34_PiskunovT2 (523113), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Рис. 424. Определим вероятность того, что случайная величина х примет значение, заключенное в интервале (а, р): в в Р(и <х<~) =~ ~(х)ь(х=~ь —,, с(х=~ — ". Итак, искомая вероятность 1) =,—, (зто соотношение аналогично определению геометрической вероятности для двумерного случая, приведенному на с. 441). Определим интегральный закон распределения г (х)= ) 1(х)ах. а Если х(а, то 1(х) =О и,'следовательно, Р (х) = О." Если а(х(Ь, то ~(х)=„— и, следовательно, 1 а Г 1 х — а г' (х) = с! — ь(х = —.
сЬ вЂ” а Ь вЂ” а' а ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Если Ь(х, то 1(х)=О, ~ /(х)г(х=О, следовательно, Г(х)= 1/(х) (х=1 1 (х.=~ "=1 (рнс. 425). Приведем несколько конкретных случайных величин с законом равномерной плотности. П р и м е р 1. При измерении некоторой величины производится окрутленпе до ближайшего деления шкалы. Погрешность при округлении есть случайная величина с равномерным распределением вероятностей. Если 21 †чис некоторых единиц в одном делении шкалы, то плотность распредхления этой случайной величины будет Г(х) /(х)=0 при х < — 1, /(х) = 1/21 при — 1 < х < 1, /(х)=0 при 1 < х. Здесь а= — 1, Ь=1, с=!/21.
/) Прим ер 2. Вращающееся симмет- Рис. 425. ричное колесо останавливается вследствие трения. Угол О, образованный некоторым фиксированным подвижным радиусом колеса с неподвижным радиусом после остановки колеса„ есть случайная величина с плотностью распределения /(0)=0 при 0 < О, /(О) =— 1 2Л при 0 < 0 < 2п, /(0)=0 при 2п < О. й 14.
Чнсловые характеристики непрерывной случайной величины Аналогично тому, как это было сделано ранее для дискретной случайной величины, рассмотрим числовые характеристики непрерывной случайной величины х с плотностью распределения /(х). Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины х с плотностью распределения /(х) называется выражение +Ф М[х)= ) х/" (х)г(х.
— Ф Если случайная величина х может принимать значения только на конечном отрезке [а, Ь|, то математическое ожидание М[х) выразится формулой а М [х) = ) х/ (х) г(х. (!') О Формулу (1') можно рассматривать как обобщение формулы (1) 2 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИЕРОЯТНОСТЕИ (ГЛ.
ХХ 472 Действительно,. разобьем отрезок [а, Ь1 на интервалы (х„п х ). В каждом из интервалов возьмем точку $». Рассмотрим вспомогательную дискретную случайную величину $, которая может принять значения $о $„ е , $», ..., В„. Пусть вероятности соответствующих значений дискретной случайной величины будут ры р„ ..., р„, ..., р„: ра= 7'($,) Ахы рз= 7 Ка) Ах„..., р»=1 5,) Лх», ..., р„=у Д„) Ах„е).
Математическое ожидание данной дискретной величины $ будет м[Ц= Х.~,р., или М[Ц=ь,)($,) Лх,+$»7(чз) Ах,+... +$»7(3») Лх»+ ... +ь„Я„) Ах„=,~, 'й»1(ь») Ах„. Переходя к пределу при гпах Лх» — О, получаем л » 1пп ~ $»7 (С») Лх» = ) х7 (х) с(х. таках» о»=! Выражение, стоящее справа, есть математическое о)кидание непрерывной случайной величины х, которая может принимать любое значение х, принадлежащее отрезку [а, Ь1. Аналогичное рассуждение можно провести н для бесконечного интервала, т. е.
для выражения (1). Формулы (1) и (1') аналогичны формуле (1) 9 9 для дискретнои случайной величины. Математическое ожидание также будем обозначать гл„. Математическое ожидание называют центром распределения вероятностей случайной величины х (рнс. 426). Если кривая распределения симметрична относительно оси Оу, т. е. 7(х) — функция Четная, то очевидно, что М [х1 = ~ ху (х) Ых = О. Ю В этом случае центр распределения вероятностей совпадает с началом координат (рнс.
427). Рассмотрим центрированную слу- е) В то нсе'вреия 7($») Лл» есть вероятность того, что непрерывная случайная величина х примет значение нз интервала (л» т, х»). ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 473 $!4! чайную величину х — т„, Найдем ее математическое ожидание: + Ю + е +а М [х — т,)' = ~ (х — т„) 1(х) йх = 1 х7 (х) йх — т, ~ 7 (х) йх =е е Ф Ф =т„— т, 1=0. Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Определение 2. Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрироваииой случайной величины: 0 [х1 = ~ (х — т„)' 7 (х) 41х. (2) Формула (2) аналогична формуле (2) $ 10. О и р еде л е н и е 3.
Среднеквадратичным отклонением случайной величины х называется корень квадратный нз дисперсии: / 4 ее о [х1= )~ (е [х1 = и)/ ~ (х — т„)' 7(х) йх. Эта формула аналогична формуле (3) $ 10. При рассмотрении конкретных примеров мы увидим, что; как и в слу~ае дискретной Рис. 426. Рис. 427. случайной величины, дисперсия и среднеквадратичное отклонение характеризуют рассеивание значений случайной величины. Определение 4. Значение случайной величины х, при котором плотность. распределения имеет наибольшее, значение, называется модой (будем ее обозначать М,).
