34_PiskunovT2 (523113), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

О и р е де л е н и е. Знакопеременный ряд и,+и,+и,+ .. +и„+... (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: (и„(+!иа(+(и,!+... +(и„(+.с. (2) Если же зна)сопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно илн нвабсолютно сходящимся рядом. 1 1 .1 Приме р 3. Знакопеременный ряд 1 — — + — — +... является ус- 2 3 лов но сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных виличин его 1 1 1 членов, есть гармонический ряд 1+ — + 3+ — +..., который расходится.

Сам же ряд сходится, что легко проверить с помощью признака Лейбница. 1 1 1 Пр имер 4. Знакопеременный ряд 1 — — + — — +... есть ряд аб с о. 2! 3! 4! л юг но сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его 1 ! 1 членов 1 + †+ †+ ...' сходится, как зто было установлено в 4 4. 2! 3! 4! Ряд (5) сходится (см. 5 6). Члены ряда (4) не больше соответственных членов ряда (5); следовательно, ряд (4) тоже сходится. Но тогда в силу доказанной теоремы данный знакопеременный ряд (3) тоже сходится.

Пример 2. Исследовать сходнмость ряда 'соь (я/4), соа (зя/4) соз (5п/4) соа ((2п — 1) я/4) 3 Зз Зз ' '.' 3" внлкопврвмвнныв Ряды 9 з1 С помощью понятия абсолютной сходимости теорему ! часто формулируют следующим образом: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся. В заключецне отметим (без доказательства) следующие свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов. Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов. Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов.

Теорема 3. Если рнд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в 'пючности равной А. Более того; можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся. Доказательство этих теорем выходит за рамки данного курса. Его можно найти в более подробных учебниках (см., например, Фихтенгольц !.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.

И.— М.. Физматгиз, 1962, 'с. 319 — 320). Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда может менятвся при перестановке его членов, рассмотрим следующий пример. П р и м е р 5. Зизкоперемениый ряд 1 1 1 1 — л-+ — — + " 3 4 (8) сходится. невбсолютно.,Обознвчим его сумму через з.

Очевидно, что з > О. Сделаем перестановку членов ряда (8) тзк, чтобм,зв одним положительным членом следовали двз стрицетельных: ! ! 1 1 1 1 1 1 1 — — + — — — — — +...+ — — — +... 2 4 3 6 8 ''' 2й — 1 4й — 2 4й (9) Докажем; что полученный ряд сходится, но что его сумма з' в двз раза ! меньше суммы рида (8), т. е. рзвиз — к Обозначим через з„н з„чзстнчные 2 суммы рядов (8) и (9). Рассмотрим сумму Зй членов ряда (9); 1( 1 1 1 1 1~ 1 2 ~ 2 3 4 ''' 2й — 1 2й~ 2 =- ~1--+ — -+".+ — — ~=- з. Следовательно, 1 1 Ишты= 1!ш -з,з= — з. 2 2 !ГЛ.

Хчг ряды Далеез 1 ~ 1' Нш ззз+з= Пш ззз+ — ~ — зз 22+!у' 2 1 ! ~ 1 а ь ~- 2й+1 4й+2~ 2 Иш зза+з = Пш ~ ззь+ — — 1 = — 3. Таким образом, получаем 1, 1пп з„=з'= — 'з. и 2.' Итак, в данном случае сумма ряда изменилась после перестановки его членов (уменьшилась вдвое). $9. Функциональные ряды Ряд и,+и,+... +и„+ ..: называется функциональным; если его члены являются функциямн от х. Рассмотрим функциональный ряд и! (х) + и, (х) + и, (х) +... + и, (х) + ... (1) Давая х определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность тех значений х', при которых функциональный ряд сходится, иазываот областью сходимости этого ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через з (х). Пр имер. Рассмотрим функциональный ряд 1+х+хз+...„+х" +... ' Зтот ряд сходится при всех значениях х в интервале ( — 1, 1), т. е. нри всех х, удовлетворяющих условию ! х ! < 1. Для каждогб значения х в интер- 1 вале ( — 1, 1) сумма ряда равна — (сумма убывающей геометрической про- 1 — х грессии со знаменателем х).

