34_PiskunovT2 (523113), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Рассмотрим три матрицы: 1одд аы адз( Я = авд авв азз, ам озв озз (2) (4) Тогда, пользуясь правилом умножения матриц, систему (1) можно записать в матричной форме так: а,д авз азз . хв = Действительно, в последнем равенстве в левой части стоит произведение двух матриц, которое равно столбцевой матрице, Находим алгебраические Адд= 5, Авд= — 4 Азд= 2, дополнении А,= О, А„= 2, Азз= — 1. 5 4 5 5 2 О 5 1 О 5 хд хз, кз лд оа хз 5 1 5 3 5 РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ элементы которой определяются равенством (5). Справа стоит также столбцевая матрица. Две матрицы равны, если равны их элементы.
Приравнивая соответствующие элементы, получим систему уравнений (1). Матричное равенство (5) коротко записывают так: АХ=АУ. (6) П р и м е р. Записать в матричной форме систему уравнений ха+ 2х, =3, эха+ ха=9, ха+ 2ха = 8. А=031, Х=ха Э= 9 Даннан система линейных уравнений в матричной форме запишется таю 031 х =9 я Я. Решение системы линейных уравнений матричным методом Пусть определитель матрицы А отличен От нуля: Л(А)~0. Умножив левую и правую части равенства (6) $8 слева на матрицу А ', обратную матрице А, получим А 'АХ= А зР. 1 () Но А 'А=Е, ЕХ=Х, поэтому из (1) следует Х=А а,(У. (2) Последнее равенство с учетом равенства (5) Я 7 можно запи- сать так: Х=,—,', А~, Ь (А) "(3) или в развернутом виде ха = — Азв Ава Аза ов (4) Производя умножение матриц, стоящих справа, получим ! ха~ ' (ЛаАза+ЛаАаа+ЛвАзз|~ ха — ЛаАаа+даАав+ЛзАзв~.
1 «з Лалвв+Ла 4аз+ЛвАза Л(А) ~ (5) Реше н ие. Напишем матрицу А системы, матрицу решений Х и матрицу свободных членов йи млтиицы (гл ххд 524 Приравнивая члены матриц, стоящих слева и справа Ф~Аы + д(~Азд+ д(зАз, х;= Ь Ф адАш+авАзв+ ИзАм х,= Ь д(дд да+ д(вАвз+'д(вАзэ хз = Л , получаем (6) Решение (6) можно записать в форме определителей: лв "з адд д(д адз авд д(в авз азд аз аэз адв аде ~ ам авз~ аэв азз адд адв ад ам авв йв азд авв д(в . (л х,= адв аде ~ ам авв~ азв аэз аи азд азд аы аш адз авд авв аээ авд авв азз адд адв адз авз аэв а,д авв азд азз Пример 1.
Решить систему уравнений хд+2хв=5, зх,+ха=9, хв+2хз=8 матричным методом. Р е ш е н и е. Найдем определитель матрицы системы )120 Ь(А) = 0 3 1 ='5: 012 Определим обратную матрицу по формуле (3) 5 7: А-д = Матрица В такова: -Е Решение и матричной форме по формуле (2) запишется так: хэ 4 1 —— 5 2 0 5 1 0-— 5 2 5 1 5 3 5 4 1 5 2 0 5 1 0 —— 5 5 1 5 3 ! 5 — — 9+ — 8 4 2 5 5 0 5+ — 9 — 8 2 1 5 5 1 3 0 5 — — 9'+ — 8 5 5 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕКИЯ $ !е! Приравнивая строки матриц, стоюцик слева и справа, получаем 4 2 ха=! 5 — — 9+ — 8=1, 5 5 2 1 х =-О 5+ —.9 — — 8= 2, 5 5 1 3 ха=о 5 — —.9+ — 8=3.
