34_PiskunovT2 (523113), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Решение. По формуле (4) получаем х ха «,-~(+1)ох+1= — + +1, 2 «У=~ ~~+( 2 + +1) 1 их+1= 2 + — +2 — +3 — + +1, о й 27. Доказательство существования решения дпф!реренциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении Докажем далее следующую теорему. Т е о р е м а. Пусть дано дифференциальное уравнение „вЂ” «=7(х, У) и Начальное условие у= уе при (2) Пусть 1(х, у) и $„'(х, у) 'непрерывна в замкнутой области В, В(х,— а(х(х,+а, у,— Ьп~у(у,+Ь) (рис. 372). (3) Тогда в некотором интервале х,— 1<х < х,+1 (4) существует решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2); при етом решение единственно.
Число 1 будет опре- делено ниже. (хх Упек Доказательство. Заметим, что из того, что 7" (х, у) и 7' (х, у) непрерывна в замкнутой области й, следует, что сура (хр-ву) уц„у) ~~с"Леул/ шествуют такие постоянные ! М >О и Ь7) О, что для всех точек области выполняются соотношения 17(х, у))(М, (5) Рнс. 372. ~ Д,(х, у) ~ ( Ь7. (6) существовании вашнння дишовпннцилльного нрлвнвнин (Это свойство аналогично свойству, указанному в $ 10 гл. П.) ь Число 1 в равенстве (4) — наименьшее из чисел а и —, т. е.
1=ш)п(а, — ) . (7) Применим теорему Лагранжа к функции 1(х,'у) для двух произвольных точек А,(х; у,) и А,(х; у,), принадлежащих области Р: 1(х, У,) — 1(х, У,) = 1г (х, В) (У, — У,), где у; < г) < у„следовательно, ~ 1„' (х, т)) ) ( У. Поэтому для любых двух точек справедливо неравенство !Пх, у) — Нх, угН(А1Ь*-у.!*). (8) Вернемся к равенству (4) 5 26. Из него получаем с учетом равенств (5), (4), (7) )ут — уе)=~~~(х, уе)с(х[(~ ~Мг(х~ =М~х — хе((М1(Ь.
(9) Фв ае Итак, функция у=у,(х), определенная равенством (4) $26 на отрЕзке (4), не выходит из области Р. Перейдем теперь к равенству (5) й 26. Аргументы функции 1(х, уг(х)1 не выходят из области Р. Следовательно, можем написать )уз- уе ~ = ~ $ ) ~х, уг (х)) с(х ~ ( М ~ х — хе)(М1 (Ь. (10) ж Методом полной индукции можно доказать, что для любого и ) у.— у,) <Ь, (11) если х принадлежит интервалу (4). Докажем теперь, что существует предел 1пп у„(х)= у(х), (12) и-~ м и функция у(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2).
Для доказательства рассмотрим ряд у.+(ут — уе)+(у.— ут)+ "+(у. т-у. *)+(у.-у. )+," (1р) е) Заметны, что если для некоторой функцнн Г (у) удовлегворяетсн условие ! Г Ьг) — Р ЬгП ы' К! у — ги! где уе н у; — любые точки некоторой области, К вЂ” постоянное число, то зто условие называется услознем Лиингина. Таким образом, установив соотношенне (8), мы показалн, что если функция 1(х, у) имеет пронзводную —, оград1 ду ' ннченную в некоторой области, то она в этой области удовлетворяет условню Лнпшнца. Обратное угвержденне может оказаться невернын. РЯДИ (15) с общим членом и„= у„-у„п при зтсы из=-у,, Очевидно; что сумма и+ 1 членов этого ряда равна з„+г=,Я и,-=уьс (14) в=о ' Оценим члены ряда (13) по абсолютной величине! « ~ у, - у«1 = Ц ) (х, у,) ~(х ~ «~ М ~ х - хь(. «е На основании (4), (5) 3 26 и (6) находнм [у,.- у,,~.,= ~ ~, [[(х, у1) - ~ (х„у Д~Мх ~„= ~ ~Д(х, рл) (уь- у«) бх ~ ( (.~й1~.М!х-х,!<Ь=йа — 1х-,Х,.~*, (берется знак +, если х, <х, и знак —, если х,>х).
Итак, ~ у,— у;~(М вЂ”,з~х — х,~®,. 'У (16). Аналогично с учетом (16) « « ! у,-у,!=~ 1 У(х, у,) — Пх, у,)1 Ь| = ~ 1~„'(х,й,)(у,-у,)д [( «в «е г ум Ф« х — хо~ ~(х=М1.З З!х ха!~' (17) Йродолжая так и далее, найдем ~у„— у„г~ =М' —,1'х-х,1'. (16) Таким образом, для интервала ~ х — х, ~ (!функциональный ряд (13) мажорируем. Соответствующий числовой ряд с положительными членами, которые больше абсолютных величин соответствукнцих членов ряда (13), будет ж.-ч. с общим членом и„='М вЂ „, . Этот- ряд сходится, что. легко вбнаруживается по.
