34_PiskunovT2 (523113), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

Таким образом, у~ является частным решением уравнения(!). Установим далее условия, при которых и при втором корне г,= — р определятся все коэффицценты а„. Это будет,, если при любом целом четном положительном й выполняются неравенства (г,+А)' — р'~О, (6) или г,+й'~р. Но р = гт, следовательно, г,+АФгп Таким образом, условие (6) в этом случае эквивалентно сле- дующему: г; — г,ФЙ, где й — целое четное положительное число.

Но г,=р, г,= — р, урдвненне весселя следовательно, гт — г, = 2р. Таким образом, если р не равно целому числу, то можно напи- сать второе частное решение, которое получается из выражения (5) заменой р на — р: рз=Х ~ й( 2р ).2) 2.4( — 2р+2) ( — 2р+4) +...1. 5 2 4 6( — 2р+2) ( — 2р+4)( — 2р+6) ' ' ']' Степеннйе ряды (5) и (5') сходятся при всех значениях х, что легко обнаружить на основании признака Даламбера.

Также оце- видно, что ут а уз линейно независимы*). Решение уп умноженное на некоторую постоянную, называется функцией Бесселя первого рода р-го порядка и обозначается сим- волом Хр Решение уз обозначают символом Х Таким образом, при р, не равном целому чйслу, общее реше- ние уравнения (1) имеет вид р=С,Х,+С,Х,. Так, например, при р=1/2 ряд (5) будет иметь вид 2.3+2 4;3 6 2 4.6 3 6 7+' ' '] за „« У-л ~ 3( 6( И, Это решение, умноженное иа постоянный множитель')ГЩ"назы- вается бесселевой функцией Хз~з, заметим, что в скобкак стоит ряд, сумма которого равна з!пх. Следовательно, Г 2 Хзуз (х) = зу — з(п х. Точно так же, пользуясь формулой (5'), получим Г 2 Х-тм(х) = у — созх.

Общий интеграл уравнения (1) при р=1/2 будет у=С,Хз~з(х)+С,Х км(х). «) Линейная независимость функций проверяется следунвцим образом. Рассмотрим отношение к' + з' Рз зр 2( — 2Р+2) 2 4( — 2Р-(-2)( — 2р.( 4) рз — ' ! хз л« 2 (2р+2) 2 4 (2р-(-2) (2р+4) Это ооотношение не является постоянным, так как при з — «О ойо стреыится к бесконечности. Следоватеиьно, функции у, н уз линейно независимы.

(гл. астм ряды Пусть, далее, р есть целое число, которое обозначим через п(п)О). Решение (5) в этом случае будет иметь смысл и является первым частным решением уравнения (1). Но решение (5') не будет иметь смысла, так как один из множителей знаменателя в разложении обратится в нуль. При целом положительном р=п бесселева функция Х„определяется рядом (5), умноженным на постоянный множитель — „„, 1 (и при п=О умноженным на 1): Г к' ка а( ) = 2ья! ) 2(2п+2) +2.4(2п+2)(2в+4) ке 2 4 6 (Ял+2) (2п+4) (2»+6)+ ' ' 'Я а о( ) Х т! (я+т)1 ~ 2 1 Можно показать, что второе частное ршнение в втвм яхяучае нужно искать в форме Ф К„(х)=1„(х))пх+х ",Ялб»я»а »=о Подставляя это выражение в уравнение (1), мы определим коэффициенты Ь».

Функция К,(х) с определенными таким образом коэффициентами, умноженйая на некоторую постоянную, называется функ!4ием Бяссаи япю)гого рода п то порядка. Это есть второе решение уравнения (1), образующее с первым линейно независимую систему. Общий интеграл будет иметь вид у = Ст/„(х)+ С,К„(х). (8) Отметим, что Иш К„(х) = оо. а-~ о Следовательно, если мы хотим рассматривать конечные решения при х=О, то в формуле (8) мы должны полшкить:С,=а).

