34_PiskunovT2 (523113), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

1), то сходится и ряд (1); 2) если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1). Доказательство. Изобразим члены ряда геометрически,откладывая по оси абсцисс' номера 1, 2, 3, ...,'п,'и-1- 1, ... членов ряда, а по оси ординат — соответствующие значения членов ряда иг, и„...;и„, ... (рис. 360). Рис, 360. Рас. 361, Построим на том же чертеже график непрерывной невозрастающей функции у=1 (х), удовлетворяющей условию (2). Рассматривая рис.

360, замечаем, что первый из построенных прямоугольников имеет основание, равное 1, и высоту г(1) =и!. Следовательно, площадь этого прямоугольника равна и!. Площадь второго прямоугольника равна и; и т. д.; наконец, площадь последнего (и-го) нз построенных прямоугольников равна и„.

Сумма площадей построенных прямоугольников равна сумме в„первых и членов ряда. С другой стороны, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками, заключает область, ограниченнукь кривой у=)(х) и.прямыми х=1, х=п+1, у=0; площадь этой к+ ! области равна ) (х) ах. Следовательно, л+ ! $61 интеГРАльнын пРизнАк сходимости РядА 259 Рассмотрим теперь рис. 361. Здесь первый (слева) из построенных прямоугольников имеет высоту„и;, следовательно, его площадь также равна и;.

Площадь второго прямоугольника равна ил и т. д. Площадь последнего из построенных прямоугольников равна и„+!. Следовательно, сумма площадей всех построенных прямоугольников равна сумме всех членов 1 ряда, начиная от второго до (л+ 1)-го, т. е.

равна эл+г — и;. С другой стороны, как легко видеть, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками, содержится внутри криволинейной фигуры, ограниченной кривой у=Г(х) и прямыми х= 1, х= и + 1,у= О. Площадь этой криволинейной фигуры равна л+1 ) (х) «(х. Следовательно, 1 з„+! — и,< ') 1(х)«(х, 1 откуда »+! зл+,< ~ 1(х)«(х+и!. (4) ! Рассмотрим теперь оба случая. +Ф 1) предположим, что интеграл 1(х) «)х сходится, т. е, имеет конечное значение.

Так как л+1 1 Нх)1 < 1 Пх)Ь, 1 1 то в силу неравенства (4) + Ф э„< з„+«< ) ) (х) «(х+и!, 1 т. е. частичная сумма з„остается ограниченной при всех значениях и. Но при увеличении п она возрастает, таи как все члены ил положительны. Следовательно, эл при а- оо имеет конечный предел 1пп зл=з, т. е. ряд сходится.

Л"+ Ф +Ф 2) Предположим далее, что 1(х) «1х= со. Это значит, что »+1 1(х) «)х неограниченно возрастает при возрастании и, Но тогда ряды йгл. дт1 ,ййф в силу неравенства (3) з„также неограниченно возрастает при возрастании л, т. е.

ряд расходится. Таким образом, теорема полностью доказана'. 3 а м е ч а н и е. Доказанная теорема остается справедливой, если неравенства (!') выполняются, лишь начиная с некоторого У. П р и м е р. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 ! 1Р+2Р+Зя+ ' "'+ля+' ' ' Решен ие. Применим интегральный признак, положив Ях)=1/хя, Зта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим интеграл У ! !М ! 1 — р 1! 1 — р — хх-г~ = — (М'-г — !) прн р Ф 1, 1и к~~ — — 1пУ при р =1. я'стренляя )т' к бесконечности, выясним, сходится ли несобственный интеграл в различвых случаях. На основе этого можно будет судить о сходнмостн илн расходимости ряда при различных значениях р.

и Гля 1 В случае р > 1 будет ! — = —, т. е, интеграл конечен н, следова- Р 1 ! тельно, ряд сходится; Г Нх в случае р < 1 будет ! — =ю — интеграл бесконечен, ряд расходится; ,) кг 1 ° . в случае р='1 будет — =со — интеграл бесконечен, ряд расходится. Замесим, что ни признак Даламбера, нн прязнак Коши, рассмотренные ранее, не решают вопроса о сходимосгн этого ряда, так как а„» Хо+1 Г - Вш р' а„= Вш ~/ — =!!ш ~ ~/ — ) =1~ =!.

а ' и ля л,п $7. с)накочередувщиеся ряды. Теорема Лейбница До сих пор мы рассматривали ряды, члены которых положительны. В этом параграфе будем рассматривать ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т. е. ряды вида их — И,+и,— й;+..., где ио и„..., и„... положительны. Щ»«! ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА Теорема Лейбница.

