34_PiskunovT2 (523113), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов любых целых чисел. Так как при почленном вычитании" двух сходящихся рядов получается ряд сходнщийся: (см. 3 1, теорему 3), то, вычитая РАЗЛОЖВИИБ ФРИКЦИИ !п П+х! почленно равенство (2) из равенства (1), находим, )и (1+ х) — 1п (1 — х) = 1п !— — — 2 ( х + 3 + 3 +... ~ . 1+х Г хн хн 1+х л+ 1, 1 Положим далее, — = —; тогда х= —. При любом 1 — х п 2л+1 а ) 0 имеем 0 < х < 1, поэтому 1п — =!п — = 2 !ь — + 1+х и+1 Г 1 1 1 1 — х л ~ 2п+! 3(2пл ци 5(2л+ цн + + "1 откуда 1 1 1 )П(а'+1) )ни= 2 12п-)-1+3(2л-)-цн+3(2п-!-ц1+ ' ° .~ (8) При п=,1 отсюда получаем )п2=2(1 3+3 зи+Зз +" 1 Для вычисления 1п2 о заданной степенью точности 6 надо подсчитать частичную сумму зр, выбрав число р ее членов так, чтобы сумма отброшенных члейов (т.
е. погрешность Яр, совершаемая при замене з на зр) была меньше допустимой погрешности 8. Для этого оценим погрешность Яр. 1 1 1 Р 1 (2р+ Ц Знх и ъ (2р+ 3) Знр+ н + (2р+ 5) 3нр+ н + Так как числа 2р+3, 2р+5, ... больше 2р+1, то, заменяя их на 2р+1, м!и ))величим каждую дробь. Поэтому 1 1 1 Р < ((2р+ Ц Знп~.н +(2р+Ц Знп~н +(2р+ ЦЗн»+1+ ° ° ~ или Ряд, стоящий в квадратных скобках, есть геометрическая про. 1 грессия со знаменателем —, Подсчитывая сумму этой прогрес- 9 ' сии, найдем 1 2 Знр+ н 1 Р 2р+1 1 4(2р+ Ц Зна-х ' (4) 9 Если мы хотим теперь подсчитать !п2, например, с точностью до 0,000000001, то надо выбрать р так, чтобы было Рр < <0,000000001.
Этого можно добиться, подобрав р так, чтобы правая часть неравенства была меньше 0,000000001. Непосредственным подбором находим, что достаточно взять р=8. Итак, 1О Н. е. Пиинунон, и. 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С помощью этого равенства мы можем прн любом а вычислить данный интеграл с любой степенью точности. 2. Требуется вычислить интеграл а о Разложим подынтегральную функпию в пяд: из равенства хв хо хв зшх=х- — + — — +... 3! 6Т 7! получаем в!и к хв хв хо — =1- — + — — +... 3! 6! 7! причем последний ряд сходится при всех значениях.х.
Интегрируя почленно, получим а в!и х ах ав ат — й~=а- — + — — +... х 3! 3 5! 5 7! 7 Сумма ряда легко вычисляется с любой степенью точности при любом а. 3. Вычислить эллиптический интеграл г! ~1-йв з!и'!р!йр (й С 1). о Разложим подынтегральную функцию в бнномиальный вяд, положив лт=-, х= — йвз1пвф (см.
формулу (5) $19)! ~1-два!пв!р=1--йвз1пв<р-- ° — 'й'з1п' !р— в 2 2 4 ! 1,3 — ° -' — й' з(пв !р — ... 4 6 Этот ряд сходится прн всех значениях ~р н допускает почленное интегрирование, так как он мажорнруем на л!ебом интервале. Поэтому !ГТ:Рю'ча о в=<р- — йв~ з!пв(ат-- ° — й' з!по(!(1 — — —.— й' з!по~оц 2 ,! 2 4 ~ 2'4 6 о !Ов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ и',' подставляя значение х=йе в правую часть, найдем' Г'(х.) = у"' (,,, Дифференцируя соотношение (4) еще раз, найдем Р'(х)=у"!.=; и т. д. Найденные значения производных подставляем в.равенство (3).
Для тех значений х, для которых этот ряд 'сходится, он пред- ставляет решение уравнения. Пример 1. Найти решение уравнения у" = — ух'>, удеииетворяющее начальным условиям У)в=в=1» У !в=в=о. Решение. Имеем ) (0) =уз=1] 7~ (0) =Уз=О. Из данного уравнения находим у" (х о=>'(0)=0; далее, у" = — у'х' — 2ху, у"' („о —— 7'" (0) =О, у>У вЂ” у"хз 4ху 2у у У! =о= 2 и, вообще, дифференцируя А раз обе части уравнения по формуле Лейбница, находим (9 22 гл.
Ш т. 1) р<" + з> = — у<в> хз — 2УХУ<в-1> — й (й — 1) у<а-з>, Поло>хна х=0, будем иметь ув = Д (й 1) уе* или, полагая й+ 2 = л, ф > ( л 3 ) ( ] > 2 ) Отсюда у~о~ 1 2 у<;> 5,6уо! ( 1)*. (1,2),(5,6)> уо>з' — 9 1Оу<ое> ( Цз,(1.2).(5.6).(9.10) у~в~] =( — 1)з.(1.2) (5 6) (9 10) ... ((4А — 3) (4А — 2)), Кроме того, <и <е> <И>+1] у. =о, ув =О» ° ° ° ] Уе =О, <е> ао> <4в< м у, =о, уе =О, ..., Уо = О, ..., <1> ам <и>+з> у;=о, „," = о, ..., „. =о, ...
