34_PiskunovT2 (523113), страница 51
Текст из файла (страница 51)
+ — к»+... 2* 3 ' " л. Оеэа. — е<х<е., 38. «+ — х'+ — х'+... + — х'+... Оам. — 4 < х < 4. 2* (1 2.3)э (а!)э 4! 6! ''' (2л)! 39. Найти сУммУ РЯда х+2«э+...+ак»+... (!х! < 1). Ови, к)(! «)э Определять, какие нз нижеследуаэщнх рядов мажорируемы па указанных отрезках: к хэ х» 40. 1+ — э+ —,+...+ — э+... (Оо,кч 1). Оам. Мажорируем. х хэ хэ , к» 41 1+ — + — + — +...+ — +... (0~«~1). Оим. Не мажорируеи. 1 2 3 ''' л в!п к в!п 2« в!и 3» з!и ак 42. — э+ 2, + — э+...+ —,+...
(0,2п). Оаы.Маэкорируем. Ожв. (х — 1) — (к — 1)' -(- 1 2 86; Разложить 1п х по степеням х — 1 1, 1 + — (х — 1)э — — (х — 1)э+... 3 4 ч-ч (х+2)»1 61. Разложить е" в ряд по степеням к+2. Опм. е-э,1+.~ 1й , я! »»! Разложение функций в ряды 1 43. Разложить — по степеням х и определить интервал сходямосги. 10+х Ояы, Сходится при — 10 < к < 10, и 1 1 г пт 44. Разложить сов х по степеням х —. Овм. 4' ' р'2 (г 2 'ь 27' — =(х — ) +=(х — ) +...
хэ" хэ 45. Разложить е-" по степеням х. Отв. 1 — х+ — — — +... 2! 3! 46. Разложить в" по степеням к — 2. Олы. е'+е'(к — 2)+ — (х — 2)'+ Й! е' -(- — (х — 2)э+... 3! 47. Разложить кэ — 2«э+5х — 7 по степеням х — 1.
Оам. — 3+4(к — 1)+ + (к — 1)э+(к — 1)э. 48. Разложить многочлеп кээ+2«э — Зхэ — 6«э+Ъэ+6«« — '« — '2 В ряд Тейлора по степеням х — 1; убедиться, что этот многоялен имеет число 1 трех. кратным корнем. Оаи7 (х) = 81 (х — 1)э+270 (х — 1)э+406 (х — 1)э+361(х — !)э+ + 189,(к — 1) э+ 63 (к — 1) э+ 12 (х — 1) э+ (х — 1)эь.
кэ 49. Разложить соз(х+а) по степеням х. Опм. созе-.эхей)а —.*-созе+ 21 хэ к" + — вэп а+ — соз а — ..; 3! 4! УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХУ! и. 1 к —. Оав, — + 4' ' 2 52. Разложить сова к в рид по степеням - - ''("- )"' +Е ( ) (2» — 1)! пх! ! 53. Разложить — в рнд по степеням х-»-1. Отв ка Е (»+ 1) (к+ 1)х п=о ( '- 2 < х < О)'.
54. Разложить !Ех в рид но степеням х — —. Оав. 1-(-2 ! х — — ! + 4' ( 4/, +2(к — ' — ) +... Написать первые четыре члена разложения в рнд по степеням х функций: хз 2хз 17х' ооо х х' 55. 10 к. Оав. х+ — + — + — +... 56. в"'х. Отв.,в (1 — -(- 3 15 315 4ка 31хо ! ног х ха ха 7ха + —.... 57. в""а". Оав. 1+х+ — — — — +... 58.
1п(1+ех). 4! 720 ' '7,' ' ' 2 6 24 ка хх х' х' Опы 1П2+ — + — — — + 50 вг!ох Опм. 1+х-! — — — +...60. (1-(-х)х. 2 8 192 ''' ' ' ' 2,8 хт 5 к' 5х' Отв. !+ха — + — хв —... 61. вес х. Отв. 1+ — + — +... 62. !псоъи, 2 6 ''' ' ' ' 2 24 ха хо хо Оав. 2 12 45 (йх)з '(йк)о (йх)г 63.
