34_PiskunovT2 (523113), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Поэтому мы можем написать: 1 —.х "+ и з(п (2п+ 1)— з„(х) = — ~ )". (1), е(1. л-п 2 в|п — у Введем новую переменную а, положив 1 — х=а, 1=х+а. Тогда мы получим формулу Я з)п (2п+1)— а в„(х) = — ) 1(х+а) е(а. (2) -Д 2ып— 2 Интеграл, стоящий в правой части формулы, называется ияи1егралолв Дирихле. Положим в этой формуле 1(х)=1; тогда а,=,2, а,=О, Ьв=.О при й> О; следовательно, в„(х)=1 при любом л, и мы получаем тождество а 1 (' 2 в1п (2п+1)— в(а и 1 а. Э 2 2ып— которое потребуется нам в дальнейшем. 9 9, Сходимость ряда Фурье в данной точке Предположим, что функция 1(х) кусочно непрерывна на отрезке ( — и, и). Умножая обе части тождества (3) предыдущего 9 8 на ~(х) и подводя Г(х) под знак интеграла, получим равенство в1п (2п'+1)— 1(х) = — „~ 1(х) аа.

— и 2 в1п— 2 Вычтем члены последнего равенства из соответствующих членов равенства (2) 9 8, получим в1п (2п+ 1)— ав(х) — ~(.)=-„' ~У(.+ ) — 1( Н вЂ” Д 2 з1п— 2 1гл. Ккп РЯДЫ ФУРЬЕ Таким образом, сходимость ряда Фурье к значению функции ) (х) в данной точке зависит от того, будет ли интеграл, стоящий справа, стремиться к нулю при и — оп.

Разобьем последний интеграл на два интеграла: а и поз— $„(х) — г(х)= — ] [Ц(х+а) — ~(х)] з!ппиз(и+ и 2 $1п— 2 + †„ ~ [Г (х+а) †1(х)] ° — соз пи 1!а, 1 ! воспользовавшись тем, что з!и (2п+ !) — =з!и пи соз — +соз паз!п —. а и а Разобьем первый из интегралов, стоящих в правой части последнего равенства, на три интеграла: з спз— $„(х) — г(х)= — ] Ц(х+а) — ~(х)] з!ппизЬ+ -б 2$1п— 1 -б соз— а + — ] Д(х+и) — !".(Х)] — з!паи зЬ+ 2 2 2 $1п— а 1 з спз— + — „~ Д (х+и) — ) (х)] — „з(п па 1Ь+ 2 б 2зм— 2 + !) [Р (х+и) ' Р (х)] 2 соз нийд Положим Ф,(а)= .

Так как Г(х) —,ограниченная кусочно непрерывная функция, то Ф,(и) — также ограниченная и кусочно непрерывная периодическая функция от а. Следовательно, последний интеграл стремится к нулю при и — пп, так как он является коэффициентом Фурье от этой функции. Функция созв Фз(и) =. [~ (х+<з) — ) (х)] а 2 $1п— 2 - ограничена при — я(а( — 6 и при б(а<п и !Ф.(и)! ~[М+М] — „° 2 $1п— 2 $101 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ 343 где М вЂ” верхняя граница величины ~1(х) ~.

Кроме того, функция Ф,(а) является также кусочно непрерывной. Следовательно, ва основании формул (5) из 3 7 второй и третий интегралы стремятся к нулю при и — со. Таким образом, можно написать а е соз— 1пп [з, (х) — 1'(х)1 = 1пп — ) [1 (х+а) — 1(х)1 з)п па да. (1) л -о л Л -о ОР 2 з1п— 2 В выражении, стоящем справа, интегрирование производится по промежутку — 6(а(6; следовательно, интеграл зависит от значений функции ) (х) только на промежутке от и — 6 до х+6. Таким образом, из последнего равенства следует важное предложение сходимость рядов.