признаку Даламбера;. ь«-чл м (з — ЦН З зев СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ хат Итак, ряд (13) мажорируем, следовательно, он сходится. Так.как члены его являются непрерывными. функциями> то он сходится к непрерывной функции у(х). Итак, 1йп зх г= Ит у„= у(х), (20) где у (х) — непрерывная функция. Эта функция удовлетворяет начальному условию, так как для всех и Ух (хе) Уе (21) Докажем, чу 11гл '$ Цх, У„|(х)1в(х= $ К(х, У)дх, (22) х-аФ х где у(х) определена равенством (20).
Предварительно заметим следующее. Так как ряд (13) мажорируем, то из (20) следует, что для всякого з> 0 найдется такое а, что будет .!у — у.!< (23) С учетом (23) на всем интервале (4) можем написать ~ ~ ~ (х, у) в(х — ~ ~ (х, у,) Нх ) ( ~ ~ ! ~ (х, у) — ~ (х, у,) ! в(х ~ ха вва вва ( ~ ) 1Ч ! у - у„! в(х вЧВ ! х — х, ! . Но 1йп В=О. Следовательно, х аа х х 1йп ~ ~ Г(х, у) в(х — '~ Г (х, у„)х4х~ =О. и аФ ха Из последнего равенства следует равенство (22). Теперь, переходя в обоих частях равенства (21) и пределу при п оо, получим, что .У(х), определенная равенством (20), удовлетворяет уравнению у= у,+ ~ )(х, у)в(х.
хв (24) Докажем, что полученная функция у(х) удовлетворяет уравнению (1). Снова напишем последнее из равенств (6) 3 26: х Ух = Уе+ ) )' (х. У -1) Пх. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ единственно, т. е. через точку (х,; у,) проходит единственная интегральная кривая Уравнения (1). Доказательство. Допустим, что существует два решения уравнения (1), удовлетворяющие условию (2), т. е. две кривые, выходящие из точки А(х,; у,): у(х) и г(х). Следовательно, обе эти функции удовлетворяют уравнению (24) $ 27: х х у= у,+ ~ ) (х, у) дх, г = у,+ ~ ~(х, г) дх.
х~ х~ Рассмотрим разность Из этого равенства получаем ) ~ (х, у) — 1 (х, г) 1 < й( ) у ' г ) . (5) На основании (3) с учетом (5) можем написать неравенство х х 1У вЂ” г ! = ~ ') а (У вЂ” г) ахи» ~ ') й11У вЂ” г ~ ах. хг ха 1 Рассмотрим такое значение х, чтобы ) х — х,! < щ . Для опреде ленностн будем считать, что х, < х, для случая х < х,'доказательство аналогично. Пусть наибольшее значение (у — г~ на интервале х — х, <— 1 принимается при х=х' и равно Х. Тогда неравенство (6) для точки х' принимает вид 1 Х < Ф 1 Ых = ЖХ (х' — х,) < )УХ вЂ” ' < Х, (6) или При допущении существования двух различных решений пришли к противоречию.
Следовательно, решение единственно. Замечание 1. Можно показать, что решение будет единственным прн меньших требованиях на функцию ~(х, у). См., например, книгу: Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— Мхе Наука, 1970. у (х) — г (х) = ~ [~ (х, у) — 1(х, г)1 дх. (3) хО Преобразуем подынтегральную разность по формуле Лагранжа с учетом неравенства (6) 3 27: ~(., у)-~(~,.) = ~~~,"'» (у г). (4) 81(Ь ряды !Гл.
ку! Замечание 2. Если функция 7'(х, д) имеет неограниченную частную производную — в области, то могут существовать ие- д( сколько решений, удовлетворяющих уравнению (1-) и начальным условиям (2). Действительно, рассмотрим уравнение У, 3 ЗГ (7) в начальным. условием у=О при к=О. (8) Здесь — =ху-мз- оо при у О. д) ду В этом случае существуют дна решении уравнения (7), удовлетворяющие начальному условию (8): у =О, у.= лл.
