34_PiskunovT2 (523113), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Непрерывность суммы ряда Пусть имеем ряд из непрерывных функций и, (х) + и, (х) +... + и, (х) +...'; сходящийся на некотором отрезке [а, Ь). В главе 11(т. 1) мы доказали теорему о том, что сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Для суммы ряда (состоящего из бесконечного числа слагаемых) это свойство не сохраняется. Некоторые функциональные ряды с непрерывными членамк имеют в качестве суммы непрерывную функцию, у других функциональных рядов с непрерывными членами сумма является разрывной функцией. П р н м е р. Рассмотрим ряд ((из „)+(„Пз ямз)+(хт/т „Ыа)+ ( ( тизя+П хтдзл-т))+ Члены зтоуо ряда (каждый нз ннх заключен в скобки) суть непрерывные функции прн всех значениях к. Докажем, что зтот ряд сходится н есо сумма есть.

разрывная фуякцпя. Найдем сумму и первых членов зтого ряда: з„ вЂ” хзлз"+о †. Найдем сумму ряда: 1гл..хиз ряды если х)0, то з= Иа з„(х)= Иа (халяв+Ы вЂ” х)=1 — х, если х(0, то з= Ипг з„(х)= Иа ( — ) х)здз"+Ы вЂ” х)= — 1 — х, л ~м я+а если х=О, то з„=О, н поэтому з= Иа з„=О. в-~м Таким образом, имеем з(х)= — 1 — х при х < 0„ з(х)=0 при х=О, 5 (х) = 1 — и при х ~ 0' Итак, сумма приведенного ряда есть функция разрывная.

Ее график изображен на рис. 364, где показаны также графики частичных сумм зу(х), зз(х) и зз-(х). Рис. 364 Для мажорируемых рядов справедлива следующая теорема. Теорема. Сумма ряда непрерывнзгх функций, момварируе-моео на некотором отрезке [а, Ь1, есть функция, неиререгвнаа на этом отрезке. Доказательство. Пусть имеем мажорируемый.на.отрезке [а, Ь1 ряд непрерывных функций и,(х)+и,(х)+и,(х)+ ... ()) Представим его сумму в виде з (х) = з, (х)+ г„(х), где е„'(х) = и, (х)+... + и (х), з'щ иапгегывность суммы РядА г„(х)=и„+;(х)+и„+,(х)+...

Возьмем на отрезке [а, Ь1 произвольное значение аргумента» и придаднм ему такое приращение Ьх, чтобы точка х+Ьх лежала тоже на отрезке [а, Ь). Введем обозначения Ьз = з (х+ Ьх)' — з (х), Ьз„= з„(х+ Ьх) — з„(х), тогда Ьз = Ьз„+ г„(х+ Ьх) — г„,(х), откуда [ Ьз ( < ) Ьз„~ + ~ г„(х+Ьх) ~+ ~ г„(х) ~. (2) Это неравенство справе(тливо для любого номера л Чтобы доказать непрерывность з(х), нужно показать, что при любом наперед заданном и как угодно малом з > О найдется число б > О такое, что при всех ~ Ьх ( < б будет ~ Ьз ~ < е. Так как данный ряд (1) мажорнруемый, то при любом наперед заданном е> О найдется такой ноцер У, что при всех а~~У, и- в частности при а=У, будет выполняться неравенство ) гь (х) ~ < з/3 ' (3) при любом х из отрезка [а, Ь1.

Значение х+Ьх лежит на отрезке [а, Ь1 и потому выполняется неравенство ~ гл(х+ Ьх) ~ < з/3. (3') Далее, при выбранном Ф частичная сумма з~(х) есть функция непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и, следовательно, можно подобрать такое положительное число:б~ что для всякого Ьх, удовлетворяющего условию ~Ьх~ < 6, выпол-.