Таким образом, в нуль не обращаются только те пронзводные, порядок ноторых кратен четырем. Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем решение уравнения хе хз ' х14 У=1 — — 1 2+ — (1 2) (5 6) — 12 (1 2) (5 6) (9 !0)+...
4! Х4Л ... +( — !)з —,. (1.2). (5 6)..... ((4й — 3) (4й — 2))+... !ГЛ. Инт ж дифференциальное, уравнение и приравниваем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х в разных чистяк уравнения Пример 2. Найти решение урыпюиия и'=йху'+4у, удовлетворяющее изчзльным условиям у) =«=о у! =е=». Решение. Полагаем у = аз+а»«+ а«хе+архе+ ... +о„х«+ .. Нз основзиии начальных условий находим аз — — О, а!.=1. Следавзтельно, у=я+о»~'+песе+...
);пах", +. ° .!. у'=1+2ает+За»тз+... +ла„х -т+... ° и"=2аз+3 2азх*... -)-л (л — 1) а х«-з ( Подставляя написанные выражения в зздзнное уревиеиие и приршишввя коэффициенты при однизкоиых степенях х, получи«и 2ае= о, откуда а»=0, 3.2о»-2+4, откуди лз=! ° 4 За«=4аз+4аз, откуда а«=О, Ф и (л — 1) а«=(п — 2)-2а«з+Фг„з, откудза„==, 2о«- е «=и !1 Следовательно, 1 1 (л — 1)! 1 2 2 ! 1 2 ат — — — — — —, г а»= — ... атлет«« — =— 6 3!' 4! ' ''" 23 й! ' '''« ૠ— О, аз'=О; ..., а;ь=о, ..." найденные коэффициенты, получаем искомое решение хв хз хт' хз»+'ь у=к+ — +-+ — +" + — +— 1 21 31 '' И 21 1 а,= — = —, 4 21' Подставляя Полученный ряд сходится при всех значениях х.
Заметим, что нзйдеиное честное. решение можно, выразить через.злементзрные функции: вынося х зз скобку, получим в скобкзх резложеиие функ' цин е '. Следовательно, С помощью ирнзнвкз Дшшмбери можно проверить„что этот рид сходится прн всех значениях х; следавзтельно, он является решением уравнения. Если уравнение линейное, то удобнее искать коэффициенты разложения частного решения по методу иеопределенньи коэффициентов. Для этого непосредственно «подставляем» ряд у=аз+а,х+азхз+...
+а«х«+...,' УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ 2 23. Уравнение Бесселя Уравнением Бесселя называется дифференциальное уравнение вида »ау'+ ху'+(х« — р') у = О (р = сопз[). (1) Решение этого уравнения, как и некоторых другихуравнений с переменными коэффициентами, следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени х на степенной ряд: Коэффициент а, мы можем считать отличным от нуля ввиду неопределенности показателя г. Перепишем выражение (2) в виде у = „Я~ а«х'+" и найдем его производные: Э ° О у' = ~и~, '(г+2)а хт+«-», у" =,'~~ (г+й) (г+й — 1) а«х'+»-'. «о «=о Подставим эти выражения и уравнение (1): Ф х' ~~'., (г+а)(г+и — 1)а„х'+" '+ «=о ~Ю Ф +» ~ (г+ь)а«хт+» +(х р«) ~~т, а «т+» О «=о «=о Приравнивая нулю коэффициенты при х -в степени г, г+1, г+2, ..., г+й, получаем систему уравнений [т (т — 1)+т — р«2 ао —— О.
Ели (т« — р«) а,=о, [(т+1) г+(т+1) — р«1 а»=0, или [(т+1)о — р«) а-=о, [(т+2) (т+1)+(т+2) — р«1 а«+а« =О, или [(т+2)' — р') а,+ао =О, Цт+«) (т+» — 1)+(т+») — р«1 а«+а«,=О, или,[(г+»)« — р«) а»+а» «=О, (3) Рассмотрим равенство )(г+ и)» — ро)а»+а»„« — — О. Его можно переписать тако Цг+й — р)(г+й+р)1а +а»,=О. ряды ~гл. ху~ По условию а, ФО; следовательно, г'-р'=О, поэтому гт = р или г, = — р, Рассмотрим сначала решение в случае гт=р) О.' Из системы уравнений (3) последовательно определяются все коэффициенты ао а„ ...; а, остается произвольным ,Положим, например, а,= 1.
Тогда хх-й аэ = — а (2р+а) . Придавая различные значения А, найдем аз=О, а,=О и вообще а, +; — — О, ~х — 2(2р+2) ° ~а 2.4(2р+2) (2р+4) ' ° 1 т=( ) 2 4,6 т(2р+2)(2р+4) (2р+2ю) ' ° ° ° Подставляя найденные коэффициенты в формулу (2), получим 2(2р+2)+ х' хб (5 + 3 4 ~2р-;-2И2 ~ В 2 ь 6 (2 ~ В пр ~ Ю ~ ~ 6! + ' ' ' 1 ' Все коэффициенты аэт определятся, так как при всяком й ,коэффициент прн ах в уравнении (3) (г.+й)4-р* будет отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
