34_PiskunovT2 (523113), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то случайная величина не может быть распределена симметрично. $11. Функции от случайных величин Пусть случайная величина 'х задана законом распределения в виде таблицы Рассмотрим функцию от случайной величины х: р =-1(х) Значения функции уА=1(х„) будут значениями случайной величины у. Если все значения уг — — 1(хА) различны, то закон распределения случайной величины у задается таблицей Если среди значений у„=1(хА) есть равные, то соответствующие столбцы следует объединить в один, сложив соответствующие вероятности.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1гл. хх Математическое ожидание функции у=1(х) случайной величины х будет определяться по формуле, аналогичной формуле (1) 210: э М[1(х)]= Х 1(ха) р„. (1) Аналогичным образом определяется и дисперсия'функции: э 0 [~(х)]= м[(~(х) —:М [~(х)])з]= ~ (~ (х ) — пту ео)*р„. Пример. Случайная величина ~р задана следующим законом распределения: Рассматривается функция этой случайной величины у = А з1п <р.
Составим таблицу распределения для случайной величины у: Найдем 'математическое ожидание функции: М (Авзп е)= — А О,1 — ° 0,1+ 0 0,2+ 0,3+А.О,З= А)/2 А)г 2 2 ' ' 2 А (0,2+ — ° 0,2) =А (0,2-1-0,14) =0,34А. )г 2 2 Задачи подобного типа могут возникнуть при рассмотрении колебательныв процессов. й 12. Непрерывная случайная величина.
Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал Для понимания данного вопроса рассмотрим пример. , Пример. Измеряется величина износа цилиндра после некоторого периода эксплуатация. Эта величина определяется значением увеличения диаметра цилиндра. Обозначим ее х. Из существа задачи следует, что,величина л может принимать любое значение из некоторого интервала (а, Ь) возможныв ее значений. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАННАЯ ВЕЛИЧИНА Такую величину называют непрерывной случайной величиной. Итак, рассмотрим непрерывную случайную величину х, заданную на некотором интервале (а, Ь), который может быть и бесконечным интервалом ( — оо, +оо).
Разделим этот интервал произвольными точками х„х„х„..., х„на малые интервалы длины йх!„, = х; — х;,. Рис. -4! 6. Допустим, что нам известна вероятность того, чзо случайная величина х попала в интервал (х; „х;). Эту вероятйость мы обозначим так: Р(х,, < х <х;) н изобразим в виде площади прямоугольника с основанием Лх; , (рис. 416). Для каждого' интервала (х; „ х,) определяется вероятность попадания случайной величины х в этот интервал и, следовательно, может быть построен соответствующий прямоугольник.
Таким образом, получаем ступенчатую ломаную. Определение 1. Если существует такая функция у=1(х), что йш Р (» «» (»+А») то эта функция 1(х) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины х или законом распределения. (Также говорят «плотность распределения» или «плотность вероятностив.) Через х будем обозначать случайную непрерывную величину, через х нли х„значения этой случайной величины. Но иногда, если это не мешает пониманию, и в первом случае черту будем опускать. Кривая у = 7(х) называется кривой распределения вероятностей или кривой распределения (рис.
417). Пользуясь опреде-. лением предела, из равенства (1) с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Лх следует приближенное равенство Р (х < х < х+ Лх) ем ~ (х) йх. (2) !гл, хх 9ЛЕМЕИТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Докажем далее следующую теорему. Теорема' 1.
Пусть 1(х) есть плоапность распределения случайной величины х. Тогда вероятность того, что значение случайной величины х попадет в некоторый интервал (а, й), равна определеннолау интегралу от функции 1'(х) в пределах от сс до р, !и. е. справедливо равенство г Р (а < х < й) = ~ 1(х) йх. а До к аз а тельство.
Разобьем интервал (а, р) точками а=х,, х„..., х„+,— — р на п малых интервалов (рис. 41О). К каждому Рис. 4!8. из этих интервалов применим формулу (2): Р (х, < х < х,) ск ~ (х,) Ахг, Р (х, < х < х,) ~ ~ (х,) Лх„ Р (х„< х < х„„) ж ~ (х,) Лх„. Окладываем левые и правые части равенства. Очевидно, что слева получим Р (а < х < й). Итак, Р (а < х < й) ы ~'.' ,1(х!) Лх,.
а=! Получили приближенное равенство. Переходя к пределу в праной части при п!ахах! О, иа основании свойств интегральных сраи получим точное равенство л Р(а <х <(1) = 1йп Х Г(х!) Лх!. аааа Ьа!-аь ! 1 (Мы прсдполатаем, что 1'(х) такова, что справа стоящий предел существует.) Но справа стоящии предел есть определенный ннтса НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА грал от функции 1(х) в пределах от а до р. Итак, Р (а < х < р) = ~ 1(х) '~х. а Теорема доказана.
