34_PiskunovT2 (523113), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Однако характер приближенного представления может быть различным. Рвс. 387, Так, например„сумма а пер- вых [ленов ряда Тейлора е„совнадает с рассматриваемой функцией в одной точке и в этой точке имеет производные до и-го порядка, совпадающие с производными рассматриваемой функции. Многочлен Лагранжа п-й степени (см. 2 9 гл. И1, т. 1) совпадает с рассматриваемой функцией в и+ 1 точках. Посмотрим, какой характер имеет приближенное представление периодической функции ((х) тригонометрическими многочленами вида э (х) = 2 + ~~~ аз соэ Йх+Ьз 3!и их, з=! где а„ат, Ь„а„Ь„- ..., а„, ܄— коэффициенты Фурье, т.
е. суммой и первых членов ряда Фурье. Сделаем сначала несколько замечаний. Допустим, что мьз рассматриваем некоторую функцию у=) (х) на отрезке [а, Ь] и хотим оценить погрешность прн замене этой функции другой функцией ср(х). Можно за меру погрешности взять шах [1(х) — зр(х) [ иа отрезке [а, Ь], т. е. так называемое наибольшее уклонение функции !р(х) от ) (х).
Но иногда естественнее за меру погрешности брать так называемое среднеквадратичное уклонение б, которое определяется равенством ь ь— 'о Поясним на рис. 387 различие между среднеквадратичным уклонением и наибольшим уклонением. пгивлижаннв в сгеднвм б',= ц„! (!'(~ — ч( )[ л а' +~", (а»созях+()»з(пях) »=! < л — '+ ~~» (а» соз йх+р» з!и Ах) »=! и и и л — (Х) !(Х 2,т 1(Х) иХ вЂ” — ~ а» ') ~(Х) СОЗЙХйХ— Г ол Г .1 — и л »=! -л л и 1 л и ,)';()» !) ~(х)зп!йх!(х+2 4 !) дх+2п ~' О!» ~ соз йхйх+ »=! -л л »=! -л л Л вЂ” Я ~ з(п»йхдх+ — а, ~~а» ~ созйхйх+ »=! -л » ! -л 1 и 1 и л и ,+ — а» ~Ч!'Ц» ) з!пйхдх+ — „~~ ч!'а»ал ') сознхсоз)хйх+ »=! -и » !!=! .л » лл/ л л л л и + — ~ '~ ~ф~~ созйхз!и!хдх+ — чи' ~~! ~»!)е *) з!паха!п)хих.
»=!! ! -и »=!1=! -л »Ф!' Пусть сплошная линия изображает функцию у = ) (Х), пунктирные линии изображают приближения. ф»(х) и !р»(х). Наибольшее уклонение кривая у=ф!(х) меньше, чем кривой у=!р»(х), но среднеквадратичное уклонение первой кривой больше, чем второй, так как кривая у=!2»(х) значительно отличается от кривой у= ! (х) только на узком участке и поэтому лучше характеризует кривую у= 1(х),,чем первая.
Вернемся теперь к нашей задаче. Пусте ди а периодическая с периодом 2п функция !".(х). Среди всех тригономе!прических многочленов и-го порядки — '+ ~ (а»созях+р»з!пйх) »=1 требуется найти путем выбора коэффициентов а» и ()» тот многочлен, для которого среднекводратичное уклонение, определяемое равенством и л » 6„' = — ') !'(х) — 2' — ~ (а» соз йх+1!» з!п Ьх) Ых, — и »=! имеет ниименыиее значение. Задача сводится к нахождению минимума функции 2п+ 1 переменных а„а„...„а О! !!3» Развернув квадрат, стоящий под знаком интеграла, и интегрируя почленно, получим !гл. хти тяды азьв Заметим, что ! Р 1 — з! 1(х)г(х=а„— ! 1(х)созйхг(х=а„, 1Р— з! 1(х) з)пйхг(х=Ь„ — коэффициенты фурье функции 1(х).
