34_PiskunovT2 (523113), страница 67
Текст из файла (страница 67)
э нц гвшвнив диФФвгвнцилльного тглвнвния нолввхиии 49! цноиальиости Х) первой степени скорости, !,(Г) — внешняя, вли возмущающая, сила. Решением уравнения типа (42) описываются малые колебания н других механических систем с Одной степенью свободы, напри- мер крутильные колебания маховика на уп- ругом валу, если х †уг поворота махови- ка, га†момент инерции маховика, А †' кру- тильная жесткость вала, а тГ,(!) †моме внешних сил относительно оси вращения. 4 Уравнения типа (42) описывают не только механические колебания, но и явления в электрических цепях. Пусть имеем электрическую цепь, сос- Рис.
999. тоящую из индуктивности Е, сопротивления И и емкости С, к которой приложена э. д. с. Е (рис. 399). Обозначим через ( ток в цепи, а через 9 заряд конденсатора, тогда, как известно из электротехники, ! и Я удовлетворяют сле- дующим уравнениям: Š— „, +Ю+ — =Е, ~1Ц ш (43) (44) Из уравнения (44) получаем ,а!) ш йР ш' (44') Подставляя (44) и (44') в уравнение (43), получаем для Я уравнение типа (42): Е ш, +И ш + с О=Е.
сто а'я ! (45) Уравнения (45) и (46) являются уравнениями типа (42) 9 15. Решение диффеРенциального уравнения колебаний Уравнение колебаний запишем в виде Фх «х —,+ а,— +а,х ~(!), (47) где механический или физический смысл искомой функции х, коэффициентов аг, а, и функции ((!) легко устанавливается Дифференцируя обе части уравнения (43) и используя уравнение (44), получаем уравнение для определения тока !: ач и 1 . ие Ь вЂ” „, +Я вЂ” „+ — (= — „.
(46) ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ сгл. хох сравнением этого уравнения с уравнениями (42), (45), (46). Найдем решение уравнения (47), удовлетворяющее начальным условиям х=х„х'=х, 'при с=О. Составим вспомогательное уравнение для уравнения (4Т): х (р) (до+ аср+ ао) = хор+ хо+ асхо+ Р (р), (48) где г'(р) — изображение функции г" (г). Из равенства (48) находим хор+ хо+ асхо р (р) 49 р'+а,р+а, +р'+а,р+ао ( ) Итак, для решения с',) (с) уравнения (45), удовлетворяющего начальным условиям с',)=Щ„Я'=Я; при с =О, изображение будет иметь вид ° — л(0,р+0')+гс) + ййб С ро+Сс р+ — ЕР +ар+ с с Характер решения существенно зависит от того, будут ли корни трехчлена р'+а,р+а, комплексные, или действительные различные, или действительные равные.
Подробно рассмотрим случай, / ас то когда корни трехчлена комплексные т. е. когда ( — с — а < О. (,е) Остальные случаи рассматриваются аналогично. Так как' изображение суммы двух функций равно сумме их изображений, то на основании формулы (38) начальная функция для первой дроби, стоящей в правой части (49), будет иметь вид хор+ хо+а,хо ° ро+а,р+а, хоат 1 а, Г о Х хо+ — с' Г -"ЗГ"--'1 (50) оНайдем далее начальную фуикцисо, соответствующую дроби Р (Р) ро +аср + а, ' Здесь воспользуемся теоремой свертывания, заметив, что а, — — с ( г о 4)' 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 423 Следовательно, 'по формуле (39) получаем а, / 2 ,+, Р+„,, ((т)е ' яп((1 — т) ~ а,— 4 )о(т.
ао О (51) Итак, из (49), учитывая (50) и (51), получаем: х(1) = Г „' +хоа1 1 е 2 х"Сов г п~ 4 + в!П г п~ 4 (о а, о. ' ~111 х' а (о — 1г', ~)о.. ао — 4 о (52) Если внешняя сила 7'(1)— = О, т. е. если мы имеем свободные механические или' электрические колебания, то решение дается первым слагаемым правой части выражения (52). Если начальные условия равны нулю: х,=х,'=О, то решение дается вторым слагаемым правой части равенства (52). Рассмотрим эти случаи подробнее. й 16. Исследование свободных колебаний Пусть уравнение (47) описывает свободные колебания, т. е.
