34_PiskunovT2 (523113), страница 71
Текст из файла (страница 71)
408. ров с ' Отметкой «звездочка», остальные чисто белые (рис. 408). Нз урны вынимается один шар. Какова вероятнбсть события вынуть белый шар с отметкой «звездочка»? Пусть  — событие, состоящее в появлении белого шара, А— событие, состоящее в появлении шара е отметкой «звездочка». Очевидно, Р(В) = — ' (2) Р (А[В) Вероятность появления белого шара со «звездочкой» есть Р(А и В). Очевидно, Р(А н В)= — '. (4) (3) Но п1 пг и1 и ь ь» Подставляя в (5) левые части выражений (2), (3) и (4), получаем Р (А и В) = Р (В) Р (А [В). Равенство (1) доказано.
Если рассматриваемые события не укладываются в классическую -схему, то формула (1) служит для определения условной вероятности. А именно, условная вероятность события А при условии осуществления события В опрдделяеп[ся с помощью Вероятность появления белого шара со «звездочкой» при условии, что появился белый шар, будет зависимыв сОБытия 445 фоумрлы Р (А/В) = ( ) (при Р(В)-ь()). Замечание 1. Применим последнюю формулу к выражению Р(В н А): Р(В и А) =Р (А) Р(В/А). (8) В равенствах (1) и (6) левые части равны, так как это одна н та же вероятность, следовательно, равны и правые. Поэтому можем написать равенство Р (А и В) = — Р (В) Р (А/В) = Р (А) Р (В/А). (7) Пр имер 2. Для случая примера 1, приведенного в начале этого параграфа, имеем Р(В)= —, Р(А/В)= .
По формуле (1) получаем Р(А и В) = 3 1 2 ' 3 1 3 б 2 1О' — — — =1О. Вероятность Р (А и В) легко вычисляется и непосредственно. Пр и м е р 3. Вероятность изготовления годного изделия данным станком равна 0,9. Вероятность появления изделия 1-го сорта среди годных изделий есть 0,8. Определить вероятность изготовления изделия 1-го сорта данным станком. Решение. Собьгеие  — изготовление годного изделия данным станком, событие А †появлен изделия 1-го сорта.
Здесь Р (В) =0,9, Р (А/В)=0 8 Подставляя в формулу (1), получаем искомую вероятность Р(А и В)=0,9м Х0,8 =0,72. Теорема 2. Если собьипие А может осуи(ветвиться толью при выполнении одного из событий В,, В„..., В„, нолюрые 'образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле Р(А) =Р(В,)Р'(А/В,)+Р(В,) Р(А/В,)+...
+Р(В„)Р(А/В„). (8) Формула (8),называется формулой полной вероятности. Доказательство. Событие А может произойти при выполнении любого нз совмещенных событий (В,иА),(В,иА), ...,(В„иА). Следовательно, по теореме о сложении вероятностей получаем .Р(А)=Р(В, н А)+Р(Ве н А)+... +Р(В„н А). Заменяя слагаемые правой части по формуле (1), получим равенство (8). П р и м е р 4. По цели произведено трн последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле рт=0,3, при втором р, = 0,6, при третьем рз= 0,8. При одном попадании вероятность поражения цели Хг — 0,4, при двух попаданияк ц,= 0;7, при трех попаданиях аз= 1,0.
Определить вероятность пораукеная цели прй трех выстрелах (событие А). Решение. Рассмотрим полную группу несовместных событий: Вг †бы одно попадание; В, †бы два прпадайия; ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ 1гл. хи Вз — было три попадания; Вв — не было ни одного йопадания. Определим вероятность каждого событии.
Одно попадание пройаойдет, если или первый выстрел даст попадание, второй и третий †пром; илн первый вмстрел — промах, второй попадание, третий промах; нли первый выстрел— промах, второй промах, третий †попадан. Поэтому по теореме умножения н сложеаия вероятностей будем иметь для вероятности одного попадания выражение Р (Вв) = Рв (1 — Рз) (! — Рз) + (1 — Рд Рв (1 — Рз)+(! — Рв) (1 — р,) рв = 0 332. Аналогично рассуждая, получим Р (Вз) = Рхрв (1 — Рв)+Рв (! — Рв) Рз+(! — Рв) Рврз= 0,468, Р (Вз)=рврзРв=0,144, Р (Вв) =(1 Рв) (! — Рв) (1 — рз) = 0 056.
Напишем условные вероятности поражения цели при осувцесгвленни каж- дого на этих событий: Р (А/Вв) =0 4, Р (А/Вй = 0 7, Р (А/Вз) = 1,0, Р (А/В ) =О. Подставляя полученные выражения в формулу (8), получим вероятность поражения цели Р (А) =Р (Вй Р (А/Вв)+Р (Вв) Р (А/Вв)+Р (Вв) Р (А/Вв)+Р (Вв) Р (А/Вв) = =0,332 0,4+0,468 0,7+0,144 1,О+0,056 0=0,6044. 3 а м 'е ч а н и е 2. Если событие А не зависит от события В, то Р (А/В) = Р (А), и формула (1) принимает внд: ' Р(А и В)=Р(В) Р(А), т. е.
получаем формулу (1) 3 4. й 6, Вероятность гипотез. Формула Байеса Формулировка задачи. Как и в теореме 2 й 5, будем рассматривать полную группу несовместных событий В;, В„- .. „В„, вероятности появления которых суть Р(В,), Р(В,), ..., Р (В ), Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий Во В„ ..., В„, которые будем называть гипотезами.
