34_PiskunovT2 (523113), страница 36
Текст из файла (страница 36)
344). Пусть точкам М и У соответствуют значения параметра а ис!. Разделим дугу Мсу на части Ьзс точками Мс(х,; у,), М,(х,; у,), ..., М„(х„; у„), при этом положим хс=ср((с), ус=ср(гс). Рассмотрим криволинеййый интеграл ) Х (х, у) с(х+ У (х, у) йу, (1) определенный в предыдущем пара- да графе. Приведем без доказатель- Ряс. 344, ства теорему существования криволинейного интеграла.
Если функции ср(г) и ор (!) непрерывны и имеют непрерывные производные ср" (!) и ф'(!), а также непрерывны функции Х[ср(!), 4р(!)1 и У[ср(!), цс(с)1 как функции с на отрезке ~а, Я, то сущесгпвуют пределы 11гп ~~.", Х(хн ус)Ьх;=А, 1йп ~ У(хс, у;)Ьу;=В, (2) ьхс ос=с ' ' ' ьос- ос ! где хс и у; — координаты некоторой точки, лежащей на дуге Ьвн Эти пределы не зависят от способа деления дуги Е на частичные дуги Ьзс при условии, что Ьв, О, не зависят от выбора точки Мс (хн ус) на дуге Ьз;; они называются криволинейными А = ~ Х(х, у)«х, ь В = ) У (х, у) <(у. (2') Замечание.
Из теоремы следует, что к тому же пределув криволинейному интегралу — стремятся суммы, определенные в предыду<цем параграфе, где точки М;(х;, у() являются концами дуги Азь а система разбиения дуги Ь на части Лз( любая. Сформулированная теорема дает возможность получить способ вычисления криволинейного интеграла. Итак, по определению имеем (>о) н Х(х, у)«х = 1пп ~~'„' Х(х,„у;)Ах;, <м> ок<- о< где Ах(=х; — х<,= р(<<) — р(1(-1). Преобразуем последнюю разнесть по формуле Лагранжа: дх(=<р(1<) — Ф(Е<,) =<р'(т<) (6< — 1( 1) =<р'(т<) АЕ<, где т; — некоторое значение г, заключенное между значениями г< т и Е;.
Так как точку хо у, на дуге Аз( можно выбирать произвольно, то выберем ее так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра т;: х;=<р(т(), у;=)1>(г(). Подставляя найденные значения х<, у; и Ах< в формулу (3), получим (У! $ Х (х, у) <<х = 1йп ~~.'~ ~Х [<р (т(), )р (т()] <р' (тг) М(. <м> ю( о< ) Справа стоит предел интегральной суммы для непрерывной функции одной переменной Х[<р(г), <р(г)]<р'(<) на отрезке [<т, 1)]. Следовательно, этот предел равняется определенному интегралу от этой функции: (о>) з Х (х, у) «х = $ Х [<р (<), <1> (<)] <р' (<) Ж.
<м> н Аналогично получается формула (М) а ~ )' (х, у) <<у = ~ 1' [р (<), ф (<)] ф'(<) б1 (м) а 2<2 кгиволинвиныв и повегхностныв интегг>)лы <гл. кт инл<егралами и обозначаются так: %з1 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРйЛЛ 213 Складывая почленно зти равенства, получим сх) Х (х, у) с(х+ У (х, у) с(у = См1 1(Х(ф(1), ф(()1ф (1)+) (ф(1), ф(1)1ф (Г))ж. «) а Это и есть искомая формула для вычисления криволинейного интеграла.
Аналогичным образом вычисляется криволинейный интеграл ср ~ Х с(х+ У с(д+ Л с(г по пространственной кривой, заданной уравнениями х=ф(1), у=ф(1), г=)(((). Пример 1. Вычислить криволинейный пн- у=ха теграл от тройки функций хз; Згу', х'у (илн, что то же, от векторной функции хЧ-)-Згу',/ — х'уй) вдоль отрезка прямой, идущего от точки М(3; 2; 1) до точки ДС(0; 0; О) (рис. 345).