няется неравенство !А,!< зГ3. На основании. неравенств (2), (3), (3') и (4) получаем: !Ьз~<з+з+з=" е е е т. е. ~Ьз( < з при ~Ьх~ < б, ' а это и означает, что з (х) является непрерывной функцией в точке»- (и, следовательно, в любой точке отрезка [а, Ь~).

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке [а, Ь1 разрывиа, то ряд не мажорируем на этом отрезке. В частности, не мажорируемым (на любом отрезке, содержащем точку х= О, т. е. точку разрыва суммы ряда) является ряд, приведенный в примере. ~гл. хчт инды Отметим, наконец, что обратное предложение неверно: существуют ряды, не .мажорируемые на отрезке и, однако, сходящиеся на этом отрезке к йепрерывной функции. В частности, всякий равномерно сходящийся на отрезке [а, Ь1 ряд (даже если он не мажорируем) имеет в качестве. суммы непрерывную функцию (конечно, если все члены ряда непрерывны). й 12.

Интегрирование и дифференцирование рядов Теорема 1. Пусть имеем ряд непрерывных функций и;(х)+и,(х)+... +и„(х)+..., (1) мажорируемый на отрезке [а, Ь1, и пусть з(х) есть сумма этого ряда. Тогда интеграл от з(х) в пределах от а до х, принадлежатцих отрезку [а, Ь), равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т. е. х х х и ~ з (г) й( = ) и, (г) йг+ ~ и, (1) й1+... + ~ и„(1) а1 +... а а а а Доказательство. Функцию з(х) можно представить ввиде з.(х) = з„(х) + г„(х), или з(х)=и,(х)+и,(х)+... +и„(х)+г„(х). Тогда х х х х . $ з (1)Ж = ) и, (1) сЫ+ $ и, Я й(+...

+ ~ и„(1) й() -1- $ г„(1) й (2) а а а а а (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых). Так как исходный ряд (1) мажорируем, то при любомх имеем ) г„(х) ~ < е„, где е„— О при и — оо. Поэтому *) х х х ! ~ г„(1) Ж ~ ( ~ ~ ~ г„(1) ! Й < ~ ~ е„й( = ~ е„(х — а) ( е„(Ь вЂ” а). а а а Так как е„— О, то х 11щ ~ г„(1) й( = О. в-~аа Но из равенства (2) получаем: х х гх 'н 1 .в~и=1*(ех — [1,р)хе...е1~р~х~, а а а а ') В приводимых ниже оценках при а < х берется вник+, а при х < ив внак —. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕЕЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ 273: $ ыр Следовательно, ГХ гх в -~1.Ф -[1.а.:..1.а )-, а.+а ~а а а или Гх х х 1нп ~ ~ и, (1) й(+... + )г и, (1) йг ~ = ~ з (Г') М. (3) а а а Сумма, стоящая в квадратных скобках, есть частичная сумма ряда х ~ и, (1) йг+...

+ ~ и„(Г)Ж + .. (4) Поскольку частичные суммы этого ряда имеют предел, этот ряд сходится и его сумма в силу равенства (3) равна ~ з(1)й(, т. е. а х х х х ~ з (л) Й = ~ и, (1) й(+ ~ и, (1) й(+... + ~ и„(1) й(+..., а зто и есть равенство, которое требовалось доказать. 3 а м е ч а и и е 1. Если .ряд не мажорируем, ' то почленное интегрирование ряда не всегда возможно. Это надо понимать в том смысле, что интеграл ) з(1)йг от.суммы ряда (1) не всегда равен а сумме интегралов от его членов (т.

е, сумме ряда (4)). Теор е-ма 2. Если ряд и,(х)+и,(х)+... +и„(х)+..., составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке (а, Ь1„сходится на зшом отрезке к сумме з(х) и ряд и,"(х)+и',(х)+...+й (х)+..., . (6) До к а за тельетво. Обозначим через г (х) сумму ряда (6): г" (х) = и', (х) + и; (х) +... + и'„(х) +..., и докажем, что Р (х) .=.

