34_PiskunovT2 (523113), страница 78
Текст из файла (страница 78)
- (3) (2) Подставляя а и о„, выраженные через Е„и Е„, в формулу (1), получим м (1 -Р*/ — + — 1 7(х, у)= р е ДЕхЕу (4) ') Если центр рассеивания находится в точке (а; З), то закон расцределеяяя дается формулой (х-еи (у-Ы' 1 2ое 2еа /(х, у)= — е 2иоаоя алименты твойии ввдпятностви тгл. хх 492 Рассмотрим линии уровня поверхности (4) х' ук — к + — д = йа = сопз1 (5) Ек — Ед (при этом будет )(х, у)=сопз1).
Линиями уровнй являются эллипсы с полуосями, равными пЕ, и йЕд. Центры эллипсов совпадают с центром рассеивания. Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания. Их оси называются осями рассеивания. Единичным эллипсом рассеивания называется эллипс, у которого полуоси равны вероятным отклонениям Е„и Е . Уравнение единичного эллипса получится, если в уравнении (5) положить я=1: ха ук — + — =1. (6) Ек Ед Полным эллипсом рассеивания называется эллипс, полуоси которого равны 4Ек и 4Ед.
Уравнение этого эллипса ха у' (4Екр + 14Еур = 1 (у) В следующем параграфе мы установим, что вероятность попадания двумерной случайной величины в полный эллипс рассеивания равна 0,97, т. е. практически попадание достоверно. 2 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания; при нормальном законе распределения Пусть ка да йЕкЕд По формуле (5) 9 23 (см. рис.
443) вероятность попадания случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми х =. = а, х=(1, у=у, у=б, выражается так: 4 д а ка да а да 1 .а Р(а<к<5, у<у<6)=~~„» е т д/дхт(у. (1) Представляя подынтегральную функцию в виде произведения двух функций, можем написать В »а к В да д Р(а<х<(),у<у<6)=)» е в Ф'')» е ~дду, (2) = У--'„Е. и на основании формулы (6) 9 19 окончательно получаем '" "<~ у '=~ГФ( — ')- У)П~(-')-ФУ-Н (3) $221 ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНИК 493 Если в последней формуле положить а= — 1о (3=112 у= б = 1„ т.
е. рассматривать прямоугольник с центром в начале координат, то на основании формулы (7) 9 19 формула (3) примет вид .Р ( — 1; < х < 1„— 1, < д < 1,) = Ф (Е ) Ф ( — ') . (4) 3 а и е ч а н и е, Задачу о вероятности попадания случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, можно было бы решать и так. Попадание в прямо. угольник есть сложное событие, состоящее в совпадении двух независимых событий — попадания в полосу — 11<х< 1, и попадания в волосу — 1, < у < 12. (Двгя краткости рассматриваем прямоугольник с центром в йачале координат.) Пусть плотность распределения случайной величины х есть к* рк 71 (х) = = е Ек Р' Е„ Плотность распределения случайной величины д есть рк рЭ 72(у)= Р е у пЕ„ Вычисляем вероятности попадания случайной величины в по- лосу — 1, < х < 1, и в полосу — 1, < д < 1,.
По формуле (7) 9 19 получаем Вероятность сложного события †попадан в прямоугольник — будет равна произведению вероятностей: Рис. 447. Р (а < х < р, у < у < 6) = Р( 11<х<11)Р( 12<у<12) Ф( )Ф( ) Получили формулу (4). П р и м е р. Проиаводитсн стрельба по площади прямоугольника со сторойами 200м и 100 м, ограниченного линиями х= — !00, к=100, у= — 50, у=50. Главные срединные отклонения соответственно равны Е„=Вд=50 м, Е„= Вб= =10м. Найти вероятность попадания в прямоугольнйк при одном выстреле (рис.
447). ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (гл. хх Решен ие. В нашем случае 1з=!00, 1,=50, Е,=50, Еа=10. Подставляем зги значения в формулу (4) й, пользуясь таблицей значения функции Ф(х) (см. табл. 1 в конце книги), находим Р = Ф 1 — 1 Ф 1 — ~1 = Ф (2) Ф (5) = 0,8227 0,9993 = 0,8221. 'т 50 / 'ч!0/ $ 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания В теории ошибок бывает нужно рассматривать следующую задачу. Вычислить вероятность того, что случайная величина, например ошибка на плоскости, попадет в эллипс рассеивания (1) если плотность распределения дается формулой (4) 9 24. По формуле (4) 9 23 получаем: и ий Р('(х, У)<=Р1=Дие . е (-е ~а) дхг(У, — (2) Ра где область Р, ограничена эллипсом ()). Сделаем замену переменных, полагая х= — Е„и, у =Е„О, при этом преобразовании эллипс Р, перейдет в круг и'+ о'= еа.
(3) Так как якобиан преобразования равен 1 =Е„Е„, то равенство (2) примет вид1' ' РГ(Х, у)<:Р1= 1 ДрзЕ, ачч'+"'11(и1(О. (4) В последнем интеграле перейдем к полярным координатам и г Г СОЗ ф, Π— и В)П ф. Тогда правая часть равенства (4) принимает вид Р((х, у)~Р1= — ~ ') рае-Р" гг(гйф. -а а Производя вычисления в правой части, получим выражение вероятности попадания в эллипс рассеивания: Р[(х, у)~Р,1=1 — е-а™. (5) ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 4% 2 М2 Рассмотрим частные случаи.