Решение. Для того чтобы найти параметрические уравнения ливии МЕС, вдоль которой надле- Рис. 345. Рис. 346. жит нитегрирпвать, напишем уравнение прямой> проходящей через две точки: х у г — "= — = — г1 3 2 1 обозначив все зтн отношения одной буквой С, получим уравнения прямой в параметрическом виде: х=ЗА у=21, г=й При пюм началу отрезка МДС соответствует, очевидно, значение параметра 1=1, а концу отрезка — значение С=О. Производные от х, у, гпопараметру С (которые понадобятся при вычислении криволинейного интеграла) находятся легко; хе=3, ус=2, гс=1. 2!4 кРизолинейные и позеРхностные интеГРАлы 1Гл. кт Теперь искомый криволинейный интеграл можно вычислить с помощью формулы (4): (зп о е ) хз бл+Згрз 8р — хзр ог = ) [(3()з 3+3( (21)' 2 — (31)'21 11 ((1 = ) 87(з((1 (м) 1 ! 87 4' Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл от пары функций Охзр, 10хуз вдоль плоской кривой р=ха от точки М (1; 1) до точки й( (2; 8) (рис.
346). Рещение. Для вычисления искомого интеграла (з)] 6хзу пх+ 1Охуз ((у (М) надо иметь параметрические уравнения данной кривой. однако заданное явно уравнение кривой у=ха является частным случаем параметрического: здесь параметром служит абсцисса х точки кривой, и параметрические уравнения кривой таковы: Параметр х меняется от х(= 1 до х, =2. Производные по параметру легко вычислить: х„= 1, рх = Зхз.
Следовательно, (и) Охзр лх+ !охуз Ну = (М) 2 2 ~ (Охзхз.1-(-16хх'Зхз) йх = ~ (6хь+Збхз) Нх = (х'+Зхгз)1= 3132. 1 1 Укажем теперь на некоторые приложения криволинейного интеграла. 1. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл. Пусть в плоскости Оху дана такая ограниченная контуром(.
область Р, что всякая прямая, параллельная той или иной из координатных осей и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу Ь области не более чем в двух точках (т. е. область Р правильная) (рис. 347). Предположим, что на ось Ох область Р проектируется в отрезок (а, ()), причем снизу она ограничивается кривой (1,): у = пг (х), а сверху — кривой (1,): у=уз(х), (у, (х) (уз (х)). ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2!3 Тогда площадь области 0 равна ь ь О= ~ у,(х)йх — ~у,(х)дх. и и Но первый интеграл есть криволинейный интеграл по кривой 1ь(МР1т), так как у= у,(х) есть. Уравнение этой кривой; следовательно, ь ) у,(х)дх= ) уох. О МРМ Второй интеграл есть криволинейный интеграл по кривой 14(МЯУ), т.
е. ) уг(х)ох= ) ус(х. О мчи На основании свойства 1 криволинейного интеграла имеем МРМ Следовательно, Я= — ~ ус(х — 1 удх= — фу~(х. (5) МРМ мех При этом кривая Ь обходится в направлении против часовой стрелки. Рис. 341, Рис. 348. Если часть границы А составляет отрезок М,М, параллель- (м) ный оси Оу, то ) удх=О, и равенство (5) остается справедли- <мп вым и в этом случае (рис. 348). Аналогично можно показать, что (6) 216 Криволинейные и поверхностные интеГРАлы 1Гл.
х)т Складывая почленно равенства (5) и (6) и деля на 2, получим еще одну формулу для вычисления площади 5: Я= — хс(у — ус(х. 1 (л Пример 3. Вычислить площадь эллипса в=асов(, у=эва)1. Решение. По формуле (7) находим: вн 5 = — ') (а сов | (Ь сов т) — Ь в)п Ф ( — а в)п (Ц Л = маЬ. 1 г 2 а о Отметим, что формула (7), а также формулы (5) и (6) справедливы и для площадей, границы которых пересекаются линиями, Рис. 350, Рис. 319. параллельными координатным осям, более чем в двух точках (рис.
