34_PiskunovT2 (523113), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Вероятность того, что значение случайной величины попадает вне этого интервала, меньше 0,01. Пример 1. Производится один выстрел по полосе шириной 100 м. -Прицеливание рассчитывалось на среднюю' линию полосы, ко- леедедеееае аеееееа ен)ма торая перпендикулярна к плоскости полета снаряда. Рассеивание подчиняется иормаль- -дд .;ад.
д дд ному закону с вероятным отклонением по дальности В=20 и. Определить вероятность попа- ,Ф к' дания в полосу (рнс. 441). Срединное отклонение по дальности в теории стрельбы обозначают . Рнс. 44!. Вд, боковое Вб. Решение. Воспользуемся формулой (7) 4 !9. В нашем случае 1=50 и, В=Вд=20 м. Следовательно, Р (-50 < л < 50) =Ф ( — 1 = Ф (2,5) =0,9082 и 0,9!. 'т О/ 3 а м е ч а н и е. Приближенно можно было бы решить задачу, не пользуясь таблицами функции Ф(а), а носпользоваться шкалой рассеивания (рис. 440).
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ [ГЛ. ХХ 486 В нашем случае 1=2,5Е. Следовательно, Р ( — 50 < л < 50) =2 (0,25+0,16+0,04) = 0,90. Пример 2. Опытом установлено, что ошибка прибора для измерения дальности подчиняется нормальному закону со срединной ошибкой Е= 10 и. Определить вероятность тою, что определенная этим прибором дальность будет отклоняться от истинной не более чем не !5 м. Решение. В данном случае 1=15 и, Е=10 м. По формуле (7) $19 получаем: Р (-15 < л < 15) = [5 ~-' ,) = ф (1,5) =0,6888 = 0,69.
2 21. Среднеарифметическая ошибка Для характеристики ошибок вводят понятие среднеарифметической ошибки, равной математическому ожиданию абсолютной величины ошибок. Будем обозначать среднеарифметическую ошибку через й. Определим среднеарифметическую ошибку, если ошибки х подчиняются нормальному закону (4) 9 15. По формуле, аналогичной (2) 2 15, получаем (а=О) +Ф м +Ф Х' 1 зш 2 Г зо* с[ ) )х! е йх ) хе с[хФФ и )~ 2п о )/2я Ф о - ' (- ° т))' - — ' Итак, среднеарифметическая ошибка выражается через среднеквадратичное отклонение о так: 2о ' Г2 )ь (1) В 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок При рассмотрении многих процессов, особенно в теории стрельбы, плотность распределения нормального закона записывают в форме 7 (х) — е-ъ а Уя (1) Сравнивая формулы (4) 9 15 и (1), видим, что введенный параметр Ь выражается через параметр о так: Ь== 1 ог'2 (2) Величина Ь обратно пропорциональна а, т.
е. сРеднеквадратичной ошибке или среднеквадратичному отклонению. Чем меньше дисперсия оз, т. е. чем меньше рассеивание, тем больше значение Ь. Поэтому Ь называют мерой точности. дзумвРнля случлйнйя Величнг!А $23! 487 Из (2) и (1) % 21 получаем (5) 3 23.
Двумерная случайная величина С двумерными случайными величинами приходится иметь дело, например, при рассмотрении процесса 'поражения объекта, находящегося на плоскости хОу. Значение двумерной случайной величины определяется двумя числами х и у; саму двумерную случайную величину будем обозначать (х, у). Пусть х и у принимают дискретные значения х; и у . Пусть каждой паре значений (х,, ут) из некоторой совокупности соответствует определенная вероятность р;!. Мы можем составить таблицу распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины и=— ! (3) и'г' 2 (4) Срединная ошибка Е выражается через меру точности Ь на основании формулы (7) 3 18 и (3): Е= Р, н' Иногда .
бывает нужно одну характеристику распределения ошибок выразить через другую. Поэтому бывают полезны следующие равенства: — = р )~ 2 =0,6745, — = р У.я =0,8453, в ),~ †" = 1,2533, (6) в ' ! е = =1,4826, е = — -=1,1829. ! Е р 2 ' ' Е р~~ элементы теОРии ВеРОятнОстей ' 1гл. хх Очевидно, что должно выполняться равенство а! а Х Х р;;-1. !~! !=! Определим, далее, непрерывную двумерную случайную величину. Вероятность того, что значение двумерной ',случайной величины (х, у) удовлетворяет неравенствам х < х < х+ Ьх, у < у < у+Лу, будем обозначать так: Р(х <х < х+Ьх, у <у < у+ Ьу).
Рис. 443. Рис. 442, Определение 1. Функция ~(х, у) называется ллотноспсью распределения двумерной случайной величины (х, у), если с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Лр= = ~/Ьха+Ьу' выполняется равенство Р(х<х<х+Лх, у <у <у+Ьу) ы)(х, у)ЬхЬу. ' (2) Формула (2) вполне аналогична формуле (2) 5 12., Рассмотрим прямоугольную систему' координат хОу. Если значения случайной величины (х, у) будем обозначать точками плоскости с соответствующими координатами х и у, то выражение Р (х < х < х+ Ьх, у < у < у+ Ьу) обозначает вероятность того, что двумерная случайная величина (х, у) примет значение, обозначенное точкой, находящейся в заштрихованном прямоугольнике Ьз-(рис.
