Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке[a, b] значит, она равномернонепрерывна на этом отрезке.Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, b] заменить интервалом или полуинтервалом.Функция f(x), определенная на числовом множестве E, называется строго монотонно возрастающей (убывающей), если для таких любых двух чисел x1, x2 ∈ E, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2) (соответственно f(x1) > f(x2)).Определение 3. Пусть X и Y — некоторые множества и пусть задана функция f, т. е. множество пар чисел (x, y) (x ∈X, y ∈Y), в котором каждое число x входит в одну и только одну пару, а каждоечисло y — по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этогомножества числа x и y поменять местами, то получим множествопар чисел (y, x), которое называется обратной функцией к функции f.Обратную функцию будем обозначать символом x = ϕ (y).Теорема (о непрерывности обратной функции).

Пусть функцияy = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке X и пусть Y — множество ее значений. Тогда намножестве Y обратная функция x = ϕ (y) однозначна, строго монотонна и непрерывна.8. Производная и дифференциалОпределение 1. Пусть функция y = f(x) определена в промежуткеX, возьмем точку x0 ∈X и дадим аргументу этой точки приращениеΔx ≠ 0 (x0 + Δx ∈ X), получим приращение функции Δ y == f(x0+ Δ x) – f(x). Разделим приращение функции Δ y на приращение аргумента Δ x и перейдем к пределу при Δx → 0 :limΔx → 0f ( x0 + Δx ) − f ( x0 )Δy.= limΔx → 0 ΔxΔx(1)Если предел (1) существует, то он называется производной данной функции в точке x0 и обозначается f ' (x)(x).Если для некоторого значения x0 существует бесконечный предел, то говорят, что при x = x0 существует бесконечная производная.Операция нахождения производной от функции y = f(x) называется дифференцированием этой функции.30Определение 2.

Правой (левой) производной функции y = f(x)Δyприв точке x0 называется правый (левый) предел отношенияΔxΔx → 0 (при условии, что этот предел существует).Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производныев точке x 0. Тогда функции y 1 = f(x) + g(x), y 2 = f(x) – g(x), y 3 =Δy= f(x)g(x), y 4 =(при g(x) ≠ 0) также имеют производныеΔxв точке x0, которые выражаются следующим образом:y1' ( x ) = ( f ( x ) + g ( x ))' = f ' ( x ) + g' ( x ),y'2 ( x ) = ( f ( x ) − g ( x ))' = f ' ( x ) − g' ( x ),y'3 ( x ) = ( f ( x ) g ( x ))' = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ),'⎛ f (x ) ⎞f ' ( x ) g ( x ) − f ( x ) g' ( x )⎟⎟ =.y'4 (x ) = ⎜⎜( g ( x ))2⎝ g (x ) ⎠Теорема 2. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точкеx = x0, а функция z = F(y) имеет производную в точке y = y0,тогдафункция G(x)=F(y) имеет производную при x = x0, равную:G'(x0) = F'(y0)f '(x0).Определение 3.

Функция y = f(x), определенная в некоторойокрестности точки x0, называется дифференцируемой в точке x0,если ее приращение Δ y в этой точке можно представить в видеΔy = AΔx + α (Δx )Δx,(2)где A — некоторое число, не зависящее от Δ x;α (Δx ) — функция аргумента Δ x, являющаяся бесконечно малой при Δx → 0 , т. е.lim α ( Δx ) .Δx → 0Свойства дифференцируемых функций.Теорема 3. Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имелав этой точке конечную производную.Теорема 4. Если функция y = f(x) дифференцируема в даннойточке x0, то она и непрерывна в этой точке.Определение 4.

Дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δ x часть приращенияфункции в этой точке и обозначается df(x0) или dy, т. е. dy = A Δ x.31Следствие (из теоремы 1). Теорема 1 переносится и на дифференциалы функций, при условии их дифференцируемости в точке x0:d ( f ( x ) + g ( x )) = df ( x ) + dg ( x ),d ( f ( x ) − g ( x )) = df ( x ) − dg ( x ),d ( f ( x ) g ( x )) = g ( x )df ( x ) + f ( x )dg ( x ),⎛ f (x ) ⎞g ( x )df ( x ) − f ( x )dg ( x )⎟⎟ =d ⎜⎜.( g ( x ))2⎝ g(x ) ⎠Следствие (из теоремы 2, инвариантность дифференциала).Произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной не зависит от того, является эта переменная независимой переменной или функцией.dz = F ' ( y0 )dy = G' ( x0 )dx .Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке c ∈(a, b) принимает наибольшее(наименьшее) значение.

