34_PiskunovT2 (523113), страница 52
Текст из файла (страница 52)
поатАиовкл задачи 3!9' что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е. сходится положительный числовой ряд ~ 2 ~+~а,)+~Ь,~+!а,)+~Ь,~+...+~а„)+~Ь„(+... (3) Тогда ряд (1) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от — н до и. Используем зто для вычисления коэффициента а,. Проинтегрируем обе части равенства (2) в пределах от — и до ги в в а / и Л ! р!>и-)фью !.у (1 .мыл !-)в. ь~ь):. Я Я л=! а Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в' правой части: .й" 6ьт = поц~ а~зыпх !я ' !г сових!(х=а ~ совах!)х= —.а =6, в л ) а ' Ь знтлх!(х=д„' ) з!пггх<й= — Ж„'~„"'~: К Следовательно„ ) Г(х)с(х=пам а =- ') г(х),пх.
с) Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам потребуются некоторые определенные интегралы, которые мы и рассмотрели предварительно. Если о и Ь вЂ цел числа, то имеют место следующие равен"- ства; если и Фй, то ~ созахсозйхдх=О, з ~ созпхз1плхс(х=О, ~ з)п их з(п йх !Ы= 0; ОПРВДВЛВНИЖ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ М$ Принимая во внимание формулы (11) и (1), видим, что все интегралы в правой. части равны нулю, кроме ийтеграла с коэф- фициентом аА.' Следовательно, ~ 1(»)СОЗЬХП»г аА ~ СОВА й»П»л ар, откуда аА — — — ') 1(х) сов й»~(х.
(5) Умножая обе части равенства (2) на з(пах-н снова интегрируя от — и до ц, найдем 1 (») з(п й» л» = Ь ) зп\ йх и» = Ь„и . (6) откуда Ь„= — „~ 1(х) з)пйхдх. (?) -л Коэффициенты, определенные по формулам (4) — (6), называются коэффициентами Фурье функции 1(х), а тригонометрический ряд (1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции 1(х). Возвратимся теперь к вопросу, портавленному нами в начале параграфа: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках? Мы сформулируем здесь теорему, которая даст-достаточные условия представимости функции 1(х) рядом Фурье.
Опред.еление. Функция 1(х) называется кусочно монотонной на отрезке [а, Ь'), если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х;, х„..., х„, иа интервалы (а, х,), (х,, х,),... ..., (х„,, Ь) так, что па каждом из интервалов функция монотонна, т.™е. либо невозрастаюшая, либо неубываюшая. Из определения следует, что если функция Г (х) кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [а, Ь~, то она может иметь только точки разрыва первого рода.
Действительно, если х = с есть точка разрыва функции )(»), то в силу монотонности фуцкцнн сушествуют пределы . 1(ш )(х)=1(с — О), 11ш 1(х)=1(с+О), ~-о л-м+ 0 т. е. точка с есть точка разрыва первого рода (рис. 374). Ы Н. С. Плслтлол, . г (гл. хчц ряды чирьи Сформулируем теперь следующую теорему. Теорема. Если периодическая функция ((х) с периодом 2п кусочно монотонная и ограниченная на отрезке ) — и, п1, то ряд Фурье, построенный для втой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда з(х) равна значению функции ((х) в.точ- ках непрерывности функции.
В точках раз- Ч рыва функции )(х)сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функу ((в) ции 1(х) справа и слева, т. е. если х=с — точка разрыва функции у(х), то у(с+О) 7(с — О)+7(с+О) Г(в-О) з (х) ~ « =с = Из этой теоремы следует, что класс О о л функций, представимых рядами: Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье Рис, 374, пап!ли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике'и ее приложениях к конкретным задачам механики и физики (см.
гл. Х)7Ш). Данную теорему мы приводим без доказательства. В 5 8 — 10 будет дано доказательство другого достаточного признака разложнмости функции в ряд Фурье, который относится в некотором смысле к более узкому классу функций. и 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье. Пример 1. Периодическая функция 7(х) с периодом 2л определена саеаукяцим образом: 7(х)=х, — л с х~л. Эта функция кусочно монотонная и ограниченная (рис'. 375). Следова.- тельно, она допускает разложение в ряд Фурье.
По формуле (4) 4 ! находим л 1 Г 1 ха)л а = — ) ха«= — — ~ =О. и л2 -л Применяя формулу (5) 4 1 и интегрируя по частям, найдем л л 1 Г 1 в!пах 1л 1 Г . аа = — ~ х соз йх ах = — -х — ~ — ~ з1п йх ах = 6. ь,) По формуле (6) 4 1 находим 1 Г 1 совах!л 1 à — а+ Ьа= — ) Ха!Палли=- — Х вЂ” ~ + — ~ Сьайза« =( — !)а+х-. и п~ а ~-л й,) -л -я $21 иримвры идзложвнид Фрикции в ряды Фирин 323 Таким образом, получаем ряд Г и!пх ' з!и 2х з!п3х и!п йх 1(х) =2 — — — + — ".+( — 1)" +т — + 1 2 3 Э(о равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва.. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифмегичесному ее пределов справа и слева, т.
е. нулю. Рис, 375. Рис. 376. и р и и е р 2. периодическая функция 1 (х) с периодом 2п определена следующим образом: 1(х)= — х при — и~а~О, 1(х)=х при О < х~п (т. е. 1(х)=(х!) (рис. 376). Эта функция тоже кусочно монотонна н ограни. чена иа отрезке — п~х~п. Определим ее коэффициенты Фурье: и го и 1 Г 1 ь = — Г ~(а ь — „~(! — * ьфь~= -и и и Г' Л ! — !" ( — ч шь~.)* ьь)- — а е е и х з!и ах !е, 1 !' , х з!и йх !и 1 !' ~ — — ] в!и йх г(х !о «.) -Д е О при х четном, р е и ! ь,— ) ~ — *) ~ э -~~*ю~ ь)-о. и о !1е 1гл.
