Математический анализ. Конспект лекций_Воронина Б.Б_2007 -160с (530591), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией, напримерf(x) = sinx, f(x) = sinx + x и т. д.2. Предел функцииПусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пустьточка x0 ∈ X или x0 ∉ X . Возьмем из X последовательность точек,отличных от x0:x1, x2, …, xn(1)сходящуюся к x0. Значения функции в точках этой последовательности тоже образуют последовательность:f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), ..., f (xn ),(2)и можно ставить вопрос о существовании ее предела.Определение предела по Гейне. Число A называется пределомфункции f(x) в точке x = x0 (или при x → x0), если для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x0, соответствующая последовательность (2) значенийфункции сходится к числу A.Символически это записывается так:lim f ( x ) = A.x → x0Из этого определения следует, что функция в данной точкеможет иметь лишь одно значение предела.Определение предела по Коши.
Число A называется пределомфункции f(x) в точке x = x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0 , что для всех x ∈ X , x ≠ x0, удовлетворяющихнеравенству | x – x0 | < δ, выполняется неравенство | f(x) – A | < ε .Определение частичного предела. Число A называется правым(левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходя15щейся к x0 последовательности (1), элементы xn которой больше(меньше) x0, соответствующая последовательность (2) сходится к A.Символическая запись:limx → x0 + 0f (x ) = A ( limx → x0 − 0f (x ) = A ).Пределы слева и справа функции также называются односто+ронними.Теорема 1. Функция f(x) имеет в точке x0 предел тогда и толькотогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левыйпределы и они равны.
В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции f(x) в точке x0.Теорема 2. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x0, и функции f(x), h(x) имеют в точке xпредел равный А, т. е.lim f ( x ) lim h(x ) = A .x → x0x → x0Пусть, кроме того, выполняются неравенства f(x) < g(x) < h(x).Тогдаlim g (x )= A.x → x0Доказательство. Пусть {xn}(x ≠ x0) — произвольная сходящаясяк x0 последовательность значений аргумента функций f(x) и h(x).Соответствующие последовательности {f(xn)} и {h(xn)} значенийэтих функций имеют предел, равный A, т. е.
f(xn) → A, h(xn) → Aпри n → ∞ . Используя неравенства, данные в условии теоремы,можно записать:f(xn) < g(xn) < h(xn).Отсюда по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что g(xn) → A. Согласно определению 1 предела функцииэто означает, чтоlim g (x )= A.x → x0Теорема полностью доказана.163.
Два замечательных пределаПервый замечательный предел. Докажем, что limx →0Msin x= 1.xTAO xKРис. 1Рассмотрим дугу окружности радиуса R = 1 с центральнымπуглом, радианная мера которого равна x (0 < x < ). Точка O — центр2окружности, прямые OM и OA образуют стороны угла x, точки Mи A лежат на единичной окружности, MK — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую OA, точка T принадлежит прямойOM и лежит за пределами окружности (рис. 1).Тогда OA = 1,sinx = MK, tgx = AT.(1)Очевидно, что площадь треугольника OAM меньше площадисектора OAM, которая меньше площади треугольника OAT, или,( ⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞что то же самое, ⎜ ⎟OA × MK < ⎜ ⎟OA × AM < ⎜ ⎟OA × AT . При⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠нимая во внимание равенства (1), последнее соотношение можнозаписать в виде (1/2) sinx < (1/2)x < (1/2) tgx, откуда получаем:sinx < x < tgx.(2)Разделив эти неравенства на sin x, получим 1 > (sinx) / x > cosx,откуда находим: 0 > 1 – (sinx) / x > 1 – cosx. Так как sin(x/2) < 1, тоsin2(x/2) < sin(x/2).
Поэтому, учитывая первое неравенство (2), длявсех x, удовлетворяющих неравенствам 0 < x < π /2, получаем1 – cos x = 2 sin2(x/2) < 2 sin(x/2) <2 (x/2) = x.Итак,0 > 1 – (sinx) / x > xпри 0 < x < π /2.17Возьмем любое ε > 0 и положим δ = min{ε , π / 2}. Тогда длявсех x, удовлетворяющих неравенствам 0 < x < δ , будет выполняться неравенство x < ε , поэтому 0 < 1 – (sinx) / x < ε , откуда| 1 – (sinx) / x | < ε .sinxxЭто означает, что 1 является правым пределом функциив точке x = 0, т.
е.limx →0+0sinx= 1.xЗаметим теперь, что функция f(x) =f (− x ) =sinxчетная, так какxsin(− x ) sinx== f ( x ). Поэтому и левый предел функции−xxsinxв точке x = 0 равен 1, а значит,xlimx →0sinx= 1.xx1⎞⎛Второй замечательный предел. Докажем, что lim ⎜1 + ⎟ .x → 0⎝x⎠Как известно,x1⎞⎛lim ⎜1 + ⎟ .x → 0⎝x⎠Пусть x > 1. Положим n = [x]; тогдаx = n + α,где n — натуральное число, а α удовлетворяет условию 0 < α < 1.Так как n < x < n + 1, 1/(n + 1) < x < 1/n, то(1+ 1 /(n + 1))n < (1+ 1 / x )n < (1+ 1 / n)n+1.18При x → + ∞ ( n → ∞ )lim (1+ 1 / n)n +1 = lim (1+ 1 / n)n lim (1+ 1 / n) = e × 1 = en →∞n →∞n →∞иnlim (1+ 1 /(n + 1)) =lim (1+ 1 /(n + 1))n +1e= = e.lim (1+ 1 /(n + 1))1n →∞n →∞n→∞Отсюда по теореме о двух пределах получаемx1⎞⎛lim ⎜1+ ⎟ = e.x →∞⎝x⎠Пусть теперь x < –1; положим x = – y.Тогдаx⎛1⎞1⎞⎛lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜⎜1 − ⎟⎟x → −∞ ⎝y → +∞⎝x⎠y⎠⎛1 ⎞⎟= lim ⎜⎜1 +y → +∞⎝y − 1 ⎟⎠y −1−yy⎛1 ⎞⎟ == lim ⎜⎜1 +y → +∞ ⎝y − 1 ⎟⎠x⎛1 ⎞⎟ = e ×1 = elim ⎜⎜1 +y → +∞⎝y − 1 ⎟⎠Объединяя два случая, окончательно имеем:x1⎞⎛lim ⎜1 + ⎟ = e.x → −∞ ⎝x⎠4.
