34_PiskunovT2 (523113), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Из формулы Остроградского заключаем, что б!ч / = О. (15) На основании обобщенного закона Ома определяются в рассматриваемой проводящей среде электрическая сила Е: Е =.М (16) На основании (16) получаем: .Р = Л пгаб ~р. Из (!5) и (18) следует: Лйт(дгаб~р) =О (18) или д'~р дьр д2(р + — + —,=О. дк~ дрк д~в (19) Получили уравнение Лапласа. Решая это уравнение прн соответствующих краевых условиях, найдем функцию «р, а по формулам (18) и (17) найдем ток т и электрическую силу Е.
где Л вЂ” проводимость среды, которую мы будем считать постоянной.' Из общих уравнений электромагнитного поля следует, что если процесс стационарный, то векторное поле Е безвнхревое, т. е. го1Е=О. Тогда аналогично тому, что мы имели прн рассмотрении поля скоростей жидкости, векторное поле является потенциальным (см. й 9 гл.
ХЧ). Существует функция «р такая, что Е = пгаб ~р. (17) УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 9 9. оравненне Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с настоянными значениями искомой функция на внутренней и внешней окружностях Пусть и(х, у, г) †гармоническ функция трех переменных Тогда д»и д»и д»и — + — + — =О. дх» ду» дг» Введем в рассмотрение цилиндрические координаты (г, !р, г): Х=ГС05»Р, Уч Г51П!Р, г=г> откуда г=$/ х'+у', <р=агс!ц — ", г=г.
(2) Заменяя независимые персменные х, у и г на г, !р н г, придем к функции и*: и(х, у, г) =-и»(г, »р, г). Найдем уравнение, которому будет удовлетворять и'(г, !р, «) как функция аргументов г, ~р и г. Имеем ди ди* дг ди» д~р — = — — += дх дг дх дт дх ' аналогично о'и д»и»г дг !» ди» д'г д'и' дг д(р д»и» (д~р !» ди» дчр — = — ~~ — ) + — — +2 — — — + —,— ! + — —, (4) ду» дг» ( ду ~ дг ду» й' де ду ду д»р» ~ ду ) д»р ду» ' кроме того, д»и д»и» дх» дг' ' (5) дг дг о»х о»г д»р де д»е д»е Выражения для —, —., —, —, — —, —, — находим из дх' ду' дх» ' ду»' дх ' ду ' дх» ' ду» равенств (2). Складывая правые части равенств (3) — (5) н приравнивая сумму нулю (так как сумма левых частей этих равенств равна нулю в силу (1)), получаем д»и» ! ди* ! д»и» д»и» — + — — + — — + — = О.
дг» х дх х» ди» дх» (6) Зто н есть уравнение Лапласа в цилиндрических координап1ах. Если функция и не зависит от г н зависит от х и у, то функция и', зависящая только от г н ~р, удовлетворяет уравнению д»и» 1 ди» ! о»и» — + — — + — —.=О д» г д га д׻— (7) где г н»р — полярные координаты на плоскости.
1гл. хюп УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Найдем теперь решение уравнения Лапласа в области 0 (кольце~, ограниченной окружностями К,: х'+у'=)т', и К,: х'+у'=й„ принимающее следукицие граничные значения: и!к,=и,, и!к,= и„ (8) (9) где и, и и,— постоянные. Будем решать задачу в полярных координатах. Очевидно, что целесообразно искать решение, не зависящее от !р. Уравнение (7) в этом случае примет вид д'и 1 ди — + — — =О. дги г дг Интегрируя это уравнение, найдем и = С, 1п г+ С,. Определим С! и С, из условий (8) и (9): и,=С,1п!т,+С„и,= С,1пЯ,+С,. (10) Отсюда находим С,= —, С,=и,— (и,— и,) — = ии — и, !п!1~ и,1п!1,— и,!п ут !п — 1п— 1п— и г1' !11 !11 Подставляя найденные значения С, и С, в формулу (10), окончательно получаем Г г г 1п— и, 1и — — и„!и— и= и,+ — '(и,— и,) = ' ' .
(11) !п — ' !и — * !1д !11 3 а м е ч а н и е. Фактически мы решили следующую задачу: найти функцию и, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): г=Я„г=)7„З=О, Е=Н, и следующим граничным условиям: и~, л,=и, и), л,=и„ й 1О. Решение задачи Дирихле для круга Пусть в плоскости Оху имеется круг радиуса )т с центром в начале координат и на его окружности задана некоторая функция 7 (!р), где !р — полярный угол. Требуется найти функцию и (г, !р), (задача Дирихле †Нейма). Очевидно, что искомое решение не зависит ни от г, ни от <р и дается формулой (11). гвшвнив злдлчи дигихлв для кг~гл 391 1 !О! непрерывную в круге, включая границу, удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа (1) или д'и ди д'и г' — — +т — + — =О. дг~ дг дч~ Будем искать решение методом разделения переменных, полагая и = Ф (<р) Я (г).