5 Пример 2. Решить систему уравнений ха+ 2х, +ха = О, 2ха+ха + ха = 1, ха+ Зха -1-ха = 2 матричным 'методом. Р е ш е н и е. Находим определитель матрицы системы 11211 а(А) =~2 11~=1~9. 131 Находим обратную матрицу — 2 А-т = — 1 5 Пишем решение системы в матричной форме Приравннван строки матриц, стонших справа и слева, получаем ха=3, ха=2, ха= — 7. й 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы Пусть в трехмерном пространстве имеем две прямоугольные системы координат (х„х„х,) и (х,', х,', х,'), имеющие общее начало О.
Пусть точка М имеет координаты (х,; х,; х,) и (х,'; х,'; х,') в первой и второй системах координат (можно начала координат и не совмещать). Обозначим через ео е„еа единичные векторы на осях координат в первой системе координат, через е,', еа', еа' единичные векторы во второй системе координат. Векторы е„е„е, являются базисиыми векторами в системе (х„х„х,), векторы е,', еа", е; базисные в системе (х,', х,', х,'). Тогда вектор ОМ и первой системе координат запишется так: ОМ= х,е,+х,е,+х,еа; (1) во второй системе: ОМ = х,'е,'+ х,'е,'+ х,'е,'.
(2) Рассмотрим преобразование координат хо х„ х, произвольной точки М в координаты х,', х;, х', этой же точки. Можно сказать, ггл. ххс МАТРИЦЫ Здесь а„= сов (е„е,'), а„= сов (е„е,'), (4) а„= сов (е„е„'). а„= сов (е„е;), а„= сов (е„е,'), а„= сов (е„е,'), аы — — сов (е„е,'), а„= сов (е„е,'), а„= сов (е„е',), Девять направляющих косинусов запишем в виде матрицы (асг и,г аза~ Я=~асз азз аза . аса азз ааз Пользуясь соотношениями (4), можем также написать е, = амес+ а„еа+ асаеа', Еа = ССВЗС1+ амвз+ а ВЗЕаа сз = аз1С1 + амеа + а заев (6) Очевидно, что матрица 1ас; аса азаз Я* = ~ азс аза азз 1 азс ааа азз является транспоннрованной матрицей по отношению к матрице 8.
Так как е,', е,', е,' — единичные взаимно перпендикулярные век- торы, то их векторно-скалярное произведейие равно ~1. Следо- вательно, ~аи ссм ссзс~ (е,'е.,'еа) ~ аи аза ааа ~ = -ь1, ~ссзз азз азз (8) что будем рассматривать преобразование пространства (х,, х„ха) в пространство (х,', х,', х,'). Это преобразование обладает тем свойством, что отрезок длины! переходит в отрезок той же длины 1. Треугольник переходит в равный треугольник, следовательно, два вектора, выходящие из одной точки с углом ср между ними, переходят в два вектора той же длины с тем же углом ме1кду ними. Преобразование, обладающее указанным свойством, называется ОРтпгОНаАЬНЫАС.
Можно сказать, что при ортогональном преобразовании происходит перемещение всего пространства как твердого тела или перемещение и зеркальное отображение. Определим матрицу этого преобразования. Выразим единичные векторы е,', е;, е,' через единичные векторы е„е„е,: е,'= сс„е, +а„е, +а„е„ е,' =а„е, +а„е, +а„е„ е,'=а„е,+а„е,+а„е,. ОРТОГОНАЛЪНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ $ дь1 Аналогично ~ ссн адв адв (еде,е,)=Л(5)=~я. я а 2~=-1-1. ссзд явв язз! .(9) Вычислим произведение матриц 1адд Явд Язд( 1адд Яд, Ядз~ (1 О 01 ОО» = адв Язв азй Язд Явв авз = О 1 О = Е. (1О) ядз ссвз язз ам явз язз О О 1 Действительно, если обозначить через ссс элементы матрицы произведения, то получаем 2 й 2 1 с„= а„+ а„+ а„= 1, с„- = а„+ а,, + аз, = 1, й 2 2 с„=а'„+а„+а„=1, 2 2 1 сс, = а,,а„+ а„а„+а„а„= е',е, '= О.