Таким образом, в-интервале ( — 1, 1) данный ряд определяет функцию 1 а(х)= —, которая является суммой ряда, т. е. — = 1+ х+ ха+ха+ ., 1 Обозначим через з„(х) сумму первых п членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна з(х), то л(х) =з,(х)+г„(х), млжоэигуамые няды где г„(х) есть сумма ряда и„+~(х)+и„+,(х)+..., т. е.

г'„(х) = и„+, -(х)+ и„+, (х)+... В этом случае величина г„(х) называется остатком ряда (1). Для всех значений х в области сходимости ряда имеет место соотношение 1пп з„(х) = з (х), поэтому Л->а Вш г„(х) = 1пп [з (х) — з„(х)~ = О, т. е. остаток г„(х) сходящегося ряда стремится к нулю при и — оо. $10. Мажорнруемые ряды Определение. Функциональный ряд иг (х)+и,(х)+ и,'(х)+... + и„(х)+ . „ называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд а,+а,+и,+...

+а„+... (2) с положительными членами, что для всех значений х из данной области выполняются соотношения ~ иг (х) ~ < аы 1и, (х) ) (а„... „~ и„(х) / (а„, ...' (3) Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами. Например, ряд созх сои 2х ым Зх ым пх — + — + — + ° '+ — + ° ° . есть ряд, мажорируемый на всей оси Ох. Действительно, для всех значений х выполняется соотношение ~ ~ (—, (и = 1, 2, ...), а ряд 1 4 1 — + — + — +" ° 1 2~ 3~ как известно, сходится.

Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой области (см. й 8). Кроме того, мажорируемый ряд обладает еще следующим важным свойстаом. 1гл.:ятя гяды Теорема. Пусть функциональный ряд и,(х)+и,(х)+... +и„(х)+...

мажорируем на отрезке [а, Ь). Пусть я(х) — сумма этого ряда, я„(х) — сумма и первых членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа е > О найдется положительное число )ч' такое, что при всех и) Ф будет выполняться неравенспию ~ я (х) — я„(х) ~ < е, каково бы ни было х из отрезка 1[а, Ь). Доказательство. Обозначим через о сумму ряда (2): о=аз+а,+а,+... +а„+а„я+..., тогда о — о„+ е„ где о„— сумма и первых членов ряда (2), а е„— сумма всех остальных членов этого ряда, т.

е. е„=а„+,+а„+,+... Так как этот ряд сходится, то 1пп и„= о л-мю и, следовательно, 1пн е„= О. Представим теперь сумму функционального ряда (1) в виде я(х) = я„(х)+г„(х), где я„(х) = и; (х)+... + и„(х), г,(х)=и„+г(х)+ив+,(х)+и„+ь(х)+... Из условия (3) следует, что ~и„-(х) !<а„+и ~и„+,(х)! <а„.„, и поэтому ~ г„(х) ( < е„ для всех х из рассматриваемой области.

Таким образом, ) я (х) — я„(х) 3 < е„ для всех х нз отрезка [а, Ь1, причем е„- О прй и - оо. Замечание 1. Полученный результат можно геометрически иллюстрировать следующим образом. Рассмотрим график функции у=я(х). Построим около этой кривой полосу шириной 2е„, т. е. построим кривые у=я(х)+е„ непреРывность суммы РядА н у=з(х) — е„(рис. 363). Тогда при любом е, график функции' в„(х) будет лежать целиком в рассматриваемой 'полосе. В этой же полосе будут лежать графики всех последующих частичных сумм. Замечание 2. Не всякий функциональный ряд, сходящийся на отрезке [а, гл Ь|,обладает свойством, укаванным в доказанной теоре- / зсс/ч / ме.

Но существуют и нема- ея жорируемые ряды, которые / обладают указанным свойст-;/ ~ // вом. Всякий ряд, обладающий указанным свойством, называется равномерно сходящимся рядом на отрезке [а, Ь1. Итак, функииональный Рнс. 363. ряд . ит(х)+иа(х)+... ... +и„(х)+... называется равномерно сходящимся на отрезке «а, Ь), если для любого как.угодно малого в > О найдется такой номер У, что при всех и) бУ будет выполняться неравенство (з(х) — з„(х) ( (е для любого х из отрезка [а, Ь1. На основании доказанной теоремы следует, что мажорируемый ряд является рядом, равномерно сходящимся. $11.

Характеристики

Список файлов книги