Пример. Найти решение уравнения Бесселя нри р=о 1 у+к р+у удовлетворяющее начальным условиям: нрн к=о у=2, у =О. Решеяие. На основании формулы (7) находим одно частное решение: И ряды с комплпксными членами 2 24, Ряды с комплексными членами Рассмотрим последовательность комплексных чисел го г.... ... г„, ..., где г»=па+(Ь, (и=1, 2...). Определение 1'. Комплексное число г,=а+(Ь называется пределом лослгдовалгельности комплексных чисел г„= а + (Ь,.если Бш (г„— г,)=0. (1) Напишем условие (1) в развернутом виде: г„— г,,=(а +гЬ„) — (а+(Ь) =(а„— а)+г(Ь„.— Ь), 1пп (г„— г,(= 1пп )Г(а„— а)з+(܄— Ь)е =0; (2) »+а На основании равенства (2) следует, что условие (1) будет выполняться только тогда, когда будут выполнятьси условия. Иш а =а, 1пп Ь„=Ь.

(3) » ~Ф заставим ряд из комплексных чисел гвг+гоа+... +ш„+...г где гн„= и»+(о» (и = 1, 2, ...). (4) Рассмотрим сумму и членов ряда (4), которуго обозначим через з„: гй = гнг+пга+ " ° + гн» (Й з„есть комплексное числа з.= Х,па +',Хна Пользуясь ятям решением, можно написать решенно, уиовяетаеряшщее данным начальным условиям, Е именно: у=2ао (х). Замечание. Если бы нам нужно было иайтя общий интеграл данного уравнения, то мы ешли бы искать второе частное решение в форме М г(а (х)=»е(х) 1пх+ ~ баха. л»о Не приммиь всех вычислений, укажем, что:второе частное решение, которое мы обозначим г(е (х), имеет вид Х '(х) Хе(х)!пх+ а тС2) ( +2)+ тт(2)' (1+2+ ) Эта функпня, умноженная на некоторый постоянный множитель, называется Гййнхциа» Бесселя впюроао рода нухегого порядка, 1гл.

хт1 Определение 2. Если существует предел 1пп з„=а=А+(В, то ряд (4) называется сходящимся рядом и з называется его суммой: Ю з= ~ вь=А+(В. (7) ь~1 На основании равенств (3) из условия (6) следуют равенства л А= 1пп ~ и„, л -~. ы ь=! В= !пп ~ ою л-~ ~ ь=~ (8) Если не существует 1пп з„, то ряд (4) называется расходящимся. Для исследования сходимости ряда (4) аффективной является следукхцая теорема. Теорема 1. Если сходится ряд, 'составленный иэ модулей членов ряда (4), ! в, !+ ! в, !+ ..: '+ ! в„!+..., где ! в„! = 'г' йь+ о„', (9) то сходится ряд (4). Доказательство.

Из сходимости ряда (9). и условий !и„!<Уи'+о'.=!в„(, )о„!<Ф и.'+о'.=!в„! следуют равенства (8) (на основании соответствующей теоремы об абсолютной сходимости рядов с действительными членами), а следовательно-, равенство (7). Доказанная теорема позволяет применять для исследования сходимости рядов с комплексными членами,все достаточные признаки сходимостн рядов с положительными членами, В 25. Степеннйе ряды с комплексной переменной где 'г=х+(у — комплексная переменная, х и у — действительные числа, с„— постоянные комплексные илн действительные числа, называется степенным рядом, с комплексной переменной.

Для таких степенных рядов существует теория, аналогичная теории степеннйх рядов с действительными членами. Определение 2. Совокупность значений.г на плоскости комплексной переменной, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимосгпи степеннбго ряда' (1) (при каждом Перейдем теперь к рассмотрению степенных рядов с комплексными членами. Определение 1. Ряд ср+ С~Я + сее + ° ° ° + сиз" + аг4! ' ствпвнныв ьяды с комплекснои пвьвмвннон 3о! конкретном значении' г ряд (1) превращается в числовой ряд с комплексными членами типа (4) $ 24).

