34_PiskunovT2 (523113), страница 72
Текст из файла (страница 72)
409). Закон распределения может быть задан и аналитически: Рв = 1(хв). ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (гл. хх называется модой. Случайная величина х, изображенная на рис. 409, имеет моду х,. П р и ме р 1. Переменная величина х есть число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Переменная х может принять одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Вероятность выпадения каждого значения есть,1/6. Следовательно, таблипа распределения втой случайной величины будет иметь вид П р и и е р 2. Вероятность появления собьпия А при каждом из бесконечной последовательности испытаний равна р. Случайная величина х — номер испытания, прн котором произошло первый раз событие А. Найти закон распределения случайной величины х. Решен ие. Случайная величина х может принимать любое целое положительное значение 1, 2, 3, ... Вероятность р! того, что событие А произойдет при первом испытании, будет рт=р(А) =р. Вероятность ра того, что событие не произойдет при первом испытании, а произойдет при втором, будет ра=р (А и А) =(1 — р) р.
Вероятность рз того, что событие А не произойдет ни при первом, ни при втором испытании, а произойдет при третьем, будет рз=р (А и А и А) =(1 — р) (1 — р) р=(! — р)'р и т. д., ра=(! — Р)а-'р. Таблица распределения вероятностей будет' Здесь также имеем: О Ю Е ра= ~~~ (1 — р)а-тр= Р =1 а= ! а=! 1 — (1 — р) 3 а д а ч а о с т'р е л ь б е д о и е р в о г о п о п а д а н и я. Рассмотренная задача имеет приложение, в частности, к вопросам стрельбы. Пусть производится стрельба до первого попадания.
Вероят- ность попадания при каждом выстреле есть р. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА Случайная величина х — номер выстрела, при котором произошло первое попадание. Таблица распределения вероятностей этой случайной величины будет та же, что и в примере 2. Пример 3.
Вероятность попадания прн каждои выстреле р=0,8. Имеется три снаряда. Определить вероятность того, что будет израсходован один снаряд, два снаряда, трн снаряда, если стрельба ведется 1до первого попадания или промаха всеми тремя снарядами: составить таблицу распределения случайной величины х †чис израсходованных снарядов. Решение. Пусть х — случайная величина: число израсходованных снаядов; Р (х=х,) †вероятнос того, что будет израсходовано хь снарядов.
огда Р (х= 1) =-р=0,8 равна вероятности попадания при одном (первои) выстреле. Р (х=2) =(1 — р) р=(1 — 0,8) 0,8=0,16 — вероятность того, что при первом выстреле был промах, при втором выстреде — попадание. Р (х= 3) = (1 — р)з = (! — 0,8) (1 — 0,8) =0,2 0,2=0,04, так как всего три снаряда н стрельбу прекращают независимо от того, будет ли при третьем выстреле попадание или про»»ах. Последнюю вероятность можно было вычислить и как разность 1 — Р (х = 1) — Р (х = 2) = 1 — 0,8 — О, 16 = О 04. Таблица распределения будет иметь вкд 3 а меч а н не. Данную задачу можно сформулироиать в терминах «схемы ури», следовательно, она может иметь значение,н прн рассмотрении других вопросов.
Это замечание относится и к некоторым другим задачам. ,ф 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях Пусть производится серия из п испытаний. В каждбм из испытаний может осуществляться событие А с вероятностью р. Пусть х — случайная величина, означающая относительную частоту появления события А в серии из и испытаний. Требуется определить закон распределения случайной величины х в серии из п испытаний. Очевидно, что случайная величина х при и испытаниях примет одно из следующих значений: 0(п, 1(и, 2/и, ..., п(п. Теорема !.
Вероятность Р(х=т/и) !лого, что перелгенная величина х примет значение т(п, т. е. что при и испытаниях собыпше А появится т раз, а событие А (не появится событие А) п — т раз, равняется Слр д", где ф— число сочетаний изпвле- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !гл. хх ментов по т; р — вероятность появления события А, р=Р(А); с( — вероятность непоявления события А, т. е. д=1 — р=Р(А). Доказательство. Событие А появится т раз прил испытаниях, например, если чередование событий А и А будет таким: АА...ААА...А, т.
