34_PiskunovT2 (523113), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Говорят, что уравнения (1) определяют линейные преобразования координат, отображающие плоскость х,Ох, на плоскость у,Оу, (не обязательно на ае бГ ае ое всю плоскость). Так как 63~ уравнения (1) линейные, то отображение называется Е линейным отображением. Если в плоскости х,Ох, ае Р те мы рассмотрим некоторую Рис. 450. область е(, то с помощью равенств (1) определяется некоторая совокупность точек й плоскости у,Оу, (рис. 450).
3 а м е ч а н не. Отметим, что рассматривают и нелинейные отображения у,=<р(хг, х,), у,=ф(хт, х,). Мы ограничимся здесь рассмотрением только линейных отображений. Отображение (1) полностью определяется совокупностью коэффициентов асо аяп агп аме Прямоугольная таблица, составленная из этих коэффициентов, записанная так: ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА 509 называется матриг(ей отображения ()). Символы ~ ~ или ( ) суть символы матрицы. Матрицы обозначают и одной буквой, например А или )а,Д, А ~~гг тз~ (2) Определитель, составленный из элементов матрицы без их перестановки (обозначим его гд(А)), ~ам атз~ (3) авг авз называется определителем матрш(аь П р имер 1.
Отображение ух=ххаааа — х,з)па, уэ=хт зги сь+кэ сова есть жморот на угол а. При этом отображении каждая точка М с полярными координатамн (р; а) переходит в точку м с полярными координатами (р; 5+а), еслк системы координат квока и угОуэ совмещены (рис. 451). у) Рис.
451. Рис. 452. Матрица этого отображения 1 сова зги ж '1 з1п а сова'1' Пример 2. Отображение ух=ухо уз=хе есть растяжение вдоль оси Ока с коэффициентом расгяженвя А (рис. 452). Матрица этого отображения "=!!~ ~!! Пример 3. Отображение ух = ахх уз = хкз есть растяжение в А раз как в направлении осп Охх, так в направлении оси Ок, (рис. 453).
Матрица этого отображения А =)! П р и и е р 4. Преобразование У1= — хн Уз=х, называется зеркальным отражением от оси Окз (рис. 454). Рис. 453, 510 МАТРИЦЫ ггл. ххз Матрица рассматриваемого преобразования имеет следувщн» вида Пример 5. Преобразование уз=ха+ахз, у,=хз называется сдвигом вдоль оси Охт (рис. 455). Рнс.
454. Рис, 455, Матрица этого преобразования =(о Можно рассматривать линейное преобразование с любым числом переменных. Так, преобразование у,=а„х,+а„х,+а„хз, у,=а„х,+а„х,+а х„ у, = а„х, + а„х, + а„х, (4) есть отображение трехмерного пространства (хгь х„х,) в трех-' мерное пространство (угь у„у,).
Матрицей этого преобразования будет ам ам ага( А= а~ оз* озь~. ~ азт азз оэз (б) Можно рассматривать линейные преобразования с неквадрат- ной матрицей, т. е. такой матрицей, где число строк не равняется числу столбцов. Так, преобразование у» = амхг+ агехз, Уз = амХт+ амхз, уа = амхг+ аазхз ЭТ1' ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. СВЯЗАННЫЕ С ПОНЯТИЕМ МАТРИЦЪ| бм является отображением плоскости х,Ох, в некоторую совокупность точек в пространстве (У|, Уп Уп) Матрицей этого преобразования будет А= омам.
ап| апп (л ф 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы Определение 1. Прямоугольная таблица из тп чисел, содержащая т строк и п столбцов, а|| а|, ... а|п А= называется митрицей. Коротко матрицу обозначают так: А=~а|~~ (|=1, 2, ..., т; 1=1, 2, ..., П), (2) где аы — члены матрицы.
Если в матрице число строк равняется числу столбцов т=п, то матрица называется квадратной: а|п ... а|п ап| ам " ап ап| алп алп Определение 2. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы (без перестановок), называется определителем матрииы, будем его обозначать О (А): ан а|п ° . ° а|п а.| а|а ° " алп Ь (А) лп (4) Заметим, что неквадратная матрица определителя не имеет. Рассматривают матрицы с любым числом строк и любым числом столбцов. Матрицы используются не только при линейных преобразованиях, но и в других разделах.
Поэтому матрица является самостоятельным математическим понятием, аналогичным понятию определителя. Ниже сформулируем несколько определений, связанных с понятием матрицы. мвт нины 1гл, хх1 512 Определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием 1-й строки и )хго столбца, умноженный на ( — 1)1+1, называется алгебраическим дополнением элемента а11 и обозначается А1р Определение 3.
