34_PiskunovT2 (523113), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Лсд ссодимсс Род рослодимов Род расходи:осл Рис. 365. Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходнмости и расходимости степеннбго ряда. Действительно, если х, есть точка сходимости, то весь интервал ( — [ х,[, [ х,[) заполнен точками абсолютной сходимости. Если х', †точ расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки [ ~ [ и вся полу- прямая влево от точки — [ х,'[ состоят нз точек расходимости.
Нз этого можно заключить, что существует такое число И, что при [х[(Й мы имеем точки абсолютной сходимости и при . [х[ > К вЂ” точки расходимостн. Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходнмости степеннбго ряда: Теорема 2. Областью сходимости степеннбго ряда является интервал с центром в начале координат.
Определение 2. Интервалом сходимости степенибго ряда называется такой интервал от — Я до +И, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом, абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится (рис. 366). Число Я называют. радиусом сходимости степеннбго ряда.
На концах интервала (т. е. при х=с( и при х= — Я) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. Отметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (1=0); у других охватывает всю ось Ох(И= со).. Укажем. способ определения радиуса сходимости степеннбго ряда.
Пусть имеем ряд а,+а,х+а,х'+... +а„х" +... (1) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: [ а, [ + [ а; [ [ х [ + [ а, [[ х [' + [ а, [ [ х [' + ... + [ а„ [ [ х [" + . . (6) степенные Ряды. НнтеРВАл сходнмостн Для определения сходимбсти последнего ряда,(с положительными членами1) применим признак Даламбера. — Допустим, что сущестйует предел 1йп — ""= 11!п ~'"в х» ~= 1йп ~ — ""1(л(=/-~х1. 'Тогда по признаку Даламбера ряд (6) сходится, если (.]х~ < 1, т. е. если ) х) < 1/Ь, и расходится, если Ц х( > 1, т. е. если ) х ~ > 1/Е. Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно при ! х) < 1/Ь. Если же (х~> 1/1., то 1пп — !=~к)Ь> 1, и ряд(6) расходится; »,» в» причем его общий член не стремится к нулю ").
Но тогда и общий член данного степеннбго ряда (1) не стремится к нулю, а зто значит на основании необходимого признака сходнмости, что этот степенной ряд расходится (при ~х~ > 1/1.). Из предыдущего следует, что интервал ( — 1/Е, 1/1.) есть интервал сходимости степеннбго ряда (1), т. е. Аналогичным образом для определения интервала'сходимости можно пользоваться признаком Коши, и тогда Л= Пример 1. Определить внтервал сходимости ряда !+»+ха+ха+...
+х»+... Р е ш е н и е. Применяя непосредственно признак Даламбера, получаем 1!пт ~ — ~ =)х(. Следовательно, ряд сходится при )х ! < ! и расходится при )х) > 1. Нв границах же интервала ( — 1, 1) исследование ряда с помощью признака Даламбера невозможно. Однако непосредственно видно, что при х=' — 1 н нри х= ! ряд расходится. П р имер 2. Определить интервал сходимости ряда 2х (2х)з (2х)»- в — — + — -" 1 2 3 ») Напомним, что при доказательстве признака Даламбера (см. б 4) мы обнаружили, что если 1!ш — > 1, то общий член ряда возрастает и, ело. п»»т в» довательно, не стремится к нулю.
1гл. ктг пядь! Р вше н не. Применяем признак Даламбера! (2«)а+а л+1 ! 1 — ! !2 )=!2«1. л-ь о[в+1! пш (2«) л л л-ь и Ряд сходится, если )2х) < 1, т. е. еслн )х) < 1!2! прн х=1/2 ряд сходятся) прн х= — 1(2 ряд расходятся. П р н не р 3. Определить интервал сходнмостн ряда хе хз хл «+ — + — +".+ — +" * 2! 3! '' л! Решение. Применяя признак Даламбера, получим Нш [и„+т[ Н [ х"+ л! [ 1,.ш [ х [ О<1 так как предел не зависит от х н меньше единицы, то, значит, ряд сходятся прн всех значениях х.
П р амер .4. Ряд 1+«+( )в ) ( )а+ расходится прн всех значениях х, кроме х= о, так как (лх)" — + со прн л — ь со, каково бы нн было х, отличное от нуля. Теорема 3. Степенной ряд а,+а,х+а,х'+... +а„х" + ..; (1) мажорируем. на любом отрезке [ — р, р1, целиком лежаи(ем внутри интервала сходимости. йхтахавх схоеимвстпи Лула!азах хамелмаув Рнс. Збб, Доказательство. По условию р< Я (рис. Збб), а потому числовой ряд (с положительными членами) !а.!+1ат)р+~а,!рв+...+!а„!Рв+.;.
(7) сходится. Но при ! х ~ < р члены ряда (1) по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда (7). Следовательно, ряд (1) мажорируем на отрезке 1 в р, р). С л е д с т в и е 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция. Действительно, на этом отрезке ряд мажорируем, а члены его являются непрерывными функциями от х.
Следовательно, на основании теоремы 1 й 11 сумма этого ряда есть непрерывная функция. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Следствие 2. Если пределы интегрирования и, р лежат внутри интервала сходимости степенндго ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда, так как р о в л Рис. 367, область интегрированиц можно заключить в отрезок[ — р, р1, где ряд мажорируем (рис. 367) (см. теорему 1 5 12 о возможности почленного интегрирования мажорируемого ряда). $14. Дифференцирование степеннйх рядов Теорема 1; Если степенной ряд з(х)=а,+а,х+а,х'+а,х'+а,х'+...