Далее, на основании формул (1) и (П) $1 имеем: при А=1 л и соз'Йх!(х=п, ') зп!!Ахи=я, при л!обык Й и 1 ~ з(п Ьхсоз1х!(х=О и при Ьчьу ~' созйхсоз)хг(х=О, ) 'з)пйхз)п)хг(х=О. Таким образом, получаем Ь„'= и л ! а = — ~ Р(х)г(х — ~~~ — ~, (!г а +()А)+ — '+ ~ ~,(М.+Ю. Л й=!. й=! Прибавляя-и вычитая сумму 2 Л '4'+ у ~(аа+Ьд, л -'(!х! — а,)'+ ~ 'Я-Иа„— аз)'+ Ԅ— Ьь)') ь=! будем иметь Ьа ! ~ р(х) ( ао ! ~! (о!+ Ь!) + ! ( )!+ — я ! ! и + — ~»., ((аь — а„)'+ ф„— Ь„)'1. ь=! Первые три слагаемых этой суммы не зависят от выбора коэффициентов а„а„..., а„, ()„..., р„.
Остальные слагаемые ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ неотрицательны. Их сумма достигает наименьшего значения (равного нулю), если положить а,=а„а,— — а„..., а„= а„, р!=Ь„... ..., ()„= Ь„. При таком выборе козффйциейтов а„а„..., а„р;,... ..., (3„ тригонометрический многочлен 2 +Х (а„сов йх+рь 3!и як) будет меньше всего отличаться от функции ~(х),в том смысле, что.среднеквадратичное уклонение 6! будет наименьшим. Таким образом, мы доказали теорему: Среди всех тригонометрических многочленов порядка и наименьшее среднеквадратичное уклонение от функции )(х) имеет пют многочлен, коэффициенты которого суть коэффициенты Фурье функции Г(х). Величина наименьшего вреднеквадратичного уклонения равна Я 2п ) ! (х) дх 4 2 Е (а~+6*"). (2) ! и ь ! Так как 6'„) О, то при любом и имеем и ! и 2'„~ 1'( ) дх ~ ф + 2 ~ч (4+ 0,).
о Й=! Следовательно, ряд, стоящий справа, при и — ' оо сходится, н мы. можем написать о М вЂ” ') Р() Ь' Ф+Е(4+Ь') Л ь=! Это соотношение называется неравенством Бесселя. Отметим без доказательства, .что для всякой ограниченной и кусочно монотонной функции среднеквадратичное уклонение; получающееся при замене данной функции и-й частичной суммой ряда Фурье, стремитсякнулюприп- оо„т.е.
6'„- О прин — оо. Но тогда из формулы (2) вытекает равенство ~ + ~ (а~ь+Ь~ь) ) )ь(х) дх, (3') А=! — о которое называется равенством Ляпунова' — Парсеваля. Заметим, что равенство Ляпунова — Парсеваля доказано для более широв кого класса функций, чем тот, который мы здесь рассматриваем. Из доказанного следует, что для функции, удовлетворяющей равенству Ляпунова (в частности, для всякой ограниченной [гл. итп анды оррьа кусочно монотонной функции), соответствующий ряд Фурье дает среднеквадратичное уклонение, равное нулю. 3 а м е ч а н и е.
Установим одно свойство коэффициентов Фурье, нужное для дальнейшего. Введем сначала определение. Функция»'(х) называется кусочно непрерывной на отрезке [а, Ь1, если она имеет конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке (или всюду непрерывна). Докажем следующее утверждение. Если функция [(х) кусочно непрерывна на отрезке [ — и, л), то ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю при л- оо, т. е. 1!ш а„=~О, !пп Ь„= О.
(4) а а Л-«а Доказательство. Если функция»(х) кусочно непрерывна на отрезке [ — л, л), то и функция»е(х) также является кусочно непрерывной на этом отрезке. Тогда )»з(х)ь[х существует и яви ляется конечным числом*). В этом случае из неравенства Бесселя (3) следует, что ряд ~ (аь+Ьк) сходится. Ноесли рядсхо««н дится, то его общий член стремится к нулю, т. е. в'данном случае 1!ш (а*„+Ь„*)=О. Отсюда непосредственно получаются раа а венства (4).