з' (х). составленный из производных его членов, мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т. е. з' (х) = и', (х) + и', (х) + и', (х) +... + и„' (х) +... 1гл. хвт виды. Так как ряд (6) мажорируем, то на основании предыдущей теоремы ~ Р (1) Ш = ~ и', (1) Й + ~ и,' (1) с(1+... + ~ и'„(1) с(1 +... а а а а Производя интегрирование, будем иметь ~Р(1)й= = [и, (х) — и, (с)) 1+[, (х) — и, (сс))+... +[и„(х) — и„(сс)1+... Нц, по условию з (х) = и; (х) + и, (х) +... + и„(х) +..., з(сс) = и;(а)+и,(сс)+...

+и„(сс)+..., каковы бы ни были числа х и сз на отрезке [а, Ь)с Поэтомух ) Р (1) с(1 = з (х) — з (сх). Дифференцируя по х обе части последнего равенства, получим Р (х) = з' (х); Таким образом, мы доказали, что при выполнении условий теоремы производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда. Замечание 2.

Требование мажорируемости ряда производных является: весьма сугцествеиным, и его невыполнение может привести к невозможности почленного дифференцирования ряда. В подтверждение этого приведем. пример. мажорируемого ряда, ие допускающего почленного дифференцирования. Рассмотрим ряд в1п 14х Мп 2вх в1п 34х в$п аах — + — + — + ° ° ° + — + °" 1в 2в Зв ''' ав Этот ряд сходится к непрерывной функции, так как ои мажорируем; Действительно, при любом х его члены по абсолютной величине меньше членов числового сходящегося ряда с положительными членами, 1,! 1 1 Напишем ряд, составленный из производных членов исходного ряда: воз х+2'соз 24)с+... +ив сов и'х+ ...

вм1 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ .Ехб Этот рядтрасходится. Так, например, при х=О он превращается .в ряд 1+2'+3'+ .. +и*+... (Можно показать, что он расходится не только при .х=,О.) .й 13, Степеинйе ряды. Интервал сходимости Определение 1. Степеннь)м рядом называется функциональный ряд вида а, + а„х+ а,х'+... +а„х" +..., (1) где а„а;, а„..., а„, ... — постоянные числа, называемые коэффициентами, ряда. Областью сходимости степеннбго ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Для того, чтобы убедиться в этом, докажем сначала следующую теорему, очень важную для всея-теории степеннйх рядов. Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд сходится при некотором значении х„не равном нулю, то.он абсолютно сходится при всяком значении х, длл которого ~ х ~ < ~ х, ~; 2) если ряд расходится при некотором значении х'„та он расходится при всяком х, для каторзгз ~х~ > )х', ). Доказательство. 1) Так как по предположению числовой рид а,+а,х,+а,х,'+...

+а„х,"+... '(2) сходится, то его общий член а„х,"- О при и- оо, а это значит, что существует такое положительное число М, что все.члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд (1) в виде а,+а,х,( — „)+а,х',( — ) +...+а„хо Я +.. (3) и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов: ' ) а, ~+ ~ а,х, ~ ~ — ~+ ~ а,х, ') ~ —" ~ +... + ~ а„)~м ~! —" ~ +...

(4) Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда М+М~ — „" ~+М~ — „" ~ +...+М~ — "~ +.... (5) При ~ х ~ < ) х, ) последний ряд представляет собой геометрическую х ~ прогрессию со знаменателем,~ — ~ < 1 и, следовательно сходится. Ф Так'как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (б), то ряд (4) тоже сходится, а это и значит, что ряд (3) или (1) схо~дится абсолютно. 1гл. хтн гяды 2) Теперь .нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке х; ряд (1) расходится.

Тогда он будет расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию [х[> [х,'[. Действительно, если бы в какой-либо точке х, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке х„ так как [х,'[( [х[. Но это противоречит условию, что в точке хо Ряд Расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. Таким образом, теорема полностью доказана.

Характеристики

Список файлов книги