Таким образом, зная плотность распределения случайной величины, мы можем определить вероятность того, что значение случайной величины попало в данный интервал. Геометрически зта вероятность равняется площади соответствующей криволинейной трапеции (рис. 419).
Замечание. В случае непрерывной случайной величины вероятность события, состоящего в том, что х=х„будет равна нулю. Действительно, положив в равенстве (2) х=х„получим Р (х, < х < х„+ Лх) ю 1(х,) Лх, откуда 1пп Р (х, < х < х, + бх) = О, Ьк-~.ь Рас. 419. или (4) так как достоверно, что значение случайной величины попадет в интервал (а, Ь). Если интервал возможных значений ( — со, +ос), то +а ) 1(х)ь(х=1. Заметим, что если из существа рассматриваемой задачи следует, что функция 1(х) определена на конечном интервале (а, Ь), то можно считать, что она определена на всем бесконечном Р (х х ) О.
(См. также замечание 1 на с. 437.) Поэтому в равенстве (3) и предыдущих мы можем писать не только Р(а < х <()), но и Р(а<х<(1), так как Р (а ( (х < Р) = Р (х = а) + Р (а < х < р) + Р (х = (1) = Р (а < х < р) Если все возможные значения случайной величины х находятся в интервале (а, Ь), то ь ) 1(х) ь(х = 1, ь 1гл, хх элементы теоиии вегоятностен 466 интервале ( — оо, +со), но 1".(х) =0 вне интервала (а, Ь).
В этом случае выполняется и равенство (4), и равенство (5). Плотность распределения случайной величины полностью определяет случайную величину. В !3. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей Определение 1. Пусть )(х) есть плотность распределения некоторой случайной величины х ( — оо.< х < +оо), тогда функция р(.)= ~ 1(.)~.
называется функцией распределения вероятностей, или интегральным законом распределения. Рис. 420. Для дискретной случайной величины функция распределения равна сумме вероятностей тех ее значений х», которые меньше х: р(х): — Х р»-. к <к На основании равенства (3) $ 12 следует, что функция распрсделения с (х) есть вероятность того, что случайная величина х »7с) примет значение, меньшее х (рис. 420): р (х) = Р ( — оо < х < х). (2) г(х) Из рис.
420 следует, что при дану х ном значении х значение функРис. 42!. Цнн РаСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛЕННО раВ- няется площади ограниченной кривой распределения, лежащей левее ординаты, проведенной через точку х. График функции с (х) называется интегральной кривой распределения (рис. 421). отнкция глспгвдвлвння 4 «э1 Переходя к пределу при х- +со в равенстве (1), с учетом (5) р. 12 получаем 1пп Р(х)= 1пп $ 7(х)йх = ~ 7(х)дх=1. е ~+Ф «-~+ е ДоКажем далее следующую теорему. Теорема 1. Вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (а, р) рав яется приращению функ«(ии распределения на этом интервале: Р (а < х < р) = Р (р) — Р (а).
Доказательство. Выразим вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (а, р). Формулу (3) р 12 Ряс. 422. перепишем так: в ь и Р (а < х < ()) = ~ '«(х) йх = ) 1 (х) дх — ~ 1(х) йх а О~ -й (рис. 422). Пользуясь равенством (1), можем написать Р(а < х < 11) =Р(р) — Р(а), что и требовалось доказать (рис. 423). Заметим, что плотность распределения 1(х) и соответствующая функция распределения Р(х) Связаны соотношением Р'( ) =1( ).
' . (3) Вто следует из равенства (1) н теоремы о дифференцировании определенного интеграла по верхнему пределу. Рассмотрим далее случайную величину с законом равномерного распределения вероятностей. Закон распределения нли плотность распределения ~(х) такой случайной величины задается следующим образом: Г(х) =0 при х < а, 1(х)=с при а < х< Ь, ~(х)=0 при Ь< х. На интервале (а, Ь) плотность ~(х) имеет постоянное значение с (рис. 424), а вне этого интервала равна нулю.
Такое распределение также называют законом равномерной плотности. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН [Гл. хх 470 Из условия ~ )(х)ах=1 находим значение с: +Ю ь 1 )(х) Нх = ~ с ь(х = с (Ь вЂ” а) = 1, следовательно, -1е 1 с= —, Ь вЂ” а=-. Ь вЂ” а' С Из последнего равенства следует, что интервал (а, Ь), иа котором имеет место равномерное распределение, обязательно конечен. г!х Рис. 423.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