349). Для доказательства этого разобьем данную область (рис. 349) с помощью линии (а на две правильные области. Для каждой из них справедлива формула (7). Складывая левые и правые части, получим слева площадь данной области, справа — криволинейный интеграл (с коэффициентом а/а), взятый по всей границе, так как криволинейный интеграл по линии раздела (а берется дважды — в прямом и обратном направлениях и, следовательно, равен нулю. 2. Задача о вычислении работы переменной силы Ьо на некотором криволинейном пути С. Как было показано в начале 5 1, работа, совершенная силой Г= = Х(х, у, г) в+'г'(х, у, г),/+Я(х, .у, г) Ф вдоль линии Ь=МЙ равна криволинейному интегралу: (М) А = ) Х (х, у, г) с(х+У(х, у, г) т(у+Я(х, у, г) с(г.
(М) Рассмотрим пример, показывающий, как производится вычисление работы силы в конкр тиых случаях. 217 ФОРМУЛА ГРИНА за) Пр имер 4. Определить работу А силы тяжести Р при перемещении массы гл из точки Мх(аь Ьь с,) в точку Мз(аз, Ь„сз) по произвольному пути й (рис. 350). Р е шеи и е. Проекции силы тяжести Р на оси координат равны Х=О, )х=о, Е= — тд. Следовательно, искомая работа (ма ад А = ~ Х бх+ У г(у+Я ((з = ~ ( — тд) ((з = ад (ст — сз), (мп о Следовательно, в атом случае криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек. Точнее, работа силы тяжести зависит только от разности высот конечной и начальной точек пути.
й 3. Формула Грина Установим связь между двойным интегралом по нйкоторой плоской области О и криволинейным интегралом по границе 7. этой области. Пусть в плоскости Охи дана ограниченная замкнутым контуром 7. область В, правильная как в направлении оси 02, так и и направлении оси Оу.
Нусть эта область ограничена снйзу кривой у=у,(х), а сверху кривой у=у,(х), у,(х)(уз(х)(ам х(Ь) (рис. 347). В совокупности обе эти кривые составляют замкнутый контур Ь. Пусть в области Р заданы непрерывные функции Х(х, у) и г (х, у), имеющие непрерывные частные производные. Рассмотрим интеграл Ц ах(,у) (хну о Представляя его в виде двукратного, получим: ь я,(х) , ь Ц',~ аЗ„=")( ) — ',*Ф)(,-) ХЬ,Л!'аа= о а а (х( а ь = ~ (Х(х, у,(х)) — Х(х, у,(х))]((х. а Заметим, что интеграл ь ~ Х (х, у, (х)) дх а численно равен криволинейному интегралу Х(х, у)((х, МРМ. 218 кРиволинеиные и повеРхностные интеГРАлы 1Гл. Кт взятому по кривой МРгт', уравнения которой в параметрической форме суть х = х, у = у,(х), где х- параметр.
Таким образом, ь ~Х(х, у,(х))дх= ~ Х(х,у)дх. а МРМ Аналогично интеграл (2) Но Х(х, у)втх= — ~ Х(х, у)Г(х мел лем (см. $1, свойство 1). Следовательно, формулу (4) можно написать так: Д ',~ Ы (у= 1 Х (х, у) ( + ~ Х (х, у) ( . в МРЛ л4м Но сумма криволинейных интегралов, стоящих в правой части, равна криволинейному интегралу, взятому по всей замкнутой кривой Т. в направлении по часовой стрелке.
Следовательно, последнее равенство можно привести к такому виду: ) ) 8 дхйу=фХ(хв у)йх. (5) о л Если часть границы составляет отрезок 1„параллельный оси Оу, то ) Х(х, у)дх=О, вв и равенство (о) остается справедливым и в этом случае. Аналогично найдем 11 О в*вв= — )в в'О, в)вв. в $ Х(х, у,(х))сЬ а численно равен криволинейному интегралу по дуге МЯМ1 ь ~ Х(х, уг(х))йх= ~ Х(х, у)дх. (3) О мел Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получим: Д вЂ” Нхс(у= ~ Х(х, у)дх — ~ Х(х, у)с(х.
(4) о м м мел УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ 219 Вычитая (5) из (5), получим Д (~~ — ~)((х()д= $ Х()х+У((д. о ь Если обход контура А совершается против часовой стрелки, то ') ) ) (~ — ~ ) г(х((д=~Хнх+)г((д. о Это и есть формула Грина, названная так по имени английского физика и математика Д. Грина (1793 — 1841) *«). Мы предполагали, что область 1А правильная. Но, как и в задаче о площади (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