Если е знаночередуюи(емся ряде ив — и, + и, — и, +... (и„) О) (1) члены пюноеы, члю (2) и;) и,) и,)., и 1пп и„=О, л-» л пю ряд (1) сходится, его сумма положительна и не прееосходигп первого члена. Доказательство. Рассмотрим сумму п=2т первых членов ряда (1): в, =(и,— и,)+(и,— и,)+...+(и, в — и, ). Из условия (2) следует, что выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, сумма з, положительна, и возрастает с возрастанием т. Запишем теперь эту же сумму так: в, ='и« вЂ” (и,— и,) — (и,— и,) —...

— (и,„,— и»„в) — и, . В силу условия (2) каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из ив мы получим число, меньшее и;, т. е. з, <ио , Таким образом, мы установили, что з,„при возрастании т возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что з,„имеет предел з: 1ппв, =в, л».» Ф причем О < з < и,. Однако сходимость ряда еще не доказана; мы доказали только, что последовательность «четных» частичных сумм имеет пределоМ число з.

Докажем теперь, что «нечетные» частичные 'суммы также стремятся к пределу з. Рассмотрим для этого сумму и = 2т+1 первых членов ряда (1): вьл+* =. Ввл+ и«л+«. Так как по условию (3) 1цп . и, +в —— О, то, следовательно« Иш в,„+,— — 11ш з,„,+ 1нпи, +,— — 1пп з, ='з. »л а Тем самым мы доказали, что 1цп з„=з как при четном и, так и при нечетном и.

Следовательно, ряд (1) сходится, 1гл. кчг ряды Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (2) выполняются, начиная с некоторого гч'. Замечание 2. Теорема Лейбница иллюстрируется геометрически следующим образом. Будем на числовой прямой откладывать частичные суммы (рис. 362) ах=их, я,=и,— и,=з,— и„я,=я,+и„з, я,— и„з,=з,+и, и т.

д. Точки, соответствующие частичным суммам, будут приближаться к некоторой точке з, которая изображает сумму ряда. При этом точки, соответствующие четным частичным суммам, располагаются слева от я, а точки, ° соответствующие из нечетным частичным сумме мам,— справа от з. пг Замечание 3. Если иа знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теоремы Лейбница, то нетрудРис, 362, но оценить погрешность, ко- торая получится, если заменить его сумму я частичной суммой з„. При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с й+1.

Но эти числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда (т. е. меньше и„+г). Значит, погрешность, получающаяся прн замене з на зл, йе превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Пр имер 1. Ряд 1 1 1 1 ††+ ††-+" 2 3 4 сходится, так как 1) 1 > 1!2 > !!3 > ...; 2) Итп и = Иш !Ул = О. л-~а л-~е Сумма а первых членов етого ряда ! 1 1 1 а =1 — + — — +„.+( — 1) +'— а 2 3 ч отличается от суммы ряда я иа величину, меньшую 1/(а+1).

Пример 2.. Ряд 1 1 1 1 — + — — +.„ 2! 3! 4! сходится в силу теоремы Лейбивца. знлкопврвмвнныв ряды й 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Рассмотренные в предыдущем параграфе знакочередующи ряды являются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов. Мы рассмотрим здесь некоторые свойства знакопеременных рядов.

При этом в отличие от соглашения, принятого в предыдущем параграфе, мы будем теперь полагать, что числа и;, и„ ..., и„, ... могут быть как положительными, так и отрицательными. Прежде всего, дадим один важный достаточный признак сходнмости зракопеременного ряда. Теорема 1. Если знакопеременный ряд и1+из+" +ив+"- (1) таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, 1и,1+1из )+...

+) и„~+: (2) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится. Доказательство. Пусть з и о — суммы и первых,членов рядов (1) и (2). Пусть далее з„' — сумма всех положительных, а з„— сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых и членов данного ряда; тогда з„= з„' — 4, о„= з„'+ з„". По условию, о„имеет предел о; з„' и з"„— положительные возрастающие величины, меньшие о. Следовательно, они имеют пределы з' и з". Из соотношения з„=з„' — з"„следует, что и з„имеет предел и этот предел равен з' — з", т.

е. знакопеременный ряд (1) сходится. Доказанная теорема дает возможность судить о сходимости некоторых знакоперемеиных рядов. Исследование вопроса о сходимости зиакоперемепного ряда сводится в этом случае к исследованию ряда с положительными членами. Рассмотрим два примера. П р и м е р 1. Исследовать сходнмость ряда з1п а+ай 2а+з1п За+ +з1п ла (3) 1з 2з У ''' лз тдя а — любое число. Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряды (гл.

хиг РЯДЫ 1. 1 1 1 1з-(.2а+зз+" + — „а+" (5) Решение. Наряду с данным рядоль рассмотрим рид 1 ! 1 1 3 + зз + Зз + ' ' '+3" + ' ' ' (7) Зтот ряд сходится, так как он является убывающей геометрической прогрессией со знаменателем !/3. Но тогда сходится и заданный ряд (6), так как абсолютные величины его членов меньше соответствующих членов ряда (7). Заметим, что признак сходимости, доказанной выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующегася ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды.

Характеристики

Список файлов книги