34_PiskunovT2 (523113), страница 76
Текст из файла (страница 76)
$ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона В соответствии с формулой (3) 5 12 определим вероятность того, что значение случайной величины х с плотностью распределения (~-аР 1 7 (х) е аа' ау 2л попадает в интервал (а, р):- а Р (а < х < р) = ~ 1 (х) дх, а или а аая Р(а <х <Р) ==~ е 'а' а» аг 2я3 (рис. 432). Сделаем замену переменной. х — а г' 2а Получаем 1а-а. аУа Р(а < х < р)== ~ е РеК. )7 — „ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |гл.
хх 423 Справа стоя|ций интеграл не выражается через элементарные функции. Значения этого интеграла выражаются через значения интеграла вероятностей Ф(х)==) е ' ат. (2) Укажем некоторые свойства функции Ф(х), которыми мы будем пользоваться ниже.
Рис. 433. Рис. 432. 1. Ф(х) определена при всех значениях х. 2. Ф (О) = О. 3. Ф(+ оо)== ~ е ' а'1 == ° — =1. 2 |' а 2 4. Ф(х) монотонно возрастает иа интервале (О, + са). 5. Ф(х) — функция нечетная, так как Ф( — х) = — Ф(х). (3) 6.
График функции Ф (х) изображен на рис. 433. Составлены подробные таблицы значений этой функции. Краткая таблица приведена в конце книги (см. табл. 1). Перепи|пим равенство (1'), пользуясь теоремой о разбиении промежутка интегрирования: В-а О аУ2 Р(а<х <()) == ( е Рй1+ ( е-"йЦ ~'а и а Е-а аУ2 аУ2 — е Рйе+ е'|(Е .
Последнее равенство можно переписать так а-а а|' 2 аУ2 Р (сс < х < Р) = — — Г е-|' й( = ~ е-" й( $1ТЗ ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ 479 Пользуясь функцией Ф(х) (см. (2)), окончательно выразим вероят« ность попадания случайной величины х, подчиненной нормаль- ному закону, в интервал (а, Р): Р (сс < х < р) = — ~Ф( ) — Ф(=)~ . (4) При а=О получаем =-'1'( — '-)-.( — -)1 Приравняв правые части равенств (1) для случая а=О и равенства (5), получаем В и* ~=е %1х= — ~Ф(=) — Ф(=)1. (5') а (5) Часто приходится вычислять вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал (а — 1, а+ 1), симметричный 2а1 а аг х "1 О Рис.
434. относительно точки х=а (рис. 434). В этом случае формула (4) принимает вид 2 ~ (О2) ( ~ 2)) Учитывая, что Ф( — =1 = — Ф~ — ~ (см. формулу (3)), а )/ 2 ), (о )~ 2 / окончательно получаем Р (а — 1 < х < а+ 1) = Ф1 — ) . (6) (ОР' 2/ Р( — 1 <х < 1) =Ф1' — ''). (о к' 2/ Правая часть не зависит от положения центра рассеивания, сле- довательно, и при а =О получаем элементы теОРии ВеРОятностеи ,ГЛ. ХХ Пример 1. Случайная велнчнна х подчинена нормальному закону распредблення с центром рассенвання 1 а=0,5 н дисперсией оа= —. Опре- 6' делить вероятность того, что значенне случайной нелнчнны х попадет в ннтервал (0,4; 0,6) (рнс.
435). 1 Решение. Здесь ==2. ОР 2 Рнс. 435. По, таблице значений функция Ф(х) (см. табл. 1 в конце книги) находим Р (0,4 < х <'0,6) = 0,223. П р яме р 2. Длнна нзготовляемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по Нормальному закону с параметрами 1 М [х[=10, оз= —. Найти вероятность брака, если допустимые размеры де- 200 ' тали должны быть 10 ~ 0,05. 1 1 Решение. В нашем случае а=10, ==10„о==. Вероято)г 2 " 10)Г2 ность брака рая в соответствии с формулой (4) выразится так: р„= ! — Р(995 < х < 1005) =1 — -'(Ф [10 (1005 — !О — Ф[!0.(995 — 10)»= = ! — '[Ф(0,5) — Ф( — 0,5)) = ! — Ф (0,5) = ! — 0,52=0,43.
П р н м е р 3. Определить вероятность попадання в полосу шириной 21=3,5'м, если ошнбкн стрельбы подчнняются нормальному закону распределения с параметрачн а=о, о=1,9. 1 Ре шел не. В нашем случае а= — 1,75, 5=1,75, =0,372. По форо)г 2 муле (7) получаем Р ( — 1,75 < х < 1,75) =Ф(1,75 0,372) =Ф (0,651) =0,643. Замечание. Вместо функции Ф(х) ((2)) часто пользуются функцией Лапласа х г1 Ф()= — '1, И. Р' 2п 5! (8) Эта функция Лапласа связана с функцией Ф(х) простым соотно- По формуле (4) получаем Р(0,4 < х < 0.6) = 1 (Ф [2.(0,6 в 0,5)) — Ф [2 (0,4 — 0,5)[) = — (Ф (0,2) — Ф ( — 0,2)); 1 Но Ф( 02) — — ф(0,2) (см. фоРмУлУ (3)), поэтомУ можем нацнсать Р(0,4 < х < 0,6)= — [Ф (0,2)+Ф(0,2))=Ф (0,2!.
