34_PiskunovT2 (523113), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Определение 2. Ортогональная система функций «р,(х), «р,(х), ..., ф„(х), ... называется полной, если для любой функции 1(х) с интегрируемым квадратом, т. е. такой, что ь ) Гь(Х) «(Ха+ со, ь выполняется равенство ь Г л ч ь !пп ~ ~~(х) — ~ с«ф«(х)~ «(х=О. и -> а д «=0 (8) Равенство (8) в силу определений $ Т можно истолковать и так. Среднеквадратичное уклонение суммы Х с«ф«(х) от функции ((х) «=ь стремится к нулю при и — со.. Если выполняется равенство (8), то говорят, что ряд Фурье (6) сходится к функции )(х) в среднем.
Определим коэффициенты с„. Допустим, что ряд, полученный после умножения ряда (6) на любую «рь(х), допускает почленное интегрирование. Умножим обе части равенства (6) на «рь(х) и проинтегрируем в пределах от а до Ь. Учитывая равенства (2), получим ь ь ) 1(х) «рь(х) «(х= се ~ фь«(х) «1х, аж) ЛИНЕЙНОЕ ФУНКЦИОНАЛЪНОЕ ПРОСТРАНСТВО 357 Очевидно, что из сходимости в среднем не следует сходимость в каждой точке отрезка [а, Ь). Отметим без доказательства, что тригонометрические системы, указанные в примерах 1 — 4, полны на соответствующих отрезках. Очень широко используется в приложениях система функций Бесселя 1 ( тх) 1 () ах) У ( 'тх) (9) которые были рассмотрены в 9 23 гл.
ХЧ1. Здесь Л„)с„... ..., Хн ... — корни функции Бесселя, т. е. числа, удовлетворяющие соотношению )„(Х,)=О (1=1, 2, ...). Вез доказательства укажем, что система функций )~х)„(Хтх), $' х1„ (Хах), ..., )Гх,(„(Хгх), ортогональна на отрезке [О, 11: ~ ха'„ ()сах),1„(Х х) с(х = О е) (й М 1). (11) а (10) Так же в приложениях используются системы ортогональных многочленое Лезсандра, которые определяются так: Ре(х) 1у 1 а(х) оч и (и 1з 2з ''')* Ла [(ха 1)а] Они удовлетворяют уравнениям (ха — 1) у"+2ху' — п(п+!) у=О.
Используются н другие системы ортогональных многочленов. й 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов е) Если для функций ~ра (х), <ру (х) выполняется соотноженне ь ) р (х) ~ра (х) ~ру (х) ь(х = О (у ~ й), а то говорят, что функцян Фг(х) ортогональны с весом р(х). Следовательно, функции а„(А1х) (прн й ~ Д ортогональны с весом х. В аналитической геометрии был определен вектор в,трехмерном пространстве А = А„1+ А„~+ А,й, )гл.
хтт1 где,М., р', Ф вЂ” едннионые взаимно перпендикулярные векторы, направленные по осям координат. Векторы а, /, Ф будем и дальнайпам обозначать е„е„е,. Аналогичным образом можно определить вектор в л-мериом пространстве А= ХА,еи К=1 Совокупность векторов вида А будем называть и-мерным ввклидввмм арввтранвтввм и обозначать Е„. Векторы А будем называть элементами или точками и-мерного евклидова пространства *). Указкам свойства пространства Е„.
Пусть даны два вектора пространства Е„: а л А= ЗА,е-; и З= ~~.",Веи Если С, и С,— действительные числа, то по аналогии с трехмерным пространством С,А +С,В есть втжтар пространства Я„. Сипллримм иреазвадемием векторов А н Вназывается ныраисемие (А, В)= 2„'АтВт а*). (2) а=! Векторы е„а„..., е„принадлежат пространству Я„, к ним также применима формула (2). а лрдевахельн9, получаем .Ирн 4 т= т' (е;, е~)=О, (2') (ео еа) =!. Векторы, скалярное произведение жетиаых равно нулю, мазы- метек в)йпеавиаявиммн. Следовательно, векторы е„е, ..., е„ ортогонаиьиы.
Как и в трехмернвм ацаостранстве, легко устанавливаются следующие свойства скалярного произведения: (А, В)=(В, А), (А+В, С) =(АС)+(ВС), (йА, В)=Ф4АВ). ат) Зааесиатеывамт ы ваыторм а 4асыеыечыеиарыаи ерастравства. а*) Вместо (Л, В) ыыагаа вулси писать ерасао,анн;Жрал, вой. $ !61 ЛИНЕЙНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО збв л(лама или мядула еенпгера А определяетея, иак и в трехмерном пространстве: Г а (А~,=Р'(А А)= ~ Х Аа! (4) Длину разности двух векторов естественно определяют так: / е (А — В( = ))а' ~ (А,— В!)а.