В том,, что эти функции суть решения уравнения. (7); убеткдаемся; непосредственной подстановкой их в уравнение. Через начало координат проходят две интегральные кривые (рис. 373). Упражменни к главе ХЧ1 Написать несколько первых членов рядаподаниому общему членуг Рис, 37З, 1 ио (и!)в 1. и„= .. 2. и„= —, 8. ии= — ° и(и-!-1) ' ' и и+1 ° ' " (2и)! ' В и =( — 1)и+ь., Н. и = ~~"Э+ 1' — ~"~Ъ ил ' Исследовать сходимость следующих рядов: 1, 2 3, и в.
— !ь2г+ — +...+2„-+... Отв: с д юж 1 1 1 1 7. =+=+=+...+=+... Олм, Расходнзся. 8. 2+ — + — +.; . + — +... Оав. Расходится; 3 4 и+1 2 3 ''' и Э' з -+з -+" +з +... Оим. Расходится. 1 1 1 !Π— + ~ †) + ( †) +... + ~ †) +... Оим. С одитея. 1 2 3 4 л 11 — + — + — + — +...+ — +... Олм. Расхояитсв 2 5 10 17 ''' ив+1 1 1 1 1 .1 12. -+ — + — + — +...+ — '+... Оам Сходится, 2 5 1О 17 '" 1+ив Исследовззь сходимость ридев с заданными общимм членамга УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХУ! 3 1 1З.а„= —. Отв. Сходится. 14.
и„= —,. Отв. Расходится, И. и =3 и= лз и= з — ° л 1+и — — Ов!в. Расходится. 16. и„= — . Отз. Расходится. 17. а = 5л-!-1 ' 3+па и 1 1 ла+2и+3 ' . Отв. Сходится. 18. и„т= —. Отв. Расходится. 19. Дока. и- = л1„л 1 1 1 1 1 1 вать неравенство 1+ — + 3+ ° ° + — > 1п'(и+1) > — + — +" ° + — ° 2' 3 ''' и 3 "' л+1 ' 29. Применима ли теорема Лейбница к ряду 1 1 1 — — — — + + — — +...7 1 1 1 Отв. а=10з„ )72 — 1 У2+1 ~3 — 1 )73+1 ~ и — 1 ~Гп-( 1 Отв. Неприменима, так как члены ряда не убывают монотонно по .вбсо. лютной величине.
Ряд расходится. Сколько первых членов надо взять в ридах. чтобм сумма их отличалась 1 ие более чем на — от суммы соответствующего рида! 103 и 2 + +( 1)п+2 + 2 2* 23 23 ''' 2Л Отв. и 20. и 1 22 + + +( 1)п + ' 2 3 4 5 ''' и ,Отв. а=103. 1 1 1 1 1 23 — — + — — +" +( — 1)" — +"- 2з За 43 5з иа 1 1 1 1, „1 24. — — + — +... + ( — 1')" — +... 2 23 284 2о45 ''' и! Отв, л = 1О. Выяснить, какие из нижеследующнх рядов сходятся абсолютно! 1 1 1 1 '1 25.
1 — — + — -у+ — +.. +( — 1)п+т — +... Отв. Сходится. За 53 7 ' 93 (2а — 1)з абсолютно. 1 1 1 1 1 ,1 1 И, — ° — + — - — ° +( — 1)л+1 — +.... Отв. Саитдится.абсо 2 2 22 3 23 л 2" лютно. 1 1 1 1 „1 27. — — + — — +... +( — 1)" — +... Отв. Сходится условно.
' 1п2 1пЗ 1п4 1п5 "' !п-и ! ! 1 ( цп 28. -1+а — — з .-+.5-т= —" + з . +... Отв. Сходится условно. а'2 Гз /4 за~и Найти сумму ряда 1 1 1 О ' 2 2 3 2 2 3 ~ '''2 2 2222 2в~222 ~" ' ' 2 ' При канах значениях х скопится ряды: х хз х" 1+ — + — +...+93+... Опм. — 2 < х < 2.
ха, хз ха З1. Ф вЂ” + — а — й+,...+( — 1)п+1 — +.. Отв. — 4 ~в~4„ 32. За+Захе+Захе+... +3"ах"3+... Отв. (х~ < 1/3. 100х 10000хз 1000000хз +13+ 135+ 1357 +' Отв. — сз < х < са. 34. я(п х+2 з!п — +4 з1п — +... +2" в!п — +... Отв, — се < х < се. х к х 3 9 ' 3" РЯДЫ (гл. хт! 3!2 36. — "+ " +...+ " +... ОВМ.,—,1~« < !. !+)'! 2+У2 "' .+3'~ 2" 3« па 36. х+ — к'+ — «'+... + — х»+... 2! 3! ''' и! Оам. — эо < к < оэ. 2! 3! я! 37. к+ — хэ+ — хэ+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