442). Будем говорить, что «значение случайной величины попало в область Ьз> *). Вероятность Р (х < х < х+ Лх, у < у < у+ Лу) также будем обозначать Р1(х, у)!=Ьз1. В этих обозначениях равенство. (2) можно переписать так: Р [(х, у) ~ Ьз) ж 1 (х, у) Ьз. (3) Докажем далее следующую теорему, аналогичную теореме 1 $ 12. '1 Площадку в равенстве (3) можно былобы братьи провы!ольвойформы.
ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАИНАЯ ВЕЛНЧННА Переходя к пределу в правой части последнего равенства при Лв -О, справа получим двойной интеграл и на основании свойств интегральной еуммы точное равенство Р[(х, у) = В1 = Р(х, у) о Теорема доказана. ' Замечание 1. Если область 11 есть прямоугольник, ограниченный прямыми х=а, х=[1, у=у, у=б (рис. 443), то вь Р[а <х< Д, Т < у < 6~= $ $ ~(х, у)йхйу. ' ''(5) 3 а м е ч а н и е 2. Аналогично равенству (1) выполняется равенство +а +Ф 1 1 Пх, у)дхйу=1, В Ф (6) так как достоверно, что двумерная величина примет какое-то значение.
Там, где функция 1(х, у) не определена по смыслу задачи, полагаем 1(х, у) =О. Если область Р является суммой г~г прямоугольников вида, изображенного на рис. 444, то вероятность по- ~1 падания случайной величины в такую . область определяется как сумма нем рпятностей для отдельных прямоуголь- Рис. '444, Теорема 1.
Вероятность Р[(х,'у)г:1г1 того, чпю двумерная случайная величина (х, у) с плотностьюраспред4ления 1(х, у) попадет в область О, выражается двойным интефалом от функг4ии 1(х, у) яо области 1г, т. е. Р [(х, у) г-,01= ~ ~ ~ (х, у) дх йу. (4) о Доказательство. Разбиваем область 1г, как зто делалось в теории двойных интегралов, на площадки Лз. Для каждой площадки пишем равенство (3) и складываем левые и правые части полученных равенств. Так как,'„~~Лз=Р и ~Р[(х, у)г=.Лв1= = Р[(х, у)~Щ, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Лз получаем приближенное равенство Р[(х, у)~Щж 'Яг(х, у) Лз.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (гл. хх ников, т. е. как сумма определенных интегралов по каждому прямоугольнику: Р [(х, у) с Р] = Р [(х, у) 1= Р ]+ Р [(х, у) с Р ] + Р [(х, у) с Р ]. П р и м е р. Плотность распределения двумерной случайной величины задается формулой 1 1(, р)=п,((+ха) (1+уз). Определить вероятность того, что значение случайной величины попадет 1 в прямоугольник, ограниченный прямыми х=о, х=1, у==, у='рг 3. =' =' =Уз' = Решение.
По формуле (3) получаем Р[а< х<1, — '<у <)г 51= ' У'3 Уз Уз ге — — а( — — о) ( — — — )= —. Определение 2. Функция а х г" (х, у)= ~ ~ 1(и, о)йийо Ф м называется интегральной фуннг(ией распределения вероятностей двумерной случайной величины (х, у). Очевидно, что интегральная функция распределения выражает вероятность того, что х < х, у < у, т. е. Р(х, у) =Р(х <х, у <у), Геометрически функция распределения выражает вероятность того, что двумерная случайная величина попала в бесконечный четырехугольник, заштрихованный на рис. 445. На основании теоремы о дифференцировании определенного интеграла по параметру устанавливается связь между плотностью О распределения и интегральной функ- | цией распределения: — '„" = ~ ~(..) Ь, о"г Рис, 443.
3х йр = 1 (Х У) (о) $241 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ 491 Плотность вероятности двумерной случайной величины является смешанной производной второго порядка от интегральной функции распределения. 2 24. Нормальный закон распределения на плоскости Определение 1. Распределение двумерной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения этой величины выражается формулой, у( у и в 1(х, у)= — е 1 аое зоа 2цо„оя (1) График этой функции есть поверхность, изображенная на рис.
446. Центром рассеивания слу- у чайной величины с законом рас- Рис. 446. пределения (1) является точка (О; О)*). О„и а„называ(отея главными среднеквадратичными откло(4ениямй. Перепишем формулу (1) так: М Р1 Р 2ло„ Р 2яоя Таким образом, 1(х, у) можно рассматривать как произведение двух плотностей нормальных распределений случайных величин х и у. Как и в случае одномерной случайной величины, определим главные вероятные отклонения двумерной случайной величины Е„ и Е„ (см. формулу (7) $18)( Е„=р'р' 2О„, Е„=Р1I 2а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
