34_PiskunovT2 (523113), страница 79
Текст из файла (страница 79)
тл Это и есть группировка. Группировку оформляют и геометрически. Это делается следующим образом. На оси Ох отмечаем точки а„аь ..., а„, ., ал. На отрезке (ал „ал) как на основании строим прямоугольник, площадь которого равна р„', По,лученная фигура называется гистограммой (рис. 448). На основании группировки и гистограммы строится приближенно статистическая функция распределения. Дальнейшая обработка материала производится следующим образом. Середины интервалов (а, „а„) обозначают х„и счи,тают это значение значением результата измерения, которое н. с, писмгнов. т. 2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ггл. хх повторяется та раз. После этого вместо таблицы, задающей группировку, строится следующая таблица: Данная обработка сделана на основании того, что все значения в интервале (ае гч аа) близки друг к другу и потому их считают равными абсциссе середины интервала хе.
Рис. 448, Рис, 449. Пример. При !00 определениях дальности получены результаты, на основании которых построена группировка: опрндвлвнив подходящего значвния На основании группировки строим графическое изображение статистического ряда (гистограмму) (рис. 449). Построим, далее следующую таблицу: 9 29.
Определение подходящего значения измеряемой величины Пусть при измерении некоторой, величины получили результаты измерения х„ х„ ..., х„. Эти значения можно рассматривать как частные значения случайной величины х. За подходящее значение определяемой величины принимают среднее арифметическое полученных значений а ~~~~ х; (1) Величину гн„" называют статистическим средним. Если число изменений п велико, то пользуются материалом таблицы, рассмотренной в 9 28, и т„* вычисляют так: хата+хата+... +хагиа+...
+х их птх— и а или, пользуясь обозначениями (1) 9 28, »гх = лл хар»* а-! (2) полученное значение называют средним взвешсннь(м. Замечание. В дальнейшем результаты вычислений по формулам (1) и (2) будем обозначать одной и той же буквой. Это замечание будет относиться и к формулам (3)' и (4). 1уе !гл. и'х алименты творим ввроятностеи Можно доказать, что статистическое среднее при некоторых ограничениях стремится по вероятности при и- со к математическому ожиданию случайной величины х.
Это утверждение следует из теоремы Чебышева. Определим, далее, статистическую дисперсию. Она определяется так '): «~ (к! — шх) с и Эта величина характеризует рассеивание значений наблюдаемой величины. Если пользоваться материалом таблицы 9 28, то статист'ическая дисперсия определится по формуле » кхл = 2~ (х„— т,")'р». »=! Эта формула аналогична формуле (2) 9 1О. П р н м е р. Определить статистическое среднее и статистическую дисперсию на основании статистических материалов примера 6 28. Решение.
По формуле (2) получаем л к~ х; т„' = г= =ч«ч х;р! =95 0,02+125 0,05+155.0,16+185.0,24+ л г=! -1-215 0,28-1-245 О,рз+275 0,06+305 0,01=201,20. Пв формуле (4) получаем ,~~ (к» т.*) »=! !«е [к[ В (к» вЂ” ш*)ар", =-Ъ! хар' — т т= »=! »=! =95» 0,02+125» 0,05+155».0,16+185».0,24+215» 0,28+245» 0,18+ +275» 0,06+305» 0,01 — 201,20»=1753,56. й 80. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова.
Теорема Лапласа Пусть х — случайная величина, например результат измерения, а — измеряемая величина, б — ошибка измерения. Тогда зти величины связаны соотношением б=х — а, х=а+б. (1) «) На самом деле статистическую дисперсию лучше вычислять по другой формуле, приведенвой иа с. 502. йЗ01 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 501 Многочисленные опыты и наблюдения показывают, что ошибки измерений после исключения систематической ошибки, т. е. такой ошибки, которая постоянна при всех измерениях (например, ошибка прибора), или такой, которая изменяется по известному закону от измерения к измерению, и после исключения грубых ошибок подчиняются нормальному закону распределения с центром распределения в начале координат.