Матрица А'называется транспонирвванной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы А'. Пример. Пусть 1а,1 атв1 А=~нет аее~. ам аса Транспонированноа матрицей Ае будет А 1а11 а 1 ав11 1ате аее аее'1 Определение 4. Квадратная матрица А называется симметричной относительно главной диагонали, если а11 — — а,;. Очевидно, что симметричная матрица совпадает со своей транспонированной., Определение 5. Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Если элементы диагональной матрицы, стоящие' на главной диагонали, равны единице, то матрица называется единичной.
Будем ее обозначать буквой Е: е=~ (5) (6) Первая матрица называется столбовой, вторая строчной. Определение 7. Две матрицы А и В считаются равными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов и соответствующие их злементы равны, т. е. А=В, (7) или ~ам~= ~Ь11~ (1=1, 2, ..., т; 1=1, 2, ..., и), (8) если аеу = Ь1| (9) Бывает удобно иногда отождестнлять столбцевую матрицу с вектором в пространстве соответствующего числа измерений, Определение 5. Рассматривают матрицы, состоящие из одного столбца или из одной строки: ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОБАННЕ 513 где элементы матрицы являются проекциями вектора на соответ- ствующие оси, координат. Так, можем написать хд ~ х.
=.х,!+х,.1+~,Ф. хв (10) Иногда и строчную матрицу удобно отождествлять с вектором. й 3. Обратное преобразование то, как известно, система уравнений (1) имеет единственное ре- шение относительно х, и х,: 1 Уд ув а„ аи Уд' авд ув адд аы авд авв адд аы авд авв или в развернутом виде а„— адв — авг аы х,= — у,+ — у„х,= — у,+ — у,. (3) Каждой точке М(у,; у,) плоскости у,Оу, соответствует определенная точка М(х„х,) плоскости х,Ох,.
В этом случае отображение (1) называется взаимно однозйачным (невырожденным). Преобразование (3) координат (у,; у,) в координаты (х,; х,) называется обратным. В этом случае обратное отображение является линейным. Заметим,.что линейное невырожденное отображение называется аффинным. Матрицей обратного преобразования является матрица (обозначим ее через А '): А '=~ (4) Если определитель матрицы А равен нулю: а„а„— а„а„= О," Из уравнений (1) й 1 у, = а„х, + а„х„у, = а„х, + аыхв (1) следует, что отображение плоскости х,Ох, на плоскость у,Оу, является однозначным, так как каждой точке плоскости хдОх, 'соответствует единственная точка плоскости у,Оу,.
Если определитель матрицы преобразования отличен от нуля: Ь(А) = ~ " а" 1ЧЬ 0 ИЛИ а„а„— авдадв ЧЬ О, 1авд авв ~ (гл. хх1 МАТРИЦЫ то матрица А и преобразование (1) называются вырозсденмыми. Это преобразование не будет взаимно однозначным. Докажем это. Рассмотрим два возможных случая: 1) Если атт=а1зэ азз=пз4=0, то при лкзбых х, и х, будут у,=О, уз=О. В этом случае любая точка (х,; х,) плоскостй х,Ох, переходит в начало координат плоскости у,Оу,. 2) Пусть хотя бы один из коэффициентов преобразования ОТЛИЧЕН От НУЛЯ, НаПРИМЕР аттэе О. Умножая первое из уравнений (1) на азт, второе на ам и производя вычитание, получим с учетом равенства (6) аы ~ уз = а11х1+а1зхе, а1т ! у,=аадхт+ааааа „у,— „у, =о.
(6) язлается взаимно однозначным, так как определитель Ь(А) матрицы преобра- зования А отличен от нуля: Ь(А)=~ ~ = — 3. Обратное преобразование будет 1 1 1 2 х,= — у,+-,у., хз= — ут — уа. 3- 3 ' 3 3 соответствии с формулой (4) будет Матрица обратного преобразования, в 1 А-з = 3 1 3 1 3 2 3 Пример 2; Линейное преобразование ут=х,+2хм уз=2хд+4ха является вырожденным, так как определитель матрицы преобразования Ь(А) =~ 2 ~ = О. это преобразование переводит все точки плоскости (хп х,) в прямую у,— 2ут = В плоскости (уы уа) Итак, при любых х„х, для значений у, и у, получаем равенство (6), т. е. соответствующая точка плоскостй х,Ох, попадает на прямую (6) плоскости у,Оу,.
Очевидно, что это отображение ие является взаимно однозначным, так как каждой точке прямой (6) йлоскости у,Оу, соответствует совокупность точек плоскости х,Ох„лежащих на прямой у,=аых,+а1тхз. В обоих случаях отображение не является взаимно однозначным. Пример 1. Преобразование ут=2хт+ха. у,=хт — х 4.41 ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ. СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ 515 $4в Действия над матрицами. Сложение матриц, Определение 1. Сумздад1 двух матриц ~ад~~ и !!Ь;;!!с одинаковым количеством строк и одинаковым количеством столбцов называется матрица 1сО ~, у которой элементом сы является сумма аы+Ьд| соответствУющих элементов матРиц ~адт~ и ~Ь!|~, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