е. в первых т испытаниях появляется событие А, а в последующих н — т испытаниях событие А не появляется (появляется событие А). Так как Р(А)=р, Р(А) =1 —.р=д, то по теореме умножения вероятность такого чередования событий А и А будет рптп- и Но событие А может появиться т раз при н испытаниях и при другой последовательности чередования событий А и А, например, при таком чередовании: АА...ААА...АА. Нб обязательно т-1 л-т Р событие А должно произойти т раз, а событие А а — т раз. Вероятность появления такого чередования событий А и А будет рю-т и-пр рис(п — т Сколько же различных чередований событий А и А может быть при л испытаниях, в которых событие А появится т разе Очевидно, что оно равно числу сочетаний из н элементов по т: н(н — 1) (н — 2) ...
[н — (т — !)) 123 ...т Таким образом; по теоррме сложения получаем (Х вЂ” ) — рпдп и + рю ~п пю [ [ ра![и пп сп илн Р ~х= — ~ =С„"р"д" ". лу Теорема доказана. Доказав теорему, мы тем самым определили закон распределения случайной величины х, который мы вырадим и в виде таблицы ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА $8] Полученный закон распределения. называется биномиаланшм законом, потому что вероятности Р (х= — ) равняются соответстлг 1 вующим' членам разложения выражения (д+ р)п по формуле бинома: (4+Я) = Х С:Р" 1» (2) Как и следовало ожидать, сумма вероятностей всех возможных значений переменной величины равна 1, так как (р+д)п = 1» = 1.
3 а м е ч а н и е. При исследовании многих вопросов бывает нужно определить вероятность того, что событие А осуществится ахотя бы один раз», т. е. относительная частота этого события 1 / 11 х) —: Очевидно, что эта вероятность Р (х) — ) определится из л я равенства р(х)1)1р(хо)1 Из таблицы распределения также следует, что вероятность Р (х) — ) того, что событие произойдет не менее чем к раз, опрейу делится йо формуле » Р Х) ~~1~~ С»ртчп-и йт (4) Р (х) — ) =1 — ~ С„"Р д" ". тте И р имер 1.
Изобразить графически биномиальный закон распределения 1 1 случайной величины к при т=а, р=, о= —. в' 2' Решение. Определим зсе значения вероятностей, входящие в таблицу; у1 тз Р(х=б)=Сф»=1 ° ( — ) = —, 8' ~ 2 ) 256' 1гл. хк ВЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Построим многоугольник распределения (рис. 410). Рис.
410. Пример 2. Какова вероятность того, что событие А произойдет два раза а) при 2 испытаниях; б) при 3 испытанидх; в) при РО испытаниях, если вероятность появления события пр» каждом испытанян равняется 0,4? Решен ие. а) Здесь п=2, р=0,4, 4=0,6: 2Д 'в 21 Р ~х= — ) ='Сараев — ' . 0 4в 0!6, 2) 1. б) здесь а=3, р=0,4, 4=0,6: Р (х= — ) =Сврв4т= — 2 ° 0,4з 0,6=0,288; 2т в 32 3) — в — ! 2' в) здесь в=10, р=О,'Х, 4=0,6: Р (х=-~) =Сведала= — ° 0,4в О,ба=0,121.
2 ! з 10.9 1 2 Пример 3. По цели производится 5 независимых выстрелов. Вероят. ность попадания лри каждом выстреле равна 0,2. Для поражения цели достаточно трех попаданий. Определить вероятность поражения цели. Решение. Здесь и 5, р=0,2, 4=0,8. Очевидно, что вероятность поражения слфдуст вычислять по формуле , я — — Р( = — )+Р( = — )+Р~я= — ) Р~я ) Св Р(х= — ) — Св Г 6 8) Р( = — )=Св 8) Р(х= — ) =С,' 1 7 2в 32' 1 7 2в 64' 1 1 2в 32' 1 1 2в =2%.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1гл. хх Определение 1. !!1атематическим ожиданием дискретной случайной величины х (будем его обозначать М[х] или т„) называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений: М[х]=х»р»+х,р»+... +к„р„, или коротко М [х] = ~ х„р». (1) »=! л При этом, как ранее указывалось, 2; р»=1.
»=! Если значения случайной величины образуют бесконечную пот следовательность значений, то т„= ~ х,р„. (1') Будем рассматривать только такие случайные величины, для которых этот ряд сходится. Установим связь математического ожидания случайной величины со средним арифметическим значением случайной величины при большом числе испытаний, а именно покажем, что при большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых вначений близко к ее матема!пическому ожиданию, или в терминах, установленных в ~ 1, можно сказать, что среднее ари4метическое наблюдаемых значений случайной величины при неограниченном возрастании числа испы аний стремится к ее математическому ожиданию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
