34_PiskunovT2 (523113), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Если ранг матриц А и В равен 1, то система имеет бесчисленное множество решений, ггри этом два неизвестных имеют произвольные значения, а трегпье выражается через них. Справедливость этой теоремы легко устанавливается на основании анализа решений системы уравнений, известного из алгебры. Эта теорема справедлива для системы любого числа уравнений. МАТРИЦЫ (ГЛ. Мхс Пусть члены матрицы имеют производные васс (С) с(а „(С) вс О пр еде лени е 1. Производной осп матрица А (с) называется матрица, обозначим ее через †„ , члены которой являются ссА (с) производными от членов матрицы А ((), т.
е. д си е(асс васа ат и "' и еСаеа и и ''' сс с(А (с) 1С = (3) с(с'еес Ваеее Вест» сс и "' и Заметим, что такое определение производной от матрицы получается естественным путем, если наряду с введенными операциями вычитания матриц и умножения на число (см. $ 4) присоединить операцию предельного перехода: 1пп — Яас~(Е+сзс)$ — $аы(г)1) = Ас о ас асс(с+ьс) — аП(с) 1 1 . ас1(с+ас) — асс(с) ~ АС. О АС- О ас члены которой равны интегралам от членов данной матрицы: ~ асс(г) с(г ... ~ а, (г) с(г Се се с с ~ цм (г) 1(г ... ) ас„ (г) дг ) А (г) с(г= $ а, (г) с(г ...
~ а„, (г) йг Символически коротко равенство (3) можно записать так: (4) Определение 2. Интегралом от матрицы А(() называется матрица, обозначим ее через с $ А (г) с(г, Э ы1 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМЫ более кратко: (6) Рассмотрим систему п линейных дифференциальных уравнений в и искомыми функциями хд(д), х,(1), ..., х,(1): ахд — = а„хд+а„х, +... +а,„х„, сд«д — =а„х,+а„х,+... +а,„х„, аха — с=а„дхд+а„,х,+... +а„„х„. Коэффициенты асс.— постоянные. Введем обозначение: хд (с) хд (с) «а (й (2) Это матрица решений илн векторное решение системы (1). Далее, определим матрицу производных от решений: Ых~ ~И ~~х~ ас Выпишем матрицу коэффициентов системы дифференциальных уравнений а,д адд ...
ад« адд адд " ад, А ='1ас, ~(= (4) а„д а„, ... ааа Пользуясь правилом умножения матриц (см. Э 4), систему дифференциальных уравнений (1) можно в матричной форме записать $17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами З4О МАТРИЦЫ 1ГЛ. ХХ1 так: ахв Е1 Ехв Е1 ам а„... ава х, а,в аВВ °" аВв аха а1 а„, а„, ... ава или коротко на основании правила дифференцирования матриц — „, =АХ.
ех (б) Пусть ав а, (7) где а; — некоторые числа. Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будем искать в форме (см. формулы (2) 9 30 гл. Х111) Х= е"'и. (8) Подставляя (8) в (6) и пользуясь правилом умножения матрицы на число и правилом дифференцирования матриц, получаем лев'и = Аев'и, (9) откуда ли= Аи, (10) или Аи — ли= О аи — х аи ° .. ав„ ам а„— а ... а,„ ав1 аав ° ° ° авх — а (12) аа Равенство (11) показывает, что вектор и с помощью матрицы А преобразуется в параллельный ему вектор ли. Следовательно, вектор и является собственным вектором матрицы А, соответст- вующий собственному значению й (см. 9 11). Напомним, что в последнем равенстве А — матрица (4), й — число, и — столбцевая матрица (7).
Матрицу, стоящую в левой части равенства (10), можно записать так: (А — йЕ) се= О, (11) где Š†единичн матрица и-го порядка. В развернутом виде равенство (11) перепишется так: МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМЫ 541 В скалярной форме равенство (10) записывается как алгебраических уравнений (см. систему (3) 2 30 гл. ХП!). должно определяться из уравнения (3) 2 30 гл.
ХШ, в матричной форме можно записать так: Л(А — лЕ) =О, система Число й которое (13) т. е. определитель ам — й а)1 " а)и П1 а й ° Оел =0 (14) Пла .. Плл олт Пусть все корни уравнения (14) различны: й„йм ..., йл. Для каждого значения 21 из системы (11) определяется значений и матрица (и а) (о а) , (о ал (одно из этих значений произвольное). Решение системы (1) в матричной форме, следовательно, запишется так: а(1) а) Лп а) а< ... а, с,,А' сееа*( Х) (13) а<а) <л) ал ал ... ал С Еал( Решение.
Напишем матрицу системы А=/~ В матричной форме система уравнений запишется так (см. уравнение (5)): ЛХ( =П'1*1::!! (<1 оставим характеристическое 'уравнение (14) и найдем его корни: ~=0, т. е. й' — 5й+4=0, ! 2 — й 2 где Се †произвольн постоянные. В скалярной форме решения даются формулами (6) 2 30 гл. ХП1.
Пример 1. Записать в матричной форме систему и решение системы линейных дифференциальных уравнений ((Х1 <(Хе — =2х<+2хв, — =х)+Зх . (<1 <11 $!81 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ л-ГО ПОРЯДКА 543 Определяем ад, аз, аз, соответствующие парню Аз=э, из системы <з> <з> <з> — 2ад =О, а, — аа =О, с<, +ад =О, <з> <з> <з> <з> <з> изходим а,=о, аз =О аз=! <з> <з> <з> Напишем в матричной форме решение системы (см. формулу (15)) хз = — ! ! О ° Сзез< или в обычной форме к! = Сде<, хз = — С,ем+ Сеем.
