34_PiskunovT2 (523113), страница 40
Текст из файла (страница 40)
С помощью оператора Ч равенство (11) записываем в виде (ЧЧи) =Ьи, т. е. Ь=Ч', (11) (11') Заметим, что уравнение д'и дэи дэи — + — + — =О, дх' ду' дгэ (12) Упражнении к главе ХЧ Вычислить следующие криволинейные интегралы: 1. ) уз гГх+2ху ау по окружности в=а сов 1, у=инги и Отв. О. 2. ~ уйх — хну по дуге эллипса х=исоз1, у=Ь зги а Отв. — 2плЬ. х 3. — дх — ду по окружности с центром в начале координат. ,1 хе+у' хе+у' Оав. О. 4.
) э по отрезку примой у=х от х=1 до х=2. Отв. 1п2. Г у ах+ х йу ха+уз З. ') угих+хгду+худа по дуге винтовой линии х=исоз1, у=иввл г=М при изменении 1 от О до 2п. Отв. О. 3 6. ') хйу — у ах по дуге астронды х=исозз1, у=вагиза Отв. — низ 4 (удвоеннап площадь астроиды). Заг Зигз У. ) хйу — у дх по петле декартова листа х= — , у= — . Оли. Заз 1+Ге ' 1+гз (удвоенная площадь области, ограниченной указанной петлей), или Ьи= О (12') называется уравнением Лапласа.
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функг(ией. 240 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЪ| (ГЛ. ХЧ 8. ~хну — убх по кривой х=а(1 — з|п1), у=а(1 — соз1)(0~1~2л). Оглв. — Опав (удвоенная площадь области, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох). Доказать, что: 9. йгад (ар) = с йгаб |р, где с — постоянная. 10. бган (сгур+ сзф) = с, йгад ~р+ сз йгай ф, где с| и сг — постоянные.
П. бган Руф)=|уйти ф+ф йгад~Р. 12. Найти бган г, йтад гг, йгад 1/г, йгад / (г), где г= у' ха+уз+ ге. Оав. г/г; 2|-| — г/гз; /' (г) г/г. 13. Доказать, что йч(А+В)=йч А+б|ч В. 14. Вычислить йч г, где с=х!+у/+гй. Оав. 3. 18. Вычислить д!ч(А<р), где А — векторная функция, а |р — скалярная функция. Оав.
|р йч А+(йгад~р, А). 16. Вычислить йч(гс), где с — постоянный вектор. Отв. сг'/г. 17. Вычислить йч В(ГА). Оав. АВ. Доказать, что: 18. го( (с|А|+с,Аз) =с| го| А|+с, го( Аз, -где с| и с,— постоянные. 19. го(.(Ас)=йгддАХс, где с — постоянный вектор. 20.
го| го| А = йгаб б/ч А — ЬА. 21. АХйгаб<р=го( ОРА). Интегралы по поверхности 22. Доказать, что ) ~ сов (и, г) й~='О, есля а — замкнутая поверхность, л-нормаль к ией. 23. Найти момент ииерциц поверхности сегмента сферы с уравнением аз+уз+ге =/Р, отсехаемого плоскостью г = Н, относительно оси Ог. Оав. — (2йз 3й|Н+Нг) э 3 24.
Найти момент инерции поверхности параболоида вращения х'+ уз = 2сг, , ОУЗ+1 отсеченной плоскостью г=с, относительно оси Ог. Оав. 4лсв |б' 26. Вычислить координаты центра масс части поверхности конуса ха+уз=йзгз/Нг, отсеченной плоскостью г=Н. Отв. (О; 0; 2Й/3). . 26. Вычислить координаты центра масс сегмента поверхности сферы ха+у'+гз=йз, отсекаемого плоскостью г=Н. Отв. (О; О; (й +Н)/2). 27. Найти ) ') [хсоа(л, х)+усов(л, у)+гсов(л, г)) аа, где а — замкнут чая поверхность.