Разложить а!п йк по степеням к. Отв. йх — — + —— 3! 5! 7! 64. Разложить а!пах по степеням к н определить интервал скоднмости. 2ха 2око 2охо 2зх-гкап Отв. — — + —...+( — 1)п-а — +... Рид сходится прн всех 2! 4! 6! '' ' (2»)! значенинк ж' 65. Разлонгнть — в ряд по степеням х. Опо. 1 — к'+хо †-(-... !+ха 66, Разложить агс!Ек в рид по степенны х, Указание. Воспользоватьх (' пх хз х' хт )!+хх' ' 3 5 7 Ск фррмулей аго1цк= 1 —. Оав.
х — — + — — — +... ( — !~к~ 1). 4 67. Разложить ' в ряд по степеням к. Оав. 1 — '2к+Зх' — 4хт+... (1+к)' ( — 1<х<1). Пользуясь формулами разложения в степенной рид. функций в", з!пк, созх, 1п(1+к), (1+к)"' и применяя различные приемы, разложить в степен'ные ряды функции и определить интервалы сходимости: хо хо к 3! 5! 68. айк. Оав. х+ — + — +... ( — оо < к <оо). 69. сЬк. Оав.
!+ — -1- 2! (- — +... ( — оо < х < а). 70. соз' ж Оав. 1+ — ~~! ', ( — оо <х< а). ко ( 1)п (2к)ьв 4! 2 (2»)! 7$. (1+х)1п(1+к». Отв. к+~~~',( — 1)" — ((х( ~1). 72. (1+к)е-". и 3 315 УПРАЖНЕМИЯ Д ГЛАВЕ ХУ1 оз о,з Ои!в. 0,1571. 103. ~ в '«Ь с точностью до 0,01.
Олы, 0,81. 104. ~ — «Ь г к «" агс!ях о о 1 е точностью до 0,00!. Отв. 0,487. 105. ~ соз Ухая с точностью до 0,001. о о,гз Оав. 0,764. 106. ) 1п (!+1Г х)«Ь с точностью до 0,00!. Отв. 0,071. о 107. в в «Ь с точностью до 0,6001л Оаа, 0,9226. 106. ь — «Ь с точ- Р в1пк * ! 1«Т — в о о,з и«!стью до 0,0001. Оав, 0,0214. 109. 1 — с точностьюдо 0;001. Ол«ш 6,494. !+хв ~ 1 (!+к) Ф х ' '12' е Указание. Прн.решении в!ого примера и двух следующих полезно иметь в виду равенства: л — 6 ' и* — !2' (2п — 1) !8 л=! л= 1' лл1 которые будут установлены в 6 2 гл. ХЧ!1.
1 1 «1п(1 — х) пв Р 1+хек па Н1. ~ «Ь. Оав. †. 112. ~ 1п — —. Отв. к ' '6' ') 1 — кх ' 4' о о ,Интегрирование дифференциальных уравнений е помощью рядов 113. Найти решение уравнения у'=ху, удовлетворяющее начальным уело. виям у=1, у'=0 при хьвО. кв кв Указание. Искать решение в виде ряда. Оав. 1+ — +вв — о — +... ква +2 3 5 6 ... (ЗЛ вЂ” !)ЗА+'" !14. Найти решение уравнения у" +ху+у=О, удовлетворяющее начальным кв х' ( — !)" +«квл-в условиям у=О,у'=1прих=О. Отв. к — + —...+ 3 135 ''' 135 ... (2л — 1) 115.
Найти общее решение уравнении к'у'-1- ку'+ ~хв — ) у= О. Указание. Искать решение в форме у=хг(«4в+А!х+Аекь+...). ! Оаы. Сх ~~1- — + — — (-...~~ -)-С з~~!' — -+ †...~31=Π— + 3! 5! 7! "''3' 1 2! 4! "" ~ ~/ » соз к +О РЯДЫ 1гл. хч! 116.,Найти решение урзвнения «у'+у'-(-«у=О, удовлагворяющее начальхз хв, хв =1 е-о р *=о.
о . )- —.г — ., „ 2з (1 2)з 2в (! 2 3)з 2' хаа 3 а и е ч а н и е. Два последних дифференциальныв уравнения являются частнымн случаями уравнения Бесселя х у" +ху'+(хз — рз) у=О 1 при р= — и р=О. 2 117. Найти общее решение уравнения 4«у"+2у'+у=О... у к а з а н и е. Искать решение в виде ряда х' (аз+а!«+азха+...), Отв. Стсозггх+С,з1пг' х.