1 ВЕРОЯТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ 41в1 481 шепнем. Сделав в интеграле (8) замену = =г получаем \ — в 1 г х Ф(х)= — ' ~ е * йг= — Ф~=). Итак, Ф(х) =-Ф(=) (9) и, очевидно, Ф(х$~ 2) = — Ф(х). (10) Формула (5) с использованием функции Ф(х) и соотношения (9) запишется так: Р (а < х < ~3) = Ф ~ — ) — Ф ~ — ") (11) .и при о=1 Р(а < х < Р) =Ф(Р) — Ф(и). Рис.
486, 5 18. Вероятиое (срединное) отклонение или срединная ошибка Во многих вопросах прикладной теории вероятностей, в частности в теории стрельбы, а также в теории ошибок, пользуются характеристикой рассеивания, которую называют верояпииям, или срединным отклонением. В теории стрельбы ее называют срединной ошибкой. 18 Н. С. Писиувдв, вв 2 Таблица значений функции Лапласа Ф (х) помещена в конце книги (см.
табл. 3). Определим далее интезральную функцию нормального закона распределения. По формуле (1) 9 13 имеем: х х ~. ди Р(х) = ( г(х)йх== ~е "* дх=Р( — оо <х<х). .от' 2и 1 Пользуясь формулой (4) для случая а= — оо, р=х, получаем. Г (х) = 2 ~Ф ~ — ") — Ф ( — оо) 1, но Ф( — оо) = — 1 (см. формулу (3)). Следовательно, Р (х) = — [Ф ~ — "д ) + 11 . (12) График функции Р(х) при а=О изображен на рис.
436. ЭЛЕМЕИТЪ| ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ игл. хх 482 Определение 1. Вероятным (срединным) отклонением называется такое число Е, что вероятность того, что случайная величина (ошибка, например), подчиненная нормальному закону распределения 7(х)= е '~*, попадет в интервал ( — Е, Е), равна 172 (рис.
437), т. е. Р ( — Е < х < Е) = 172. (1) Для любой случайной величины х, подчиняющейся нормальному закону распределения с центром рассеивания х=а, срединное отклонение Е (рис. 438) удовлетворяет соотношению Р (а — Е < х < а+ Е) = 1/2. (2) Выразим среднеквадратичное отклонение о через срединную ошибку- Е.
Рес. 437, 1 Ряс. 438. Левую часть равенства (1) выразим через функцию Ф(х): е Р ( — Е < х < Е) = 1 = е Ж(х. 3 ог2к (3) По формуле (7) 2 17 получаем Р'( — Е«. Е)=Ф( — ' (4) ~,аг' 2/ В равенствах (1) и (4) левые части равны, следовательно, равны и правые: Ф~ Е ) ! (5) По таблице значений функции Ф(х) находим значение аргумента х=0,4769, для которого Ф(х)=1!2.
Следовательно, = = 0,47б9. аг' 2 ПРИВЕДЕННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА Это число 0,4769 принято обозначать через р~ = = р = 0,4769. а~2 (6) Отсюда Е=рРс2а,' о== р)~ 2 (л ' 9 19, Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведеннар функция Лапласа Выражая параметр и через параметр Е по формуле (7) 9 18 и подставляя в (4) 9 15, получим выражение закона распределения через срединное отклонение: 1(х) ==е- ' — '. Р Рй Ер п Вероятность попадания случайной величины (например, ошибки) в интервал (а, р) в соответствии с формулой (5) 9 17 будет Р(а<к<~)=2 ~Ф(р — ) — Ф(ре)1 (2) и в соответствии с формулой (7) 9 17 Р( 1<х<1)=Ф(рй, Числа — и —, стоящие в правой части формулы (2), опреде- В о лаются характером задачи, р — известное число, р=0,4769.
Чтобы избежать умножения на р, при каждом вычислении составлены таблицы для функции Ф(рх). Эту функцию обозначают Ф(х): Сделав замену переменой 1 = рг, получим Ф'(х) = — Р е-Р**' пг. (5) $6е Ф(х) =Ф(рх). (4) ,Ф(х) называют приведенной функцией Лапласа. Таблица значений этой функции помещена в конце книги (см. табл. 1).
На основании (2) 917 функция Ф(х) определяется интегралом РУ Ф (х) = = ( е-' М. о ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ 485 (ЗЕ, 4Е), (4Е, 5Е)' при плотности распределения, определяемой по формуле (1) 9 19. Знание этих вероятностей во многих случаях сокращает вычисления и помогает при анализе явлений. Рис. 440. Рис.
439. При вычислении этих вероятностей будем пользоваться формулой (8) 9 19 и таблицей функции Ф(х): Р (О < х < Е) = — Ф (1) = 0,2500, Р (Е < х < 2Е) = 2 (Ф (2) — Ф (1)1= 0,1613, Р(2Е < х < ЗЕ) = — 1Ф(3) — Ф(2)] 0,0б72, Р (ЗЕ < х < 4Е) = — ~Ф (4) — Ф (3)1 = 0,0180, Р (4Е < х < оо) = 2 '!Ф(оо) — Ф(4)1= — (1 — 0,9930) = 0,0035, Результаты вычислений геометрически изображены на рис. 440, который называется шкалой рассеивания ошибок. Из этих расчетов следует, что практически'достоверно, что значение случайной величины попадает в интервал ( — 4Е, 4Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