Оав. ЗУ, где У вЂ” объем тела, ограниченного поверхностью а. 28. Найти ~ ) гбхг(у, где а — внешняя сторона сферы ха+уз+ге=йз. а Олм. — пйз. 4 3 29. Найти ) ~ хе|/ув/а+уз|(г г(х+гг ах|/у, где о — внешняя сторона поп верхности сферы ха+уз-[-гз=йв. Оим. О. хз 30. Найти ц Уха+уз ба, где а — боковая поверхность конуса — + аа о уз га 2ла' Р' аз+Ь' + — — — =0 0~ гв~Ь, Отв. 3 УПРАЖНВНИЯ К ГЛАВЕ ХЧ 241 31. По формуле Стокса преобразовать интеграл у дх+г ду+х дг. Отв. — ~ ) (сов а+сов()+сов у) до.
а Найти криволинейные интегралы, применяя формулу Стокса и непосред- ственно: 32. (у+г)ух+(г+х)ду+(х+у)дг,где й — окружность хе+уз+аз=из, в+у+а=О. Отв. О 33. ~Зхзузх(в+ау+ада, где 1. окружность хе+уз=хсзх г=О. Отв. 2 1 3 Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностные ийте- гралы в интегралы по объему: 34. ~ ~ (х соз и+у соз ()+ г соз у) до. Отв. ~ ~ ~ 3 дх Иу дг = ЗУ. а У 33.
) ) (ха+уз+22) (Иу дг+ дх дг+ дх ду). Отв. 2 ~ ~ ) (х+ у+ г) диду дг. а г 36. ~ ~ ху дх ду+ уг ду дг+ гх х(г дх. От в. О. а ЗУ. ) ) д ау дг+д — ихиг+д дзиу. Отв. ) ) ) 1 д,+ д,+д— ,)ддуих. ,а г С помощью формулы Остроградского вычислить следующие интегралы: 33. Ц (хсоз а+у сов 3+в сову) дг, где о — поверхность зллппсонда а хв у' г' — + — + — =1. Отв. 4лиЬс.
ав Ьз сз 39. )) (хтсови+утсозр+хтсозу)да, где а — поверхность сферы хз-1- а + уз+ге=)Ь2. Отв. 12лйз/5. 40. Дхздудг+узх(гх(х+гзх(хну, где а — поверхность конуса — + ив из и2 а гз лаз зз — — =О (О щв~Ь). Отв. —, Ьз 2 41. ) ) хду де+у дх дг+г дх ду, где а — поверхность цилиндра хе+уз =из, . а — Н~г~Н.
Отв. ЗлизН. г х'дхи ухи '2 е ди 42. Доказать тождество ~~ ~ — + — ) дхду= — дз. где С вЂ” канд ~ дхз дуз) ~Ь ди и ди тур, ограннчивакнций область О, а — — производная по направлению внешдл ией нормали. Р е ш е н и е. О~ ) Р х'дХ д)хй "' — Х.— )хи„-~ — хх*.;.ххх=~~ — х. Е, ~>х. 2, 21~,, д 1д ду) 22 242 КРИВОЛИНЕИНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. ХЧ где (з, х) — угол между касательной к контуру С и осью Ох. Если через (и, х) обозначим угол между нормалью-и осью Ох, то вШ(з, х)=сов(и, х), соз (з, х) = — зш (л, х).
Следовательно; ) ( — + — ) д бр= [Х оз(и, )+Узш(м, ))дз, О( ) Р /дХ дУТ ,) ( дх ду ) О ди ди Полагая Х= —, У= —, получим =дх' = дд Д(дй+ ) д д — ~( д (и )+ — (и )) дз илн 43. Доказать тождество (так называемую формулу Грина) Я (о Ьи — и бо) дх ду дг = Ц (о — — и — ) до, Р о где и и о — функции, непрерывные и имеющие непрерывные производные до второго порядка в области О.