Если в точке c существует конечная производная, то она равна нулю.Теорема Ролля. Если функция y = f(x):1) непрерывна на отрезке [a, b];2) имеет конечную производную хотя бы на интервале (a, b);3) на концах отрезка принимает равные значения, т. е.f(a) = f(b), то в интервале (a, b) найдется по крайней мере однаточка c, в которой f '(c) = 0.Доказательство. Непрерывная на отрезке [a, b] функция принимает на нем наибольшее M и наименьшее m значения (m < f(x) < M).Рассмотрим два случая.1.

Пусть M = m. Отсюда при любых значениях x ∈[a, b], f(x) = m,т. е. f(x) = const на отрезке [a, b]. Следовательно, f ' (x) = на этомотрезке. Поэтому в качестве точки c, в которой производнаяфункции будет равна нулю, можно взять любую точку, лежащуюмежду a и b.2. Пусть M > m, тогда функция на концах отрезка оба значенияпринимать не может, так как по условию теоремы значенияфункции на концах отрезка [a, b] равные. Следовательно, хотя бы32одно из значений m или M функция принимает внутри отрезкав некоторой точке c, лежащей между a и b.Например, пусть в точке c функция f(x) имеет наибольшее значение f(c) = M.Таким образом, функция f(x) = m в точке c ∈(a, b) принимаетнаибольшее (наименьшее) значение и в этой точке по условиюсуществует конечная производная f ' (c), следовательно, по теореме Ферма f ' (c) = 0.Теорема доказана полностью.Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке[a, b] и имеет конечную производную хотя бы в интервале (a, b), тов этом интервале найдется по крайней мере одна такая точка c, чтоf (b) − f (a)= f ' (c ) a < c < b.b −a(3)Доказательство.

Введем вспомогательную функцию ϕ (x),определив ее равенством:ϕ ( x ) = f ( x ) − f (a ) −f (b ) − f (a)( x − a).b −a(4)Рассмотрим ее свойства.1. Функция ϕ (x) непрерывна на отрезке [a, b] как алгебраическая сумма непрерывных функций. Действительно, функция f(x)f (b ) − f (a)( x − a) − f (a) естьнепрерывна по условию, а функцияb−aлинейная функция вида y = Ax + B, поэтому она непрерывна.2. Функция имеет конечную производную хотя бы в интервале (a, b), найдем ее:ϕ' ( x ) = f ' ( x ) −f (b ) − f (a).b −a(5)3. На концах отрезка функция принимает равные значения.Действительно, если подставим в равенство (4) x = a и x = b, тополучим ϕ (a) = ϕ (b) = 0.Таким образом, вспомогательная функция ϕ(x) удовлетворяетвсем трем условиям теоремы Ролля, следовательно, в интервале33(a, b) существует по крайней мере одна точка c, в которой производная функции ϕ ' (c).Подставим в равенство (5) x = c, получим:0 = f ' (c ) −f (b ) − f (a),b−aотсюдаf ' (c ) =f (b ) − f (a)(a < c < b ).b −aТеорема доказана.Теорема Коши.

Если функции f(x) и g(x):1) непрерывны на отрезке [a, b];2) имеет производные в каждой точке интервала (a, b);'3) g ( x ) ≠ 0 , ∀x ∈ (a, b ) .Тогда существует точка c, c ∈(a, b), такая чтоf (b ) − f (a) f ' (c ).=g (b ) − g (a) g' (c )9. Производные и дифференциалы высших порядковНазовем f ' (x) производной первого порядка функции f (x).Определение 1. Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производнойназывается производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.Вспоминая определение производной, определение nой производной в точке x0 можно записать в виде предела:f (n )(x0 ) = limΔx → 0f (n −1)(x0 + Δx ) − f (n −1)(x0 ), n = 1, 2, 3, …ΔxОтметим: когда говорится, что функция f имеет в точке x0 производную порядка n, т.

е. существует f (n)(x0), то отсюда следует,34в силу определения производной, что в некоторой окрестноститочки x0 у функции f существуют все производные низших порядков k < n, в частности, сама функция f определена в некоторойокрестности точки x0.Определение 2. Функция f (x) называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке существует f (n)(x0) — производная порядка n функции f (x)и эта производная непрерывна.Формула ЛейбницаПусть y = uv, где u и v — некоторые функции от переменной x,имеющие производные любого порядка.

Тогдаy' = u' v + uv' ,y'' = u (2 )v + 2u' v' + uv (2 ),y'' ' = u (3 )v + 3u (2 )v' + 3u' v (2 )+ uv (3).Правые части равенств похожи на разложения различных степеней бинома (u + v)n по формуле Ньютона, вместо показателейстепени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как производные нулевого порядка: u(0) и v(0). Учитывая это,запишем общий вид nй производной произведения двух функций:n(n − 1) (n −2 ) ' '(n )y (n )= (uv ) = u (n )v + nu (n −1)v' +uv + ...+2!+n(n − 1)...

Характеристики

Список файлов лекций