Итак, для кусочно непрерывной и ограниченной функции справедливы равенства и и 1пп ) у(х)совпис[к=О, 1пп ~ »"(х)з!ппхь[х=О. Л-«Ф а а Если функции у(х) периодична с периодом 2л, то последние равенства можно переписать следующим образом (для любого а): а+за а«за 1пп ~ [(х) соз лх ах = О, 1пп ) [(х) з!п лис[к = О. а-«а а а-«а а Заметим, что этн равенства остаются в силе, если в интегралах взять какой угодно промежуток интегрирования [а, Ь[, т. е. ь ь интегралы ~ »(х)созпхйх и ~ »(х)з!ппхйх стремятся к нулю а а при неограниченном возрастании и, если [(х) — ограниченная и кусочно непрерывная функция. Действительно, считая для определенности Ь вЂ” а ( 2л, рассмотрим вспомогательную функцию <р(х).с периодом 2тс, опреде- «» Этот иитегрзл можно представать кзк сумму опрекелепиык интегралов от непрерывнык функций по отрезкам, нз которые рззоивзетси отрезок 1 — и, и[.
ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ ленную следующим образом: 1р(х) =Г(х) при а(х(Ь, 1р (х) = О при Ь ( х ( а + 2п. Тогда дд2п ~ 1 (Х) СОЗ ЛХ1(Хпд ) 1Р (Х) СОЗ ПХЫХ, д а 2 дд2п ) ~(х) з(п пх Г(х = ) 1р (х) зт пх1(х. Так как 2~(х) есть ограниченная и кусочно непрерывная функция, то интегралы, стоящие справа, стремятся к нулю. при а — до. Следовательно, стремятся к нулю и интегралы, стоящие слева.
Таким образом, утверждение доказано, т. е. Ь ь 1пп ) ~(х)созпхдх=О, 11п1 ~~(х)з)ппх2(х=О (5) «-'» д д и д д д для любых чисел а и Ь и любой кусочно непрерывной и огра- ниченной на 1а, Ь] функции 1(х). $8. Интеграл Дирихле В этом параграфе мы выведем формулу, выражающую и-ю частичную сумму ряда Фурье через некоторый интеграл. Эта формула будет нам нужна в следующих параграфах.
Рассмотрим п-ю частичную сумму ряда. Фурье для периодической функции ~(х) с периодом 2п: и з„(х) = — '+ ~~~ (а, соз йх+Ь„з!п йх), 2 1 где л Ь„= — „1 т) з1п й1 111. ад =.— „~ ~ (г) соз йг Ж, Подставляя эти выражения в формулу для з„(х), получим з„ (х) = п и = и, 1 Ю1д' Š— „" 1! 1Д Й« ~ — '"„д1 1Д1 ««~. — и 2=1 -п -л или, подводя сов йх и з1пйх под знак интеграла (что возможно, так как созйх и з)пйх не зависят от переменной интегрирования РЯДЫ ФУРЬЕ (гл.
х(а( н, следовательно, могут рассматриваться как постоянные),,получим в.(')= —,' ~ ~(()б(+ -к к к — 1 (О( ( Й(к(- ) (щ(~ (* ив ко~. й=( -к к Вынося теперь 1(а ва скобки и заменяя сумму интегралов'инте-' гралом от суммы, получим в„(г) = — ) — + ~ ~Ц(() соь кг сов Ы+( (1) в(п йг в(п И11 (((, -к 1 й=( или „((- — „' ((О(~'.(-~;( к ~+ игк к(*(~к- —,(ю( «-т -.(о — *(1к. (ц -к йк( Преобразуем выражение, стоя(нее в квадратных скобках. Пусть ! ок (г) = — + сов г + сов 2г + ° ..
+ сов аг; тогда 2(~„(г) соз г = сов г+2 соз г соз г+2 сов г соз 2г+... + 2 сов г сов аг = =сов г+(1+сов 2г)+(соь г+ соь Зг)+ +(соь2г+соь4г)+... +(сов(а — 1) г+соз(а+1) г1= =1+2сов г+2соз2г+... +2 сов(а — 1) г+соваг+соз (а+1) г, или 2(тк (г) сов г = 2ок (г) — сов аг+ сов (а+ 1) г» и г сов кг — сов (к+1) в 2 (1 — сов 1) Но 'соваг — соь(а+1) г=2ь)п(2а+1) — вш 1 — сов г = 2 в(п*- . 2 ' Следовательно, а!п (2к+Ц— и„ (г) = 2 в(и— 2 ннтвгРАл дигнхлв Такпм пбрнзом, равенство (1) можно переписать так: 1 — в з!п(2п+1)— в„(х) = — ) г(1) „Й. -и 2в1п9 2 Так как подынтегральная функция является периодической (с периодом 2и), то интеграл сохраняет свое значение на л)обом отрезке интегрирования длины 2и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