Вероятность появления события А в соответствии с формулой (8) $ 5 будет Р(А)=Р(В,)Р(А/Вв)+Р(Вв)Р(А/В,)+...+Р(В„)Р(А/В„). (1) Допустим, что событие А произошло. То, что событие А произошло, изменит вероятности гипотез Р(В,), ..., Р(В„). Требуется Определить условные вероятности осуществления этих гипотез в предположении, что событие А произошло, т. е. определить Р (Вх/А), Р (В,/А), ..., Р (В„/А).
ВЕРОЯТНОСТЬ ГИПОТЕЗ. ФОРМУЛА ВАИЕСА Решение задачи. По формуле (7) $ б найдем вероятность Р(А и В,): Р(А и В,) =Р(В,)Р(А(В!) =Р(А)Р(В„'А), откуда Р(В (А)= Р(В') Р(А!Вд Р (А) Подставляя вместо Р(А) его выражение (1), получим ~я~~~ Р (В;) Р (А!В!) к=! (2) Аналогичным образом определяются Р (В,(А), Р (Вз! А), °... Р (В„(А). Итак, р (В )А) Р (В») Р (А(В») ~~ Р (В!) Р (А/В!) а=! Пусть в результате испытания. событие А произошло. Тогда по формулам (3) получаем 0,25 0,7 0,175 0,25 0,7+0,25.0,1+0,25 0,1+0,25 0,02" 0,23 Р (Вз/А)= 'О 23' — — 0,11а 0,25 0,1 Р(в 1А)= ' ' =о,п, 0,25 О,1 Р (вйА) = ' ' 3' = о,о2.' 0,25 0,02 Здесь было Р(В!) =0,25, Р (ВВА) =0,76 стало больше, потому что событие А произошло При этом вероятность Р (А/В!)=0,7 большая сравнительно с дру- гими условными вероятностями.
Формула (2) называется Формулой Байеса или теоремой гипотез. Замечание. Из формулы (б) следует, что в выражении вероятности Р (В»/А) — вероятности осуществления гипотезы- В» при условии, что событие А произошло,— знаменатель не зависит от номера й. Пр имер 1. Пусть до опыта было четыре равиовероятные гипотезы Вз, Ва, Вз, Ва:Р (ВВ Р (Ва)=Р (Вз) =Р (Ва)=0 25. Условные вероятности появления события А соответственно равны Р (А)В!) = 0,7, Р (А(В,) =О,1, Р (А/Вз) = 0,1, Р (А1ва) = 0,02.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 448 (ГЛ. зЕХ П р имер 2г Каждый из танков независимо сделал выстрел по-некото-' рому объекту. Вероятность поражения цЕли первым танком р,=0,8, вторым р =0,4. Объект поражен одним попаданием. Определить вероятность того, что объект поражен первым танком. Р е ш е н и е. Событие А — поражение объекта одним попаданием. До стрельбы возможны следующие гипотезы: Вх — оба танка не лопали, В,— оба танка попали, Вз — первый танк попал, второй не попал, Вз †перв не попал, второй попал. Определим вероятности этих гипотез по теорел~е умножения вероятностей.
Р (Вх) =(1 — Рг) (1 — ре)=0,2 0,6=0,12, Р (Вз) =ргрз=0,8.0,4=0,32, Р (Вз)= Рг'(1 — рз) =0 8 0,6=0,48, Р(Вх)=(1 Рх)рз=0,2.0,4=0,08. Определим условные вероятности наступления события А: Р(А7Вх)=0, Р(А)Вз)=0, Р(А)Вз)=1, Р(А7Вз)=!. Но формуле (2) находим условную вероятность гипотез; 0120 ' 0 О,!2 О+0,32 О+0,48 1+0,08.1 0,66 Р(Вз/А)= ' =О, Р (Вз! 4)= б 1 0,481 6 0,56 7' 0,08 1 1 Р (Вз!А) = 0,56 7' П р имер 3.
30зА приборов собирает специалист высокой квалификации н 70а4 — специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, со- бранного специалистом высокой квалификации, 0,90, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, 0,80. Взятый прибор окаМ~лся надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации. Р еще н не. Событие А — безотказная работа прибора. Для проверки прибора возможны гипотезы Вх — прибор собран специалистом высокой квалификации, В,— прибор собран специалистом средней квалификации.
Выпишем вероятности 'этих гипотез: Р(В,)=0,3, Р(Вз)=0,7. Условные вероятности события А: Р (А/Вг) =0,9, Р (А(Вз) ='0,8, Определим вероятйостн гипотез В! и В, ирм -условии, что событие А произошло. По формуле (2) имеем 0,3.0.9 0,27 Р (ВгТА) =0 3 0 9+О 7.0 8=0'!ц=о 328 0708 056 Р (Вз)А)=03.0,9+О,7.0,8=0,*83=0 678. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА й 7. Дискретная свучайная величина. Закон распределения' дискретной случайной величины Определение 1. Переменная величина х, принимающая и результате испытания одно из конечной или бесконечной последовательности значений х,, х„ ...,хь, .'... называется дискретной случайной величиной, если™каждому значению х» соответствует определенная вероятность рь того, что переменная величина х примет значение х„.
Из определения следует, что каждому значению -х„ соответствует вероятность рь. Функциональная зависимость вероятности р„ от хь называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины х*). То, что случайная величина х примет одно из значений последовательности х,, х„ ..., хь, ..., есть событие досто- Р верное, и потому должно выполняться условие Х р1=1 (1) 1=1 в случае конечной последовательности .!и' значений, или рр Х р;=1 1= ! (1') Рис. 409, в случае бесконечной последовательности. Заметим, что значе- ррр*;.шврр !и, „р„„„„р„, р в ри~. 15 Н. С. Писиуиов, в. 2 Так же закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, когда в прямоугольной системе координат строятся точки, с координатами (х„, рь).и соединяются ломаной (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