Определение 3. Ряд(1) называется абсолютно схсдяи(имея, если сходится,ряд, составленный из модулей его членов, !с,!+)с,г~+~с,г'!+... +)с„г" (+... (2) Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1. Область сходимссти степеннбео ряда с комплексными членами (1) есть круг на плоскости комплексной переменной г с центром в начале координат. Его называют кругом сходимости. В точках, лезсащих внутри круга схсдимости, ряд (1) сходится абсолютно. Радиус круга сходимости й называют радиусом схсдимости степеннбго ряда.

Если !4 †ради сходимости степеннбго ряда (1), то пишут,' что ряд сходится в области !г~(Й. (Аналогично вопросу о сходимости степеннбго ряда с действительной переменной,на концах интервала вопрос о сходнмости ряда в точках границы !г!=14 решается дополнительным исследованием.) Заметим, что в зависимости от характера коэффициентов с„ радиус сходнмости !г может иметь любое значение от Я =О до Я = ьо, В первом случае ряд сходится только в точке г = О, в последнем случае ряд сходится при любом значении г.

Напишем равенство 7(г) = с, + с,г+ с,г'+... + с„г" +... (3) Если г будет принимать различные значения внутри круга сходимости, то функция 7(г) будет принимать различные значения. Таким образом, каждый степенной ряд с комплексной переменной определяет внутри круга сходимости соответствукицую функцию комплексной переменной. Это аналитическая функция комплексной переменной. Приведем примеры функций комплексной переменной, определенных степенными рядами с комплексной переменной.

1) е' = 1+ г+.2)-+ —, +... + — ', +... (4) Это показательном функция комплексной переменной. Если у=О, то формула (4) превращается в формулу (2) $17. Если х=О, то получаем равенство (1) а!о. ьь ьч ь1 2) з!пг=г — + — — — +... 3! 5! 7! (5) Это синус комплексной переменной. При у=О формула (5) превращается в формулу (1) $ 17.

ь~ ьч ь~ з) созг=! — + — — +... 2! 4! б! (6) МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ пения. Отметим, что данное рассмотрение одновременно явится доказательством теоремы о существовании решения дифференциального уравнения (см. 3 2 гл. Х111). Нам потребуется использовать теорию рядов. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения Д=)'(х, у), (1) удовлетворяющее начальному условию у= у, при х =х,.

(2) Интегрируя члены уравнения (1) в пределах от х, до м и учитыван, что У(х=„= У„полУчаем х у = ~ Г (х, у) ах+ у,. (3) хт 5, последнем уравнении искомая функция у находится под знаком интеграла, и потому это уравнение называется иншегральным уравнением. Функция у=у(х),' удовлетворяющая уравнению (1) и начальным условиям (2), удовлетворяет уравнению (3).

Очевидно, что функция у= у(х), удовлетворяющая уравнению (3), удовлетворяет уравнению (1) и начальным условиям (2). Рассмотрим сначала метод получения приближенныкрешеиий уравнения (1) при начальных условиях (2). Будем считать у, нулевым приближением решения. Подставляя в подынтегральную функцию в правой части равенства (3) вместо у,.значение у„ получим у, (х) = 1 1 (х, у,) с(х+ у,.

(4) хе Это есть первее приближенное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2). Подставляя первое приближение у, (х) в подынтегральную фулкцию в равенства (3), получаем х у,(х)=111х, у,(х)]ах+у,. (5) хх Это второе приближение. Продолжаем этот процесс~ х У;(х).= ~ 1(х, Ух(х))ах+У„ ° « ° ° е ° ° ° ° ° ° е' у„(х)= ~~~х, у„~(х)1Нх+у„ ° х Х ° ° ряды 1гл. хш 0 том, какое приближение нужно взять, чтобы оно удовлетворяло требованиям нужной нам точности, будет указано ниже. П р и м е р. Найти приближенное решение уравнении «'=х+«а, удовлегворнющее начальному условию «е=1 при х=О.

Характеристики

Список файлов книги