(5) г=! В частности, / л )А — А[= ~ег Д (А; — А;)'=О. 1=! Угол !р между двум!а векторами определяется так! (А, л) сов(Р= ! А) РИ), . (6) ') Такой класс функций рассматривался в теореме $ 1. Можно было бы рассмотреть более широкий нласс функций, для которого все утверждения 4 1 сохраняиугси. 1 Рассмотрим совокупность всех кусочно монотонных ограниченных на отрезке [а, о1 функций* ).
Обозначим зту совокупность через Ф и будем называть проетрансп!еом функций Ф. Функции, принадлежащие этому пространству, будем называть елеменпаами или !почками пространства Ф. Можно установить операции над функциями пространства Ф, аналогичные операциям, которые мы производггли над векторами пространства Е„. Если С, и С, †люб действительные чйсла и 1"т(х), )',(х)— элементы пространства,Ф, то Стг! (х)+ СаГ, (х) ()) есть элемент пространства Ф. Если у(х) и !р(х) — две функции пространства Ф, то сналлрнагм произеедением функций 1(х) и !р(ху называетея выраженйе ь (у, <р),= ) 7(х) гр(х) с(х, (8) ! Это выражение аналогично выражению (2).
Легко проверить, что"скалярное. Произведение (8) обладает свойствами,, аналогичными свойствам (3) для векторов: (1. ф)=(ф 1') %+1 ° ф)=й. !р)+(1ат И (й) Ре, ф) = )! У, ф). (гл. хоп гиды фьч ье Аналогично определению модуля вектора по формуле (4) определяется так называемая норма элемента )(х) пространства Ф: | ь $11=Ъ| (7 1) = $| $ [1(х)]'дх. (1О) « Расстояние между элементами г(х) и ф(х) пространства Ф аналогично формуле (5) будем называть выражение (11) Выражение (11) расстояния между элементами пространства называется метрикой пространства.
Оно с точностью до множи- теля р~Ь вЂ” а совпадает со среднеквадратичным уклонением б, определенным в э 7. Очевидно, что если )(х) =ф(х), т. е. 1(х) и ф(х) совпадают во всех точках отрезка [а, Ь], то 1)' — ф[=0. Но если 117' — ф[=О, то г(х) = ф(х) во всех точках отрезка [а, Ь], кроме конечного числа точек «). Но в этом случае также говорят, что элементы про- странства Ф тождественны. Пространство кусочно монотонных ограниченных функций, в котором определены операции (7), (8) и метрика определяется равенством (11), называется линейным функциональным ',простран- ством с квадратичной метрикой.
Элементы проглраиства Ф на- зываются точками пространства или векторами. Рассмотрим, далее, последовательность функций ф,(х), ф«(х), ..., фе(х), принадлежащих пространству Ф. Последовательность функций (12) называется ортогональной на отрезке [а, Ь], если при любых 1, 1 (1Ф1) выполняются равенства ь (фсо ф ) = ) ф; (х) ф| (х) Их = О. (13) а На основании равенств (1) 2 1 следует, что, например, система функций 1, созх, з1пх, соз2х, з(п2х, созЗх, з(пЗх, ... ортогональна на отрезке [ — н, и].
Покажем, далее, что разложение функции в ряд Фурье по ортогональным функциям аналогично разложению вектора по «1 может быть н бесконечное число точек, где г (к) ~ ф (х). $ !») ЛИНЕЙНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО откуда (16) Допустим, далее, что функция 7(х) разложена по системе ортогональных функций: 1(х) = ~~з ~а ф» (х). (17) »»н Умножая скалярно обе части равенства (17) на гр»(х) и учитывая равенства (9) и (13), получим*) (7, ф») =а»(ф», ф ), откуда » 1 ) (х) ф (х) х а = ('ф») =' (фю ф») ) (ч»(х)1' Ь а Формула (18) аналогична формуле (16).
Обозначим, далее, (18) з„ = ~ч', а» р» (х), »=р б„'=~7 — з„( (а=1, 2, ...)г (19) (20) 1пп б„= О, л-+л то система ортогональных функций (12) является полной на отрезке 1а, Ь~. Ряд Фурье (17) сходится к функции 1(х) в среднем. ° ) Мм предполагаем, что получающиеся в процессе рассмотренна ряды скодятся н почленвое нвтегрнрованне законно. ортогональным векторам.
Пусть дан вектор А = А,е,+ А,е,+... + А,е»+... +А„в„. (14) Мы предполагаем, что векторы е„е„..., е„ортогональны, т. е. если (чь), то (ег, еу)=0. (15) Чтобы определить проекцию А», умножаем скалярно правую и левую части равенства (!4) на вектор е». На основании свойств (2), (3) получаем: (А, е») = А, (е„е») + А, (е„е»)+... + А, (е, е,)+... + А„(е„, е»). Учитывая (15), получаем (А, е,)=А»(е», е,), ряды Фувьн Упражнении к главе ХчП (гл куп 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