Это подтверждается и теоретическими обоснованиями. Если случайная величина является суммой большого числа случайных величин, то при некоторых ограничениях эта сумма подчиняется нормальному закону распределения. Это утверждение формулируется в виде так называемой центральной предельной теоремы, принадлежащей А. М.
Ляпунову (1857 — 1918). ' Мы здесь сформулируем эту теорему в несколько упрощенном виде. Теорема 1. Если независимые случайные величины х„х„... ..., х„имеют один и тот же закон распределения с маомматинескин ожиданием а (не нарушая оби(мости, можно предполагать, что а=О) и дисперсией ол, то при неограниченном увеличении и ~~~ ~х; закон распределения суммы у„= '=' как угодно мало отлив )/л чается от нормального (у„нормирована так, что М [у„) = О, 11 [у„) = 1). Практическая значимость теоремы Ляпунова заключается в следующем. Рассматривается случайная величина, например, отклонение некоторой величины от заданной.
Это отклонение вызвано действием многих факторов, каждый из которых дает некоторую составлякяцую отклонения, например, в случае стрельбы отклонение точки попадания от точки прицеливания происходит из-за ошибки наводки, ошибки определения дальности, ошибки изготовления снаряда и т. д. Все составляющие нам даже не известны, также как могут оказаться неизвестными законы распределения составляющих случайных величин. Но из теоремы Ляпунова следует, что случайная величина †общ отклонение †подчиняет нормальному закону. Из теоремы Ляпунова следует, что если х„х„..., х,— результаты измерений некоторой величины (каждая из х,— случайная величина), то случайная величина †средн арифметическое х1+х + "+хх — при достаточно большом и подчиняется закону распределения, как угодно близкому к нормальному, если случайные величины х; подчиняются одному н тому же закону распределения.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ (ГЛ. ХХ Теорема остается справедливой и для суммы случайных величин с неодинаковыми законами распределения при некоторых дополнительных условиях, которые, как правило, для рассматриваемых на практике- случайных величин выполняются. Как показывает опыт, прн числе слагаемых порядка 10 уже можно считать их сумму нормально распределенной. Обозначим через а и Оз приближенные значения математического ожидания и дисперсии.
Тогда можем написать приближенно законы распределения случайных величин 6 и х: е» 7(Ь)= л ' (2) ы-а)' 7(х) = а (3) Параметр а на основании экспериментальных данных определяется по формуле (1) 9 29: ~~~~ хт а= (4» и Это следует из так называемой теоремы Чебышева (1821— 1894). Не останавливаясь на доказательстве, укажем, что параметр о естественнее определять не по формуле (3) 9 29, а по формуле ~~~, (х! — о)з з =! и — 1 Отметим, что правая часть в формуле (5) и правая часть в формуле (3) 9 29 отличаются-множителем — ", который в практических задачах близок к 1. П р и м е р 1. Написать выражение закона распределения случайной величины на основании результатов измерений, приведенных в примере 4 28, и результатов вычислений, приведенных в примере 4 29. Решение. На основании вычислений, приведенных в примере 4 29, получаем ч и 100 а=ах=201, о'= — В'= — 1754=1771, о У1771 ш 42.
и — 99 Подставляя в формулу (3), получаем М-ззтзз 7(х)= е ° 42~ 2п а зр] ОпРеделение пАРАметРОВ 3АкОнА РАспРеделення воз 3 а м е ч а н и е. Если получена статистическая функция распределения для некоторой случайной величины х, то вопрос о том, следует ли считать данную случайную величину подчиняющейся нормальному закону распределения или нет, иногда решают так. Пусть имеем значения случайной величины х,, х„..., х„. Определяем среднее арифметическое значение а по формуле (4). Определяем значения центрированной случайной величины у„ у„ ..., у„.
Абсолютные величины значений у! располагают в ряд в возрастающем порядке. Если и нечетное, то за срединное отклонение или срединную ошибку Еср принимают ту абсолютную величину ~ у,р~ в составленном ряде абсолютных величин, и†! которая занимает :+ 1-е место, а если и †четн, то за Еср принимают среднее арифметическое абсолютных величин, стоящих п и на местах с номерами — и — + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