(3) Подставляя в уравнение (1'), получим г'Ф(!р) )Р" (г)+ тФ(!р) Я' (г)+Ф" (!р) Я (г) = О, илн тЧ(" (г) + г й' (г) сз ( р) )( (г) пг рр) (4) Левая часть этого равенства не зависит от г, а правая от ф, следовательно, они равны постоянному числу, которое мы обозначаем через — й'. Таким образом, равенство (4) дает два уравнения Ф" (р)+й Ф(ф) =О, (5) г%'(г) + тК (г) — /гЧ~ (г) = О. (5') Общее решение уравнения (5) будет Ф= А соз Ьр+Вейпйр.
(б) Решение уравнения (5') будем искать в форме К(г)=г". Подставляя Я(г)=г" в (5 ), получим г'т (л! — 1) г '+ ггпг ' — 'ят"' = О, или т' — И=О. Итак, имеются два частных линейно независимых решения г" и г ". Общее решение уравнения (5') будет Д=Сг"+1:)т ". (л и на окружности круга принимающую заданные значения и (, а = 1 (!р). (~) Будем решать задачу в полярных координатах. Перепишем уравнение (1) в этих координатах: д'и 1 ди 1 д~и — + — — + — — =О, дг~ г дг г~ д~р' угхвнения математической ч изики 1гл.
хчш ЗЭ2 Выражения (8) и (7) подставляем в (3): и» = (А» соз Ьр+В„з!п Ьр) (С»г»+Р»г»). (8) Функция (8) будет решением уравнения (1') при любом значении /г, отличном от нуля. Если й = О, то уравнения (5) и (5') принимают вид Ф'(ср)=0, гЯ" (г)+й'(г)=0 и, следовательно, по = (Аа+ Воф) (Со+ Р» 1и '). (8') Решение должно быть периодической функцией от ф, так как при одном и том же значении г при ф и ~р+2л мы должны иметь одно и то же значение решения, потому что рассматривается одна и та же точка круга. Поэтому очевидно, что в формуле (8') должно быть В,=О. Далее, мы ищем решение, непрерывное и конечное в круге. Следовательно, в центре круга при г= 0 решение должно быть конечным, и потому в формуле (8') должно быть Р,=О, а в формуле (8) Р, =О.
Таким образом, правая часть (8') обращается в произведение А„С„которое мы обозначим через А,/2. Итак, (8") Мы будем составлять решение нашей задачи в виде суммы решений вида (8), так каь сумма решений есть решение. Сумма должна быть периодической функцией от ф. Это будет так, если каждое слагаемое будет периодической функцией от ~р. Для это»о а должно принимать целые значения.
(Заметим, что если бы мы приравняли части равенства (4) числу +й», то не получили бы периодического решения.) Мы можем ограничиться только положительными значениями й=1, 2, ..., п...„ так как в силу произвольности постоянных А, В, С, Р отрицательные значения й новых частных решений не дают. Итак, и(г, М= — а+~ (А,созшр+В„з)ппф)г" (9) и=! (постоянная С„ включена в А„ и В„). Подберем теперь произвольные постоянные А„ и В„ так, чтобы удовлетворялось краевое условие (2). Подставляя в равенство(9) г=)1, на основании условия (2) получаем О у (ф) = — '+ ~., (А„соз пф+ В„з)п п~р) )т", (10) и=! 393 $ (0) РЕШЕНИЕ ЗаДаци ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА Чтобы имело место равенство (10), нужно, чтобы функция' )(ф) разлагалась в ряд Фурье в интервале ( — и, и) и чтобы А„)с" и В„)с" были ее козффициентами Фурье.
Следовательно, А„ и В„ должны определяться по формулам А„= — ( ) (1) соз п( Г((, Ва =- — „) )'(() з(п п1 Г(1. (11) л -и -Л Итак, ряд (9) с козффициентами, определенными по формулам (11), будет решением нашей задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по г и по (р (но зто нами не доказано). Преобразуем формулу (9).
Подставляя вместо А„ и В„ их выражения (1!) и производя тригонометрические преобразования, получим и в П п(г, (р)= 2 ~ 1(()й(+ — „~~', ) )(1)созп(1 — (р)(()( ~ и и ! я ) 1Я ~(-21 ( — ')" „(( — ч()ю. (!2) — я ч=! Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках е): 1+2 ~ ( — ) созп(! — (р)=1+,~ ( — ) [е("" е(+е '"" е1= в=! и=! Ф ~ 1 1 "~~ ~( г е(м-е!)" +( е-1((-е!) "1— 11(1-Е( г — е П( с(((-Е! ! е-1((-Е! '-~-.) г / г !а Д( — 2дг сов(1 — (р)-(-ге' ! — 2 — соа (1 — ф)+~ — ) '( д) Заменяя выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (12), выражением (13), получим ! Г )( ( — ге и(г, (р)= — ) )(()д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