Вероятность попадания в единичный эллипс рассеивания получится, если положить в формуле (5) й=-1: Р 1(х, у) ~:Ю,1 ~„2 =- 1 — е м = 0,203. (6) Вероятность попадания в полный эллипс рассеивания (7) 4 24 получится, если в формуле (5) положить й=4: Р[(х, у)~Щ~» 4=1 — в-"м=0,974. (7) Рассмотрим частный случай, когда в формуле (4) $ 24 Е,=, = Е„=Е. Элзипс рассеивания (5) Э 24 превращается в круг х2+ у' = я2Е2 (8) с радиусом Е = йЕ: Вероятность попадания двумерной случайной величины в круг радиуса Е в соответствии с формулой (5) будет я1 е Р 1(х, у) ~ Рн| = 1 — е (9) Определение 1. Радиальным вероятным отклонением называется такое число Ен; что вероятность попадания двумерной случайной величины в круг радиуса Я=Ел равняется !/2, Из определения следует, что величина.
1т =Ел определяется из соотношения ен рй е $ 1 — в. 2 ' Г1о таблице значений показательной функции находим Ен = 1,75Е. $27. Задачи математической статистики. Статистический материал В результате наблюдений и регистрации массовых случайных явлений получаются статистические данные или статистический материал. В' частности, статистическим материалом являются ошибки различных измерений. Если наблюдаемая величина есть случайная величина, то она изучается методами теории вероятностей.
Для понимания характера этой случайной величины нужно знать ее закон распределения. Определение законов распределения рассматриваемых величин и оценка значений параметров распределения на основании наблюденных значений †зада математической статистики. Еще одной задачей математической статистики является создание методов обработки и анализа статистического материала с целью получения определенных выводов, нужных для организации оптимального процесса, где участвуют рассматриваемые величины.
злвмвнты твоиии ввроятноствн (гл, хл 496 Приведем примеры различных наблюдений явлений, в результате которых получается статистический материал. . П р имер 1. При многократном измерении некоторого объекта с помощью измерительного инструмента, в частности при определении'дальности до некоторого' объекта, получаются различные значения наблюдаемой величины. Эти значения будем называть наблюденнмли значениями (так мы будем называть всякое значение, полученное при изучении любого. явления). Полученные таким образом значения требуют систематизации и обработки, прежде чем на их основании можно былобысделать какие-либо выводы. Как уже указывалось, разность б между наблюденным значением х и истинным значением наблюдаемой величиныа(х — а=б) называется ошибкой измерения.
Сказанное выше можно выразить в терминах ошибок. Ошибки измерения требуют математической обработки с целью получения определенных выводов. Пример 2: При массовом производстве приходится рассматривать величину отклонения некоторого размера полученного изделия (например, длины) от заданного размера для полученных изделий (ошибка изготонления). П р им е р 3. Разность между координатой точки попадания при стрельбе и координатой точки прицеливания есть ошибка стрельбы (рассеивание). Эти ошибки требуют математического исследования.
П р им е р 4. Результаты измерений величины отклонения размера детали после эксплуатации от ее размеров до эксплуатации (проектных) требуютматематического анализа. Эти отклонения также можно рассматривать как «ошибки. Из приведенных примеров следует, что рассматриваемые Величины суть случайные величины, а каждое наблюденное 'знйчение следует рассматривать как частное значение случайной величины. Так, например, ошибка по дальности (рассеивание) при стрел)- бе определяется ошибкой при отвешиванин заряда, ошибкой в массе при изготовлении снаряда, ошибкой наводки, ошибкой при определении дальности, изменением метеорологических условий и т.
д. Все зто случайные величины, н рассеивание как результат их совместного влияния является случайной величиной. ф 28. Статистический ряд. Гистограмма Статистический материал, получающийся в результате наблюдений (измерений), помещается в таблице, состоящей из двух строк. В первой строке отмечается номер измерения 1, во второй в полученное значение х; измеряемой величины х стлтистическип гяд.
гистогглммл згг1 Такая таблица называется простым статиспшчгским рядом. При большом числе измерений статистический материал, помещенный в такую таблицу, трудно обозрим и, следовательно, анализ его затруднен. Поэтому на основании полученного простого статистического ряда составляется группировка. Это делается следующим образом. Весь интервал полученных. значений величины х разобьем на частичные равные интервалы (а„а,), (а,, а,), ..., (ал „ал) и подсчитаем число значений тл величины х, попадающих в интервал (ал „ал).
Значения, попадающие на конец интервала, относят или к левому, или к правому интервалам (иногда их относят и к левому и к правому интервалам по половине их числа). Число ()) есть относительная частота, соответствующая интервалу (а, ;, ал). Очевидно, что Хр."=). (2) л=! На основании результатов такой обработки строим таблицу, состоящую из трех строк. В первой строке указываем интервалы в порядке возрастания а, во второй строке соответствующие им числа тл, в третьей строке †часто рл — — — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