Символы би и Ьо обозначают следующее: д'и д*и д' и дзо дзо „дзо Ьи= — + — + —., Ьо= — + — +"— . дхз ду» дгд ' дхз др» дгз Решение. В формуле Я("+Е+'~')[,, др,г= = ~ ~ [Х сов(и, х)+Усов (и, р)+2 сов (и, г)) до о положим Х-оик — ио», У=низ — иоз, Е=ои,— ио». Тогда дХ дУ дЕ дх др дг — + — + — = о (и»к+ изз+ и»») — и (о»к+ озз+ и»») = о Ьи — и бо, Хсоз(и, х)+Усов(и, Р)+Ясов(и, г)= =о(игсоз (и, х)+и„сов (и, у)+и, сов (и, г))- ди до — и(о,;сов(и, х)+озсоз(м, у)-[-о,соз(и, г))=о — -и —.
ди до' Следовательно, Щ(сии ибо)дхдрдг ) ) ( д "д ) до 44. Доказать тождество Яйидхдудг=Д д доз Р о дзи дзи дзи где ди= — + — + —. — дхз дрз дгз ' УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХУ 243 Р е ш е н ие. Положим в формуле Грина, выведенной в предыдущем примере, о=1. Тогда Ьо=О, и мы получаем указанное тождество. 45. Если и (х, у, г) — гармоническая функция в некоторой области, т. е.
такая функция, которая в любой точке втой области удовлетворяет уравнению Лапласа дги дзи дзи — + — + — =О дхг ду' дгх Ц вЂ”" оп=О, о где о — замкнутая поверхность. Р е ш ен не. Это непосредственно следует из формулы задачи 44. 46. Пусть и (х, у, г) — гармоническая функция в некоторой области У н пусть в области у находится сфера о с центром в точке М(хы ух1 гх) и радиусом /1. Дохазать, что 1 г'РР и(х;, у;, гг)= — ~~ ибо =аа д,) о Решение. Рассмотрим область (), ограниченную двумя сферами о, о радиусов й и р (р < /() с центрами в точке М (хы уд/ г,). Применим к этой области формулу Грина, установленную в задаче 43, йриняв за и указанную выше функцию, а за функцию о 1 1 )/ (х — хх)е+(у — у,)г+(г — гх)х Непосредственным дифференцированием и подстановкой убеждаемся, что д~ да о дхо дхз дуз дге — + — + — =О.
Следовательно, или На поверхностях о и о величина 1/г постоянна (1//1 и 1/р) и потому может быть вынесена эа знак интеграла, В силу результата, установленного в задаче 45, имеем — 'ц' — до=О, — Д вЂ” до=О, о Следовательно, 244 ' КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. Хн но д( †) д( †) ди дг Поэтому .(-Д и —,да — Г~~ и — до=О, нлн —, Д и до = —, Ц и да. о Применим к ннтегралу, стоящему слева, теорему о среднемэ — Дидт=и ',' Яда, (г) а о где и(г„э), Ь) — точка на поверхности сферы радиуса р с центром в точке Д4 (хы уИ гэ) 3аетаВИМ Р СтРЕМИтЬСЯ К НУЛЮ; тОГДа и(Я, т), Ь) — ь и (ХИ УИ гг): Следовательно, прй р — +О получаем à — ~ ~ и до -ч. и (хО у;, гэ) 4я.
о Далее, так'как правая часть равенства (1) не зависит от р, то прн р - О окончательно получим 1 à —, ~ ~ и да = 4пи (х„и„г,), нлн 1 Г( и(х„уО гэ)= — ~ 1 иФа. 4я1тз,),) о ГЛАВА ХИ РЯДЫ 1 $1. Ряд. Сумма ряда Определение 1. Пусть задана оесконечнйя последовательность чисел') и;, и„и„..., и„, Выражение и,+и,+и,+... +и,+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
