная последовательность {(–1)n} ограничена, но не сходится.Определение. Верхняя (нижняя) грань множества значений элементов последовательности {xn} называется верхней (нижней) граньюэтой последовательности и обозначается sup{xn} или sup xn (и соответственно inf{xn} илиinf xn ).n =1, 2, …n =1, 2, …Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определение можно сформулировать следующим образом.Число a является верхним (нижним) пределом последовательности {xn} при n = 1, 2, … если:1) xn < a (соответственно xn > a) для всех n;2) для любого ε > 0 существует такой номер nε, что xn > a − εε(соответственно xn > a + ε ).εТеорема.
Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (монотонно убывающая) последовательность имеетпредел, причем lim xn = sup{x n } (соответственно lim xn = inf{xn } =n →∞n →∞= lim xn = inf{xn } ).n →∞Доказательство. Пусть последовательность {xn} монотонновозрастает и ограничена сверху. В силу последнего условия онаимеет конечную верхнюю грань sup{x } = a . Покажем, что a = lim xn ,nn →∞зафиксируем произвольное ε > 0. Из того что a = sup{xn}, следует,что xn < a для всех номеров n = 1, 2, … и существует такой номерnε, что xn > a − ε . Тогда в силу монотонности заданной послеεдовательности для всех номеров n > nε имеем xn > a − εε11Поэтому a − ε < xn ≤ xna для всех n > nε , что и означает, чтоεlim xn = a.n →∞Теорема доказана полностью.Аналогично доказывается существование предела для ограниченной снизу монотонно убывающей последовательности.Следствие.
Для того, чтобы монотонно возрастающая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы онабыла ограничена сверху.Аналогичное утверждение справедливо для монотонно убывающей последовательности.ЛЕКЦИЯ № 2. Функции одной переменной1. Функции xnε > a − ε .Пусть X = {x} и Y ' = {y}— два числовых множества.Определение 1.
Если каждому значению x ∈ X по некоторомуправилу (закону) f поставлено в соответствие одно определенноечисло y из множества Y ', то говорят, что на множестве X заданафункция y = f(x).Множество X называется областью определения функции, а мно'жество Y ⊂ Y всех ее значений — областью изменения функции.Переменная x называется независимой переменной, или аргу+ментом, а переменная y — зависимой переменной.Наряду с термином «функция» используют однозначный термин «отображение», а вместо записи y = f(x) пишут f : x → y .Способы задания функцииЗадать функцию f — значит указать, как по каждому значениюаргумента x находить соответствующее ему значение f(x).
Существуеттри основных способа задания функций: аналитический, табличныйи графический.1. Аналитический способ. Если функция определена одной илинесколькими формулами на различных промежутках измененияаргумента x, то говорят, что функция задана аналитическим способом.При таком задании функции в формулах указывается, какиеоперации (действия) и в каком порядке надо произвести над значением x и постоянными величинами, чтобы получить соответствующее значение y.2.
Табличный способ. Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие имзначения функции. С помощью таблицы можно задать функциютолько при конечном числе значений аргумента. Таблицы частоиспользуют для задания функций. Так, хорошо известны, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и многие другие.133.
Графический способ. Графиком функции y = f(x) называетсямножество точек плоскости, прямоугольные координаты которыхудовлетворяют уравнению y = f(x). Функция y = f(x) называетсязаданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значение функциитолько приближенно, так как построение графика и нахождениена нем значений функции сопряжено с погрешностями.Из трех рассмотренных способов задания функции основнымявляется аналитический способ.Классификация функцийПостоянная функция f(x) = C, C = const, степенная функцияx α ( α — любое число), показательная функция ax ( 0 < a ≠ 1 ), логарифмическая функция logax (0 < a ≠ 1, x > 0), тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции называются простейшими (элементарными) функциями.Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций,составляют класс элементарных функций.Имеет место следующая классификация элементарных функций.1.
Функция видаP (x ) = a0 x m + a1x m −1 + ...+ am −1x + am ,где m > 0 — целое число; коэффициенты a0, a1, …, am (a ≠ 0) —любые числа, называется целой рациональной функцией или алгеб+раическим многочленом степени m. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.2. Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функцийR (x )=a0 x m + a1x m −1 + ...+ am −1x + amb0 x n + b1x n −1 + ...+ bn −1x + bn,называется дробно+рациональной функцией. Совокупность целыхрациональных и дробнорациональных функций образует классрациональных функций.3.
Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией.14Например,f (x ) = (5x 2 + 4 x − 7) /(3x 2 − 8x + 4) + (5 x + x )34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