~(4) = О. Введем для удобства написания формул обозначения и, = 2п, ао = йо, /г, '= йо — и'. Тогда уравнение (47) примет вид —, + 2п — „+ йох = О. а ох 11х (5З) Решение этого уравнения х„, удовлетворяющее начальным условиям х=х„х' =х,' при 1= 0, дается формулой (50) или первым слагаемым формулы (52): х„Яо е "' ~хосовй,о+ ' ' в(пй,11. (54) 1 Обозначим хо=а, =Ь.
Очевидно, при любых а иЬ можно. хо+хоп А, подобрать такие М и 6, что будет а=Мяпб, Ь=Мсовб, при этом Мо г по+ Ьо, ти 6 = а(Ь. Формулу (54) перепишем так'. х„= е ао(М сов я,1 яп 6+ М яп Ь,1 сов 61, (гл. хгх операционное исчисления 4З4 или окончательно решение можно переписать так: х„= Уа'-(-Ь'е "' з(п (Ц,(+6). (55) Решение (55) соответствует загп ухающим колебаниям. Если 2п=а,=О, т.
е. если отсутствует внутреннее трение, то решение будет иметь вид х„=)' а'+Ь'з(п(яг+6). В этом случае имеют место гарионичеекие колебания. (В гл. ХШ, 4 27, на рис. 276 и 278 даны графики гармонических и затухающих колебаний.) й 17. Исследование механических и электрическнх колебаний в случае периодической внешней силы При изучении упругих колебаний механических систем и особенно при изучении электрических колебаний приходится расс;латривать различные виды внешней силы 7(().
-Рассмотрим подробно случай периодической внешней силы. Пусть уравнение (47) имеет вид Фх ох — + 2п — + Их = А з!п Ы. и иг (56) Рассмотрим случай, когда 2пФО (и'(И). Стоящую справа дробь разлагаем на элементарные дроби: Аа лр+в ср+)э 58 (ре+2пр+и~) (р~+ер) . рй+2пр+а~+р~+е(~ ' Постоянные У, В, С, 0 определяем методом, неопределенных коэффициентов. Пользуясь формулой (38), из (57) найдем начальную функцию х(!) = „..., ~(уе' — «г) з!пв( — 2пюсозш(+ +е "' ~~2п' — й'+ьР) — з(пй,.(+2пасозй,(1~; (59) Для выяснения характера движения достаточно рассмотреть случай, когда х,=х,'=О.
Можно было бы получить решение уравнения по формуле (52), но здесь с методической точки зрения удобнее получить решейие, проделав все промежуточные вычисления. Напишем изображающее уравнение х (р) (р'+ 2пр+ И') = А —, откуда' получаем Ам (ре+2пр+И) (ре+ор) " случАЙ пеРиОдическОЙ Внешней силы 4 Йч 425 здесь снова Е,=Уйс — и'. Это и есть решение уравнения (56), удовлетворяющее начальным условиям: х, =х,' =- 0 при ( = О. Рассмотрим частный случай, когда 2п = О. Это соответствует тому, что в механической, например, системе нет внутреннего сопротивления, нет амортизатора. В случае электрического контура это соответствует тому, что )4 = О, т. е.
отсутствует внутреннее сопротивление цепи. Уравнение (56) в этом случае принимает вид —,+йсх= А з!пы(, дсх шс (60) а решение этого уравнения, удовлвтворяющее условиям х, =х,' = =0 при ( = О, получится, если в формуле (59) положить п=О: х(()= „,, ~ — сэз!пй+Фз1пы(1. (61) л~1..,',, А Рис 400. Здесь имеем сумму двух гармонических колебаний: собственных с частотой й, х (()= — — — з(пйг, А. ю с ас мса и вынужденных с частотой ы, х, (() = —,„, зьч ы(. А Введем обозначения А (Ьс — ссс) „сР+ 4„„с М соз 6, А 2лсс (Фс — ы 4с+ 4псссс где М= )Г(ас — мс)с+4псыс Для случая, когда й)) в, характер колебаний изображен на рис. 400.
Вернемся снова к формуле (59). Если 2п) О, что и имеет место в рассмотренных механических и электрических системах, то член, содержащий множитель е "', представляющий затухающие собственные колебания, прн ( возрастающем быстро убывает. При достаточно большом ( характер колебаний будет определяться членом, ие содержащим множителя е "', т. е. членом А х(() ' — '-''+4 -",((пс — ес)з!Пш( — 2пысозы(). (62) 1гл. хгх опердционнов нсчнслвнцв 426 Решение (62) можно переписать так: х(1)= 61п(оз1+6). (64) Из формулы (64) следует, что частота и вынужденных колебаний.