116. Найти решение уравнения (1 — хз)у" — ху'=О, удовлетворяющее на. 1 ха 1 Зх' чальиым условиям; у=О, у'=1 нри «=0. Отв, х+ — -+ —,— — + 23 2 45 1 3 5х' + — ° — ° — — +" 2 4 6 7 НО, Найти решение уравнении (1+ха) у'+2ху'=О, удовлетворяющее 3 ъ хт начальным условиям у=О, у'=! при х=О. Отв. х — + — ' — — +... 3 5 7 126.
Найти решение уравнения у"=хуу', удовлетворяющее начальным хз 2хв Зхз условиям у= 1, у'= 1 при х=О. Отв. 1 +х+ †+ †+ ... 121. Найти решение уравнения (! — х) у' = 1+х — у, удовлетворяющее начальному условию: у=О при х=О, и указать интервал сходимости полу«в х' хв ченного ряда. Отв. х+ — + — + — +... ( — 1~«~1). 12 23 34 122. Найти решения уравнения ху" +у=О. удовлетворяющее начальному условию: у=О, у'=1 при х=О, и указать интервал сходимости. Оам. хз хз х — — + — — +...+( — 1)з+т +... ( „<х< ~). (1!)з 2 (2!)з 3 (3!)з.4 ' ' ((а — !)!Рп 2 123. Найти решение уравнения у" + — у'+у=О, удовлетворяющее пах яп« чальному условию: у=1, у'=О пря х=О.
Отв, —. х 1 124. Найти решение уравнения у'+ — у'+у=О, удовлетворяющее яа, х чальным условиям у=1, у'=О прн «=О, и указать интервал сходимости хз хв хв хз" полученного ряда. Отв. ! — — + — — +... +( — 1)" — +... 2з 2з 4з 2з 4з Оа 2з» (а!)3 () х ) < оз). Найти первые три члена разложения в степенной ряд решеняй нижеследующих дифференциальных уравнений при указанных начальных условивх! 4хз 125. у'=ха+уз, у=! при «=О.
Отв. 1+х+хз+ — +... 3 ехз хз 126. у"=ег+х, у=1, у'=О прн х=О. Отв. 1+ — +-+ 2 6 хз хз 127. у'=з!и у — з!и х, у=О при х=О. Отв. — — —, . 2 6 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Хн! 397 Найтй несиохьио членов разложения в степенной ряд решений дифференциальных уравненпй при уяазаниых начальных условиях: х' 2х' 3х' !28, у"=уу'-кь, у=1, у'=1 при к=О. Оае. 1+х+ — + — + — + 2! 3! 4! 14х1 + ы+" 1 1 ! 1 ! 129.
у' = уз+хе, у = — при к = О. Оше, — + — к+ — хе + — хе + 2 ' ' 2 4 8 16 + — ке+ " ° 9 32 ! 1 2 1ЗО. у'=х! — уе,' у='О прн к=О. Олы, ке — хт+ — кы —... 3 79 71127 ла ке 131. у'=х'уе-1, у=1 при х=О. Олы, 1-к+ — —.+ —... 3 2 б хе 2ке ~1!хе 132. у'=ея+ху, у=О при х=О. Олы. х+ — + — -+ — +... 2 3 234 ГЛАВА Х7!! РЯДЫ ФУРЬЕ и 1, Определение..Постановка задачи ,, Функциональный ряд инда ф+а! соз х+ Ь; з(их+ а, соз 2х+ Ь, з1п 2х+..., или, более сжато, ряд вида Ф +~, (а„сових+Ь,з1пах), (1) л=! называется тригонометрическим рядом.
Постоянные числа а„а„ и Ь„(а=1, 2, ...) называются коаффициентами тригонометри- ческого ряда. Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функ- ция 1(х) с периодом 2п, так как з1п ах и созпх являются перио- дическими функциями с периодом 2п. Таким образом, ! (х) = ) (х+ 2п). Поставим следующую задачу. Дана функция !(х), периодическая с периодом 2п. При ка- ких условиях для 1(х) можно найти тригонометри- ческий ряд, сходящийся к данной функции? Эта задача н будет решаться в настоящей главе. 0 пределение коэффициентов ряда по формулам Ф ур ье.
Пусть периодическая с периодом 2п функция ~(х) та- кова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходя- щимся к данной функции в интервале ( — и, и), т. е. является суммой этого ряда: ~(х)= а'+~., (а„совах+Ь,з1п лх). (2) и $ Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (2). Это, например, будет выполняться, если предположить, опгедвлвнив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