(11) Аналогично сн — — есе1 — — О при с чь)' (1=1, 2, 3; 1=1, 2, 3). (12) Итак, 55'=Е. (13) транспонированная матрица о' совпадает Я-д. сь с-з Таким образом, с обратной матрицей (14) Умножая последовательно все члены равенства (15) на вектор Ед', на вектор е,', на вектор ез и учитывая, что есе1 = О при с -ь 1, е;в1=1 прн 1=1, Есв~ = ссс1,' с получим хд = анх, + амх, + амх„ х;=а„хд+а„х,+ав хз ХЗ вЂ” — а„Хд+ а„Хв+ аззХв. (1) Матрица, удовлетворяющая условиям (13) или (14), т. е. обратная своей транспонированной, называется ортогональной.
Найдем далее формулы преобразования координат (х„х„х,) в координаты (х,', х,', х,') и обратно. В силу формул (3) и (5) правые части равенств (1) и (2) можно выразить как через базис (е„е„ев), так и через базис (ед', и,', е,'). Следовательно, можно написать равенство х,е, + х,е, + хвев = хде,'+ х,'е,'+ х,'е,'. (15) ~гл, хм МАТРИЦЫ Х'= хй', Х= хд . (19) то системы (17) и (18) можно записать так Х'=5Х, Х=5 'Х'. (20) (21) матрицам (19): (22) Если введем матрицы, транспонированные к Х" = ~ х,' х,' х,'), Х' = ~ х, х, х, ~, то можем написать Х"=Х*5 ', Х'=Х'*5.
(23) $11. Собственный вектор линейного преобразования Определение 1. Пусть дан вектор Х~ где х'+х'+хз чь О. Если после преобразования вектора Х с помощью матрицы (см. (2) 9 5) получается вектор У: У= АХ, (2) параллельный вектору Х; Х= ХХ, (3) Умножая члены равенства (15) последовательно на е„е„г„ получим х, = а„х,'+ а„х,'+ а„х,", х, = а„х,'+а„х,'+а,,х,', (18) х, = а„х,'+ а„х,'+ а„х,'. Итак, матрицей ортогональныя преобразований (17) является матрица 5, а матрицей обратного преобразования (18) — матрица 5'. Таким образом, доказано, что в декартовой системе координат ортогональному преобразованию соответствует ортогональная матриии.
Можно доказать, что если матрицы прямого и обратного преобразования (17) и (18) удовлетворяют соотношению (13) или (14), т. е. являются ортогональными, то и преобразование будет ортогональным. Если введем столбцевые матрицы совстввнныя ВектОР где Л вЂ” число, то вектор Х называется собственным вектором матрицы А или собственным вектором данного линейного преобразования; число Л называется собственным значением. Найдем собственный вектор Х= хв для данного линейного преобразования или для данной матрицы А.
Чтобы вектор Х был собственным вектором матрицы А, необходимо, чтобы выполнялись равенства (2) и (3). Приравнивая правые части этих равенств, получаем: АХ= ЛХ (4) или АХ= ЛЕХ, т. е. (А — ЛЕ) Х= О. (5) Из этого равенства следует, что вектор Х определяется с точностью до постоянного множителя. В развернутом виде равенство (4) записывается, очевндно, так: а„х,+а„х,+а„х, =Лх„ а„х, + а„х, + а„х, = Лх„ (б) аввХ1 + ав„Хв + иввХв — — ЛХв, а равенство (5) запишется так: (а„— Л)х,+ а„х,+ а„х,=О, а,вх,+(аы — Л)х,+ а„х,=О, (7) а„х, + а„х, + (а„— Л) х, = О. Получили систему однородных линейных уравнений для определения координат х„х„х, вектора Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