Фурье в данной точке х зависит лишь от поведения функции 1'(х) в как угодно малой окрестности этой точки. В. этом заключается так называемый принцип локализации при исследовании рядов Фурье. Если две функции 11(х) и 1о(х) совпадшот в окрестности некоторой точки х, пи их ряды Фурье одновременно либо сходятся, либо расходятся в данкой точке. л В 1О. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье В предыдущем параграфе было показано, что если функция 1(х) кусочно непрерывна на отрезке [ — и, п|, то сходимость ряда Фурье в данной точке х, к значению функции Г"(хо) зависит от поведения функции в некоторой произвольно малой окрестности [хо — 6, хо+6) с центром в точке хо.

р Докажем, далее, что если в ок- э 'ъ а' рестности х, функция ((х) такова, чпго суоцеапвуют конечные Рис. 388, пределы В 1 (хо+ а) — / (ло) лп 1, 1 (хо+ а) — 1 (ло) лл (2) а -о а- +о а в самой точке х, функция непрерывна (рис. 388), пю о) в эпюй точке ряд Фурье сходится к соответствуюоцему значению функции 1(х). ') Если выполняются условия (1) я (2), то говорят, что функция )(я) имеет в точке к производную справа и производную слева. На рис. 388 изобРажена фУннциЯ, где йо=1Я фы йо=18~Ро, йд ~ 1го. Если йо =до, т.

е. если производные справа и слева равны, то фуннция будет двфференцируеыой в данной точке. 1гл. хтп гяды фугье "Доказательство. Рассмотрим функцию Ф,(а), определенную в предыдущем параграфе: а 2 Ф, (а) = [( (хб+ а) — 1(хОЯ вЂ”; 2 81п 2 так как функция 1(х) кусочно непрерывна на отрезке [ — и, и) и непрерывна в точке х„то, следовательно, она непрерывна в некоторой окрестности [х,— б, х,+Ь] точки х,.

Поэтому функция Ф,(а) непрерывна во всех точках, где а ФО и ~а~(б. При а =О функция Ф,(а) не определена. Найдем пределы 1ип Ф,(а) и 1ип Ф,(а), используя условия а-1-0 — а-~.+О (1) и (2): а ООО— И Ф (а)= 1ип [)'(х +а) — г(х,Я а'-е-О - а-+-О 2ып— 2 а . 1( + ) 1(д 2 „, * 2 а Ию 1(хо+а) — 1(ха) 2 .

а а 1ип а 1йп СОЗ вЂ” =Йг 1 ° 1=й. 2 а-~.-б а-~-О О1П а-~-О 2 Таким образом, если мы доопределим функцию Ф,(а), положив Ф,(О) =йо то она будет непрерывной на отрезке [ — б, О), а следовательно, и ограниченной. Аналогичным образом докажем, 1ип ФО(а) =й,. а-~+ О Следовательно, функция Ф, (а) ограничена и непрерывна в промежутке (О, 6). Таким образом, на отрезке [ — б, 6) функций Ф,(а) ограничена и кусочно непрерывна.

Вернемся теперь к равенству (1) 2 9 (обозначив х через х„): а 1 б СОО— 1ип [за (хе) — 1 (х,Я = 1ип — 1 [)'(хб+ а) — 1 (х,)) — з1п ла Иа, 2 а-~а О-+а П -б 2 1п— 2 или б Иа [б„(х,) — 1(хОЯ = Ив — „~ Ф,(а)з(пли1(а. 1 г а-~а о-~а ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 345 $ ит На основании- формул (5) из $7-заключаем, что стоящий справа предел равен нулю, а поэтому 1(щ Гз„(х,) — 7' (х,Я = О, или 11щ з„(х,) = 7'(х,). Теорема доказана. Доказанная теорема отличается от теоремы, сформулированной в в 1, тем, что если там для сходимости ряда Фурье в точке х, к значению функции 1(х,) требовалось, чтобы точка х, была точкой непрерывности на отрезке 1 — и, п), а функция была кусочно монотонной, то здесь требуется, чтобы точка х, была точкой непрерывности функции и чтобы выполнялись условия (1) и (2), а .-на всем интервале 1 — и, и! функция была кусочно непрерывной и ограниченной.