Для случайной величины х,- кривая распределения которой- изображена на рис. 426 и 427, мода совпадает с.математическим ожиданием. Определение 5. Число, которое мы обозначим М„ называется медианой, если оно удовлетворяет равенству ме +Ю Рис. 428, ЭЛЕМЕНТЪ| ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |гл. хя 474 (рис. 428), Последнее равенство можно переписать так: Р(х < М,)=Р(М, < х)= —, т. е. равновероятно, что случайная величинй х примет значение, меньшее М, и большее М,.
Заметим, что самаслучайиая величина х может значения М, и ие принимать. й 15. Нормальный закон распределения. ййатематнческое ожидание нормального распределения Изучение различных явлений показывает, что многие случайные величины, например, такие, как погрешности при измерениях, боковое отклонение и отклонение по дальности точки попадания от некоторого центра при стрельбе, величина износа деталей во многих механизмах и т. д., имеют у плотность распределения вероятности, У выражающуюся формулой ген 1 (х-а|' 1(х)==е за* .' (1) 4( а лт о 1Г2н Рис. 429. В этом случае говорят, что слу- чайная величина подчинена нормальному закону распределения (это распределение также называют законом Гаусса).
Кривая нормального распределения изображена на рис. 429. Таблица значений функции (1) при а=О, о= 1 помещена в конце книги (см. табл. 2). Аналогичная кривая подробно исследована в 9 9 гл. Ч т. 1. Покажем сначала, что плотность распределения (1) удовлетворяет основному соотношению (5) $ 12: 1 )( )(1х=!. Действительно, вводя обозначение — =1, ух=-1' 2О(11 можем написать +а (а-а|' + СО ~~ =е '" ((х== ~ е-(*Ж== Уй=1, так как (см. 9 5 гл. ХЧ). НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 475 Определим математическое ожидание случайной величины с нормальным законом распределения (1). По формуле (1) 2 14 имеем +Ю (к-аи 1 За* (2) . З от'2н Сделав замену переменной х — а 1/'2 Ф получаем х=а+$' 2а(, йх=$' 2ой1. Следовательно, + Ю +а +а т == ( (а+к' 2ог) е-НИ==а ( е ' йг+= ( (е '~де.
к Первый интеграл ',справа равен Р' и. Вычислим второй интеграл: +Ф 1 '- — ' 'Г= (е "й1= — — е "! =О. 2 1-а1 а Итак, т„= а. (3) Значение параметра а в формуле (1) равно математическому ожиданию рассматриваемой случайной величины. Точка х=а является центром распределения вероятностей, или центром рассеивания. При х = а функция 7'(х) имеет наибольшее значение, поэтому значение х=а является модой случайной величины. Так как кривая (1) симметрична относительно прямой х =а, то ) 7(х)йх= ) 7(х)йх, Рис.
430. т. е. значение х= а является медианой нормального распределения. Если в формуле (1) положим а=О, то получим .А' 7(х) ==е "'. (4) а Р 2и Соответствующая кривая симметрична относительно оси Ор. Функция Г(х) есть плотность нормального распределения случайной величины с центром распределения вероятностей, совпадающим с началом координат (рис. 430). Числовые характеристики ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . 1ГЛ. ХХ 476 случайных величин с законами распределения (1) и (4), определяющие характер рассеивания значений случайной величины относительно центра рассеивания, определяются формой кривой, которая не зависит от величины а, и 'поэтому совпадают. Величина а определяет величину сдвига кривой (1) вправо (прн а) О) или влево (при а ( О).
Для некоторого сокращения письма мы будем проводить,'многие дальнейшие рассуждения применительно к плотности распределения, определяемой формулой (4). $ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону . распределения Пусть плотность распределения случайной величины х дается формулой 1(х) ==е 'а*. (1) О ~2Я Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле (2) 5 14. В нашем случае т„=а=О. Имеем +Ф м 01х) = 1 х'= е "*ах. Сделаем замену переменной = = 1 тогда + а~ + ОР 01х1= — ( 1те ' а1 == ( 1 21 е ' аг, Проинтегрировав по частям, получим Так как 1нп (е '*=О, ~ е "сУ=Уя, ~ -~ аи то окончательно получаем 0 1х1 = о*.
(2) Среднеквадратичное отклонение в соответствии с формулой (3) $ 14 будет о(х1 =')/0 (х)=о. 4п1 ввгоятность поплдкния в злдхннын интвввлл 477 Итак, дисперсия равняется параметру оа в формуле плотности распределения (1). Мы уже говорили выше, что дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины-относительно центра рассеивания.
Посмотрим', как-значение параметра оа влияет на форму кривой распределения. На рис. 431 изображены '-кривые а ~. распределения для значений и = —, о=1, о= 2. Рассмат- . ! аат ривая эти кривые, видим, что' чем меньше и, тем максимум ° 11 и функции 7'(х) больше, веро-- ятность значений, близких к центру рассеивания(х = 0), больше, вероятность значений, удаленных от начала, меньше. Это обстоятельство выражают словами: чем меньше дисперсия о' темменьше рассеивание значений случайной величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