ку!1 ряды ол"ьн 324 Таким образом, получаем ряд н 4 !свах сов Зх соз Бх сов(2р+ !) х )()= — 2 —.~ —,. + — „+ „+".+ „,+„, «-...~. Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данкой функции. Рис. 377 При ме р' 3. Периодическая с периодом 2и функция 7(х) определена следующим образом: — гг (х),= — 1 при — и < х < О, /(х)=1 при О~к~и. Эта функция (рис.
377) кусочно монотонна и ограднчена на отрезке — и ~ х ~ и. Вычислим ее козффициеиты Фурье: и г ° и ' (~нь=-'~~~ Ььс~ь«=0; — и -и с з и 1 Г 1 зкз йх !о знз йх 1и аз = — ~ ( — 1) соз йс Их+ соз дх Ы = — 1 — ~ + — ~ =О, и ' йн ~и,Ь!е Г. е и ь= — '~! < — Ч ью +~ ьь)= — '('— "~' — ' — "'*Ц и о О при й четном, им — (1 — соз пй) = 4 пв — при й нечетном. ч, д Следовательно, .для рассматриваемой функции. ряд Фурье имеет вид 4 ('в1п х з!и Зх згп бх з!и (2д+1)х и~ 1 3 5 ''' 2р+1 Это равенство справедливо во всех точкаяь кроме точек разрыва. -Йа рис. 378 наглядно показано, как частичные суммы з„ряда все точнее и точнее представлямт функцию 7(х) с увеличением и.
Пр имер 4. Периоднческая с периодом 2и функция 7(х) определена следующим образом: 7(х)=х', -п~х~н (рис. 379). $21 ЛРИМЕРЫ РПЗЛОЕСЕНИЯ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ФУРЬЕ П2Ч Рнс. 378. Определим ее коэффнпиенты Фурье 1 Г 1 хван 2лв ае = — ~ хв ох= — — ~ — л3 — л З). З 1 Г 1 хвв1п Рх1л 2 Р л 3 л~ Ь ~„ Ь ~ 2 х сов Ьх1л- 1 Р 4 — — + — ~ сов Ьх1Ь = — [л сов Ьл1= л2~ Ь ~ Ь 3 '- - ~ лев в 4 вв — при й четном, 4 — хт при х нечетном; 1 р 1 хвсовйх!л 2 Р Ьв = — ~ ~' ~~ Ь 1 =— + — ) хсов Ах0х л и ~ 2 хв!паях 1л ' 1 Р— — — — ~ в1п Ьх ~1х =О.
лв~ а ~„д~ !гл. хчп Ряды оупьн Значит, ряд Фурье данной функции имеет внд пз / соз х соз 2х соз Зх =3 ~1 2 3 Так как функция кусочно монотонна, ограничена и непрерывна, то зто равенство выполняется во всех точках. Рис. 379. Полагая в полученном равенстве х=п, получим и пз 1 — -Š—. 6 лз' л~! Пример 5. Периодическая с периодом 2п функция !(х) определена следувицим образом: / (х) = О п ри — и < х ~ О, 1(х)=х при 0 < х~п (рис. 380). Определим коэффициенты Фурье: и з и — 1 с*и,- — ) о.~~.(,» ~ 1 и 1 и и з 1 Г 1 Газ!и йх!я 1 Г и =и ~ з ~з и,') о о 2 — — при й нечетном,. пйз 0 при й чегном; ! Г 1 Г х сов зх1я ! (' За —= ~,хвгп йхбх= — — — ~ + — ! созйхс!х — и.) п~ х ~з а3 о о и „и )' 1/й прм й нечетном, пй '( — 1/й при й четнОм. Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид 1(х) = .и 2 (соч х соз Зх соз бх ) ('з!п х з1п 2х в!п Зх 4, и ! П Зз бз '''у ~ 1 2 3 = — -( — + — + — +."~+~ — — + —..
). ОДНО ЗАМЕЧАНИЕ В точках разрыва фуннции ) (к) сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева (т. е. в данном случае числу л!2). Рис. 380. Полагая в 'полученном,равенстве х=о, получаем Ф лз '~' 1 8 л ° (2л — 1)~' а=1 й 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье Отметим следующее свойство периодической функции ф (х) с периодом 2пи ) чр (х) !(х = ') ф (х) !(х, каково бы ии было число Х. Действительно, так как фК вЂ” 2п)=ф(В) то, полагая х=$ — 2п, можем написать при любых с и с( и а+тя Л+2л Ю+2я ~ф(х)!(х= ~ ф($ — 2л)-!)$= ~ ф($)г$= ~ чр(х)2(х. с с+2л с+ 2я с+ 2Л В частности, принимая с= — и, 0=Х, получим л Х+зя ') зр(х)ч(х= ) ф(х) с(х, поэтому Х+2я ф(х) !(х= ) ф(х) !(х+ ) зр(х)с(х+ ~ зр(х)с(х=а А -л я' я л А я ') ф(х) дх+ ) ф(х) с(х+ ) ф(х) с(х= ') чр(х)с(х.
а -я -я я 1гл. хзн1 ряды оу ьн Указанное свойство означает, что интеграб от периодической 4ункиии ф (х) по любому отрезку, длина которого' равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Этот факт легко иллюстрируется н геометрически: площади, заштрихованные на рис. 381, равны между собой. Рис. 38!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