хз = — Сде'+ С,е'<, й 18. Матричная запись линейного уравнения л-го порядка Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение и-го порядка с постоянными коэффициентами ~Г~х ал-дх ал-зк а „вЂ” — а„л, + а„, а „, +... + а,х. (!) Заметим, что нз дальнейшего изложения будет следовать, что такая нумерация коэффициентов удобна. Обозначим х = х! и, далее, хл> <(хд <(хз <(хл е! — з ! — з> < Кл — =а,х,+а,х,+... +а„х„. (2) Напишем матрицу коэффициентов этой системы О 1 О О ... О О О 1 О ... О (3) О О О О ... 1 ад аз аз аз ...
а„ Тогда систему (2), аналогично формуле (5) Э '!<, можно запи- сать так: Кд Кл-1 кл или коротко — = АХ. дХ а! <(к! акз <!кл„! <!! <!хл а! О 1 О ... О О О 1 ... О О О О ... 1 ад аз аз ... а„ 1гл. хх~ матрицы Дальнейшее решение проводится так же, как это было в $ 17, так как матричное уравнение (5) является частным случаем уравнения (6) $ 17.
Пример. Записать в матричной форме уравнение в ах вх — =Р— +ч«. ш' Решен не. Обозначим «=хт. Далее ахт а«, хз рхе+охп и ' и В матричной форме система уравнений запншетсв так: Нхз й 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Пусть требуется найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в..1 — — а„(1) х, + ам Я ха +... + а,„(1) х„, — „"* =а„Ях;+аез(1)хв+...
+аз„(1)х„, ф=а„т Ях,+а„, (1) х,+... +а„„(8) х„, удовлетворяюшие начальным условиям х,=х;„х,=хин ..., х„=хне при (2) Если ввести в рассмотрение, наряду с матрицей коэффициентов системы и матрицей решений, матрицу начальных значений хм хаю (3) «ае то систему уравнений (1) с начальными условиями (2) запишем так: — = А (1)Х (4) нри начальных условиях Х=Х, прн 1=1е. (5) Здесь А(1) — снова матрица коэффициентов системы. $193 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ Будем решать задачу методом последовательных приближений.
Для лучшего понимания дальнейшего материала применим метод последовательных приближений сначала для одного линейного уравнения первого порядка (см. гл. ХН1, З 26). Требуется найти решение одного уравнения — =а(г)х лх (6) при начальном условии х=х, при (л Будем предполагать, что а(Г) †непрерывн функция. Как указывалось в 5 26 гл. ХН1, решение дифференциального уравнения (6) при начальном условии (7) сводится к решению интегрального уравнения с х=х,+ ~а(г)х(г)1(г. Будем решать зто уравнение методом последовательных приближений: х,=х,+) а(г)х,1(г, 1, с х,=х,+ ~ а(г) х,(г) г(г, (9) х„=х,+ ~ а(г)х,(г) 1(г, Вводят для сокращения письма оператор Я вЂ” оператор интегрирования (10) Используя оператор 3, равенства (9) записывают так: х1 = ха+ ~ (ахи) х,=х,+5(ахг) =х,+Я(а(х,+8(ах,))), х, = х,+3 (а(х,+5 (а (х, +3 (ах,))))), х„=х,+Я(а(х,+3(а(х,+Я(а(х,+Я(а...))))))), МАТРИЦЫ (гл.
хх! ЯаЯа...Яа=а" ' (! — !о) ро! а! Раз В этом случае (12) принимает вид х= ~1+а ! +оз г! +... +а" ' +...~х„ —, (! — (о)' „(! — (о)" зо! или х=х го К" оо!. (ьз) Рассмотренный метод решения одного уравнения (6) целиком переносится на решение системы (1) при начальных условиях (2). В матричной форме система (1) с начальными условиями (2) запишется так: — !=А(1)Х ах (14) при начальном условии Х=Х, при 1=(о. (15) Используя правило умножения матриц и интегрирования матриц, решение системы (14) при условии (15) сводится к решению матричного интегрального уравнения Х(1)=Х,+$ А(г)Х(г)Нг. (16) Раскрывая скобки, получаем: х =хо+Яахо+ЯаЯахз+ЯаЯаЯахз+...
+ЯаЯаЯа...Яахз. з! Раз Вынося х, за скобки (х,— постоянная), получаем * = [! .!- 3 .!- 5 з .о ....!- 3 3 .. 5 ! *,. !1!! Выше (в $ 26 гл. Х'Ч1) было доказано, что если а(!) — непрерывная функция, то последовательность (х„) сходится. Предел этой последовательности есть сходящийся ряд: х=[1+Яа+ЯаЯа+...)х,. (12) Замечание. Если а(1)=сопз1, то формула (12) принимает простой вид. Действительно, на основании (10) можем написать Яа=аЯ1г а(г — (з), Яа Яа = ааЯ (à — (о) = аа (! (о) 2 $ 191 мнтод послндовлтальных пиивлижннии Находим последовательные приближения с Х.(С)=Х,+1А(г)Х„„(г)(. (17) са Путем последовательной подстановки последовательных приближений под интеграл решение системы в матричной форме выразится так: Х(С) =Ха+ с / 11 / сз -~-(АС а(а,-~-(А(,~(х, ~.1 А( 9~...) ...ш)е)с „ с, с, с, или с Х (С) = Ха+ ~ А (гс) Х,с(г, + ~ А (г,) ) А (га) Хс(гас(ге+...
(18) са са са Используя оператор интегрирования 5, равенства (18) можно написать так: Х(С) = [Е+ЯА+ЯАЗА+...1Ха. (19) Оператор, стоящий в квадратных скобках, обозначают одной буквой. Обозначим его через о.л(с с>. Равенство (19) коротко записывают так: Х(С) =г(л, Х,. (20) Интересно отметить следующее обстоятельство. Если коэффи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