Очевидно, что- эти условия различны. Замечание 1. Если кусочно непрерывная функция дифференцируема в точке х„то очевидно, что условия (1) и (2) выполняются. При этом й,=й,. Следовательно, в точках, где функция ~(х) дифференцируема, ряд Фурье сходится к значению функции в соответствукицей точке. Замечание 2. 1'. Функция, рассмотренная в примере 2 й 2 (рис. 376), в точках О, ~2п, ~-4п, ...

удовлетворяет условиям (1) и (2). Во всех остальных точках она дифференцируема. Следовательно, построенный для нее ряд Фурье сходится в каждой точке к значению этой функции. 2'. Функция, рассмотренная в примере 4 $ 2 (рис. 379), в точках ~ и, ~ 3п, -+.5п, ... удовлетворяет условиям (1) и (2). Во всех остальных точках она дифференцируема. Она представляется рядом Фурье в каждой точке. 3'. Функция, рассмотренная в примере 1 $ 2 (рис. 375), в точках и'-и, ~ Зп, ~ 5п, ... разрывна.

Во всех остальных точках она дифференцируема. Следовательно, во всех точках, кроме точек разрыва, -соответствующий ей ряд Фурье сходится к значению функции в соответствующих точках. В точках разрыва сумма ряда Фурье равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева, в данном случае она равна нулю. $ 11. Практический гармонический анализ Теория разложения -функций в ряды Фурье называется гармоническим анализом. Мы сейчас сделаем несколько замечаний о приближенном вычислении коэффициентов ряда Фурье, т.

е. о практическом гармоническом анализе. !Гл. Хны гдды ф»»гьв Как известно, коэффициенты Фурье для функции 1(х), имеющей период 2л, определяются по формулам »» »» »» а,= — ~~(х)»(х, а„= — ) 1(х)совах»(х, (» = — ') )(х)з(п'ях»(х. -я — »» -л Во многих случаях, встречающихся на практике, функция 1(х) задается или в виде таблицы (когда функциональная зависимость получается в результате эксперимента) или в виде кривой, которая вычерчивается каким-либо прибором. В этих случаях коэф.

фициенты Фурье вычисляются при помощи приближенных методов интегрирования (см. 9 8 гл. Х1 т. 1). Будем рассматривать' промежуток — л < х < л длины 2л. Этого можно всегда добиться соответствующим выбором масштаба по оси Ох. Разделим промежуток ! — л, л1 на л равных частей точками =л=х, х» х, ° ° °, х„=л. Тогда шаг деления будет равен Ах = 2л»»л. Значения функции 7(х) в точках х„х;, х„..., х„обозначим соответственно через ум у1э ум ° Ф ул Эти значения мы определяем или по таблице или графику данной функции — измерением соответствующих ординат. Тогда, пользуясь, например, формулой прямоугольников (см.

формулу (!') 9 8 гл. Х1 т. 1), определяем'коэффициенты Фурье Ф »» я а,= — ~уи а„= — ~у;созйх;, Ь„= — „,у;шпйх;. »=1. Разработаны схемы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье (см., например, См и р нов В. И. Курс высшей математики, т. П, М.: Наука, 1974; Лопшиц А.'М. Шаблоны для гармонического анализа и синтеза.— М.: Гостехиздат, 1948).

Мы не можем здесь останавливаться на подробностях, но отметим, что существуют приборы (так называемые гармонические анализаторы), которые по графику данной функции позволяют вычислить приближенные значения коэффициентов Фурье. 5 12, Ряд Фурье в комплексной форме Пусть имеем ряд Фурье для периодической функции 7(х) с периодом 2л: )(х) = — '+~~' (а совах+Ь„з)плх). (1) РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ $ в21 Выразим созпк и з!п лх через показательные функции. Для этого воспользуемся известными формулами (см. формулы (3) 2 5 гл. ЧП т. 1): е!" + е " . е!" — е соз у= 2, звпу= 2! Итак, ейх е-Ых еепх е-епх .

Характеристики

Список файлов книги