Критерий Коши существования предела функцииОпределение 1. Пусть функция f(х) определена в некоторойокрестности точки а, кроме, быть может, х = а. Будем говорить,что f(х) при x → a удовлетворяет условию Коши, если для любогочисла ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что | f(х') – f(х) | < εдля любых | x – a | < δ, | x' – a | < δ и x ≠ a, x' ≠ a.19Теорема (критерий) Коши. Для того чтобы функция f(x) имелаконечный предел при x → a , где a либо число x0, либо один изсимволов ∞,+ ∞, − ∞, x0 + 0, x0 − 0 , необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло условию Коши при x → a .Доказательство.
Необходимость. Пусть lim f (x ) = A , где A —x →∞число. Это означает, что для любого ε > 0 существует такое чиcεло δ = > 0 , что | x – a | < δ при x ≠ a верно | f(x) – A | < ε .2Пусть | x – a | < δ , | x' – a | < δ при x ≠ a, x' ≠ a, тогда в силупредыдущего неравенства||| f ( x' ) − f ( x ) | = | f ( x' ) − A | + | A − f ( x ) | ≤ | f ( x' ) − A | + | f ( x )+)+ A | <ε ε+ =ε2 2т. е. условие Коши выполняется.Достаточность.
Пусть последовательность {x n } такая, чтоlim xn = a и x ≠ a, n = 1, 2, 3 …x →∞Покажем, что последовательность {f(x n )} при n = 1, 2, 3, …сходится.Пусть фиксировано ε > 0 . Согласно условию Коши существует такое δ (ε ) > 0 , что для всех | x – a | < δ , | x' – a | < δ и x ≠ a,x' ≠ a выполняется неравенство| f ' (x ) − f (x ) | < ε .В силу того что lim xn = a , x ≠ a, n = 1, 2, 3, … для окрестностиx →∞существует такой номер nε , что | xn – a | < δ при n > nε , поэтомупри любых n > nε и m > nε , | xn – a | < δ и | xm – a | < δ а следовательно, получаем | f(х') – f(х) | < ε , т.
е. последовательность {f(x n )}удовлетворяет условию Коши для последовательностей и поэтомусходится к некоторому числу B lim f (xn ) = B .n →∞20Покажем теперь, что lim f (xn )= B , какова бы ни была другаяn →∞такая последовательность { x'n }, что lim x'n = a , x ≠ a, n = 1, 2, 3, …n →∞Действительно, образуем новую последовательность:⎧⎪ xn , если n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, ...x'n = ⎨ ''⎪⎩ xn , если n = 2k, k = 1, 2, ...Очевидно, что lim x'n' = a , x'n' ≠ a , для всех n = 1, 2, 3, …n →∞Поэтому по доказанному существует lim x'n' = a , а так как пределn →∞любой сходящейся последовательности совпадает с пределом ее под''последовательности, то lim f ( x'n ) = lim f ( xn ) = lim f ( xn ) .n →∞n →∞n →∞Таким образом, согласно определению предела функцииlim f ( xn ) = B .n →∞Критерий Коши доказан.5.
Бесконечно малые и бесконечно большие функцииБесконечно малые функцииОпределение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x = x0 (или при x → x0), если lim f (x ) = 0 .x → x0Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x = x0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что длявсех x ∈ X, x ≠ x0, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ ,выполняется равенство | f(x) | < ε .Теорема 1. Для выполнения равенства lim f (x ) = A необхоx → x0димо и достаточно, чтобы функция α(x) = f(x) – A была бесконечно малой при x → x0.Доказательство.
Необходимость. Пусть lim f (x )= A. Рассмотx → x0рим разность α(x) = f(x) – A и покажем, что α(x) — бесконечно ма21лая функция при x → x0. Действительно, пределы каждой изфункций f(x) и A при x → x0 равны A, поэтому верно следующее:lim α ( x ) = lim0 [ f ( x ) − A ] = lim0 f ( x ) − lim0 A =x →x0x →xx→xx →x= A − A = 0.Достаточность. Пусть α(x) = f(x) – A, где α(x) — бесконечномалая функция при x → x0. Покажем, что lim f (x ) = A .x → x0Так как f(x) = A + α(x), тоlim f ( x ) = lim0 [α ( x ) + A ] = lim0 α ( x ) + lim0 A =x →x0x →xx→xx →x= A + A = 0.Теорема доказана.Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами,что и бесконечно малые последовательности.
Справедлива следующая теорема.Теорема 2. Алгебраическая сумма и произведение конечногочисла бесконечно малых функций при x → x0, а также произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции являются бесконечно малыми функциями при x → x0.Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞,x → −∞, x → x 0 + 0, x → x 0 − 0 .Бесконечно большие функцииОпределение 3. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x = x0, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всехx ∈ X, x ≠ x0, удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ, выполняется неравенство | f(x) | < ε.В этом случае пишут: lim f (x ) = ∞ и говорят, что функцияx →x0стремится к бесконечности при x → x0 или что она имеет пределв точке x = x0.Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций.Пусть при x → x0 функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