+алхл+ ..: имеет интервал сходимости ( — )с, )с), то ряд <р(х)=а,+2а,х+3алх'+... +палхл '+..., (2) полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости ( — К, 11); при етом ~р(х)=з'(х), если ~ х~ < )т, т. е. внутри интервала сходимости производная от суммы степенндго ряда (1) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (1). 0 м Р ал вл""т Рас. 368 Доказательство. 'Докажем, что ряд (2) мажорируем на любом отрезке [ — р, р1„целиком лежащем внутри интервала .сходимости.
Возьмем точку $ такую, что р < $ < 1с (рис. 368). В этой точке ряд (1) сходитсй, следовательно, Вщ а„$л=О, поэтому можно л-»л указать такое постоянное число М, что (акал ( < Я (и = 1 2, Если ~х~ <р, то 1на„ял '( =.)Па„Рл ''1=а~а Ел Ц~ — О~ <П Ол-' 1гл. ххг РЯДЫ где о= — <1, Р $ Таким образом, члены ряда '(2) при ~х(<р по абсолютной величине меньше членов числового положительного ряда с постоянными членами — "' (1+2ц+Зу +...
+пу — +...). $ Но последний ряд сходится, в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера: явп-1 , 1(ш („ц .-в=у<1. Следовательно, ряд (2) мажорируем на отрезке 1 — р, р), и на ъсноваиии теоремы 2 у 12 его сумма есть производная от суммы данного ряда на отрезке ( — р, р), т. е. <р (х) = з' (х). Так как всякую внутреннюю точку интервала( — Я, )с)можно заключить в некоторый отрезок 1 — р, р), то отсюда следует, что ряд (2) сходится в любой внутренней точке интервала ( — К, )с).
Докажем, что вне интервала ( — )г, Я) ряд (2) расходится. Допустим, что ряд (2) сходится при х, > Я. Интегрируя его почлеиио в интервале (О, х,), где Я < х, <х,, мы получили бы, что ряд (1) сходится в точке х„а это'противоречит условиям теоремы. Таким образом, интервал ( — )с, К) есть интервал сходимости ряда (2). Теорема полностью доказана. Ряд (2) снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз. Таким образом, получаем вывод: Т е о р ем а 2.
Если степенной ряд сходится в интервале ( — )т, )т), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, получившегося в результате дифференцирования, есть тот жеинтервал ( — К, гг). $15, Ряды по степеням х — а Степенно)м рядом также называется функциональный ряд вида а,+а,(х — а)+а,(х — а)'+...
+а„(х — а)" +..., (1) где постоянные а„а;, ..., а„, ... также называются коэффициентами ряда. Это — степенной ряд, расположенный по степеням двучлена х — а. РЯДЫ по Степеням х — а При а=О получаем степенной ряд, расположенный по степеням х, который, следовательно, является частным случаем ряда (1). Для определения области сходимости ряда (1) произведем в. нем замену переменной х — а=Х. После этой замены ряд (1) примет вид ав+ааХ+ааХт+...
+авХв+..., (2) т. е. получили степенной ряд, расположенный по степеням Х. Пусть интервал — )г < Х < гг есть интервал сходимости ряда (2) (рис. 369; а), Отсюда следует, что ряд (1) будет сходиться при тг Рнс. Збэ. Рнс. ЗУО. (х — 2)+(х — 2)т+(х — 2)т+... +(х — 2)" +., Решение.
Положив х — 2=Х, получим ряд Х+ Хт+ Хз.)-...+ Хн+ Эттот ряд сходятся прн —.1 < Х <+1. Следовательно, данный ряд сходится прн всех х, для которых —.1 < х — 2 < 1, т. е. прн 1 < х <'3 (рнс. 370). значениях к, удовлетворяющих неравенству — )т < х.— а < К или а — )с х<а+тг. Так как ряд (2) расходится при 1Х~>)т, то ряд (!) будет расходиться'при ~ х — а ~ > Й, т. е.
будет расходиться вне интервала а — )т .,х< а+И (рис. 369, Р). Следовательно, интервалом сходимости ряда (1) будет интервал (а †)т, а+)т) с центром в точке а. Все свойства степеннбго ряда, расположенного по степеням х, внутри интервала сходимости ( — К, +)г) полностью сохраняются для степеннбго ряда, расположенного но степеням х — а, внутри интервала сходимости (а — К, а+)т).
Так, например, после почленного интегрирования степеийбго ряда (1), если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости (а — )т, а+К), получается ряд, суммакоторого равняется соответствующему интегралу от суммы данного ряда (1). Прн почленном дифференцировании степеннбго ряда (1) при всех х, лежащих внутри интервала сходимости (а — )т, а+К), получается ряд, сумма которого равняется производной от суммы данного ряда (1). П р н м е р. Найти область сходнмостн ряда гяды $10. Ряды Тейлора и Маклорена 1гл. хд В $ 6 главы 1Ч (т. 1) было показано, что для функции 1(х), имеющей все производные до (и+1)-го порядка включительно, в окрестности точки ха а (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