не совпадает с частотой оз внешней силы. Если внутреннее сопротивление, характеризующееся числом п, мало, а частота оз близка к частоте й, то амплитуда колебаний может быть сделана как угодно большой, так как знаменатель может быть как угодно малым. При и= О, сот= мз решение не выражается формулой (64). й 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса Рассмотрим частный случай, когда а,=2п=О, т. е. когда сопротивление отсутствует, а частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний м=ы. В этом случае уравнение имеет внд — „„+ йзх = А з1п И.
Лзх (65) Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям х,= О, х,' =О при г = О. Вспомогательное уравнение будет х (р) (р'+ Йз) = А —. + откуда Ай х(р) = 1 з 1 йз)з (66) Мы получили правильную рациональную дробь 1зг вида, которую в общем виде мы не рассматривали.
Чтобы найти начальную функцию для изображения (66),' воспользуемся следующим при. емом. Напишем тождество (формула 2 таблицы 1) ,з 1 аз ,+, — — ) е г' з)п И с(1. (67) о Продифференцируем з) обе части этого равенства по И Ю 1 2йз — .. = ~ е Рг1 соз Иг(1. о Пользуясь тождеством (67), это равенство можно переписать так: Ф 2йз г .г — е-Р' ~ г соз И вЂ” 61п И~ й. (рз 1 гззр — ~ ") Интеграл, стоящий справа, можно представить в.виде суммы двух интегралов действительной переменной, каждый иа которых зависит от параметра й.
ТЕОРЕМА ЗАПАЗДЫВАНИЯ 4 !9! 427 Отсюда непосредственно следует з(п й 1 соз й") АА . А 71 (р9+А9)9 2А (, А (из этой формулы получается формула 13 таблицы 1). Итак, искомое решение уравнения (65) будет х(1) = — ( — з!Пйг — гсозй!). А 71 2А(,А (68) Изучим второе слагаемое этого решения х,(!) = — — 2Ь (созй!; А (68') 5 19.
Теорема запаздывания Пусть функция 7(!) при г < 0 тождественно равна нулю (рис. 401, а). Тогда функция 7(! — (9) будет тождественно равна нулю при ! < 19 (рис. 401, б). Рис, 40!, Докажем следующую теорему запаздывания: Теорема. Если Р(р) есть изображение функции 7" (!), то е-Р'Р(р) есть изображение функции 1(1 — (9), т. е. если 7(!) -:- :-Р(р), то 7'(Ф вЂ” 19) -:- е-Р'Р (р).
(69) Дока'зательство. По определению изображения имеем Ф и ОР Е (1 (1 — 19)) = ~ е Рч! ( ! — 19) !(! = ~ е Р9! (1 — 19) й + ~ е" Р7' (1 — 19) сК, 9 9 9е при увеличении ( эта величина не является ограниченной. Амплитуда колебаний, соответствующих,форцуле (68'), неограниченно возрастает при неограниченном возрастании 1. Следовательно, н амплитуда колебаний, соответствующих формуле (68), неограниченно возрастает. Это явление, имеющее место при совпадении частоты собственных колебаний с частотой внешней силы, называется резонансом (см. также гл.
ХП1, 9 28, рис. 280). ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (ГЛ. Х!Х 428 Первый интеграл, стоящий в правой части равенства, равен нулю„ так как 1(1 — 1,)=0 при 1< 1,. В последнем интеграле сделаем замену переменной, полагая 1 — 1,= з: 1 о,14СД7 Ю 1 (7'(1 1)) ~ е-Р аз+так)(з)а(л о Р Л Е а =и рг (ЗЕ рг)а (З) С(З= и рт~Р (р) 'о Рис. 402. Таким образом, 1(1 — 1,) —:е и"Р(р). П р и и е р. В 5 2 было установлено длн единичной функции Хевисайда, 1 что оа (1).:— —. На основании доказанной теоремы следует, что дли функции Р а оа (1 — й), изображенной на ркс. 402, й-изображениеи будет — е-р", т. е. ° -л Р Оа (а о) '-;- — е Р (70) $20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
