34_PiskunovT2 (523113), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если область У разбить на две области У„ и У, плоскостью, параллельной какой-либо из плоскостей координат, то трехкратный интеграл по области У равен сумме п)рехкратных интегралов по областям У! и У,. Доказательство этого свойства проводится совершенно так же, как и доказательство соответствующего свойства для двукратных интегралов.
Поэтому нет необходимости повторять его снова. С л е де т в и е. При любом разбиении области У на конечное число областей Ут, ..., У„плоскостями, параллельными координатным плоскостям, имеет место равенство ВЫЧИСЛЕННЕ ТРОЙНОГО ННТЕГРЛЛй )93 Свойство 2 (теорема об оценке трехкратного и н т е г р а л а). Если )и и М вЂ” соответственно наименыиее и наибольшее значения функции 1(х, у, г) в области У, то имееог место неравенство тУ(1у(МУ, где У еапь объем данной области, а 1у — трехкратный интеграл о(п функции )'(х, у, г) по области У. Доказательство. Оценим сначала -внутренний интеграл Ге(к, у) .*в-.р--.
-. в-. Ь=К[ ) )(*, к,*)к]к'. О Х (х, у) е(к. у) е(к, у) В(к, у) а(х, у) 1(х, у, г)йг( ~ Мйг=М ~ йг=Мг Х(х,у) Х(к,у) Х(х, у) Х(х, Гв =М[ф(х. у)-к(х, у)1. Итак, внутренний интеграл не превосходит выражения М [)р(х, у)— — К(х, у)1. Поэтому в силу теоремы 9 1 о двойных интегралах получим (обозначая через Р проекцию области У на плоскость Оху) рИ(к у) 1у=)~ ~ ~ 1(х, у, г)йг1йа -. ~) М[ф(х, у) — к(х, у)]до= О Х(»;у) .1 о =М К [)р(х, у) — К(х, у)1йо.
о Но последний двукратный интеграл равен двойному интегралу от функции (() (х, у) — к (х, у) и, следовательно, равен объему той области, которая заключена между поверхностями г= К (х, у) и г=(р(х, у), т. е. объему области У. Поэтому 1,(МУ. Аналогично доказывается, что 1„) тУ. Таким образом, свойство 2 доказано. Свойство 3 (теорема о среднем).
Трехкратный интеграл 1Р от непрерывной функции 1'(х, у, г) по области У равен произведению его объема У 'на значение функции в некоторой точке Р области У, т. е. у 1ч1(х) ( Ф(» у) ~.= ( [ К [ К ) (*, ». *) к*]кк]»*-) (») у. д в ч,(х) х(х. М Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство аналогичного свойства для двукратного интеграла (см. 9 2, свойство 3, формула (4)). Теперь мы можем доказать теорему о вычислении тройного интеграла.
Н. С, Пвввувов, в. 2 (гл, хщ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Тео рема. Тройной интеграл от функции 1(х, у, г) по правильной области У равен трехкратному интегралу по той же области, т. е. ь 1ьа(х) Ге(х, д) 111(а,, )а =1[1 [ 1 ((*, х*)а)аи) Р а М(х) Х(», М Доказательство. Разобьем область У плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на и правильных областей: Лом Ао„..., Ао„. Как и выше, обозначим через 1, трехкратный интеграл от функции )'(х, у, г) по области У, а через 1ь„трехкратный интеграл от этой функции по области Аоп Тогда на основании следствия из свойства 1 можем написать равенство 1Р=1А„,+1аа,+... +1,„. Каждое из слагаемых, стоящих в правой части этого равенства, преобразуем по формуле (2): 1,=ИР() А г+ПР,) А а+".+ИР.) А., (4) где Р( — некоторая точка области Ао(.
В правой части этого равенства стоит интегральная сумма. По предположению функция 1(х, у, г) непрерывна в области У и потому предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего диаметра (ьо( существует и равняется тройному интегралу от функции 1(х, у,,г) по области У, Таким образом, переходя к пределу в равенстве (4) при й1ашйо( — О, получим 1„= ) ~ ~ 1 (х, у, г) йо, или окончательно, меняя местами стоящие справа и слева выра- жения, ь 1ч,(х) ге(х, а) 111((*, ю, *) а -1 [ 1 [ 1 ((, х, ) а*~ ь) х .
Р а ч,(х) х(х, у) Теорема доказана. Здесь г= )((х, у) и г =(1)(х, у) †уравнен поверхностей, ограничивающих правильную область У снизу и сверху. Линии у=-(р; (х), у= (р,(х), к=а, х=() ограничивают область 11, явлин)- щуюся проекцией области У на плоскость Оху. Замечание. Аналогично тому, как это было в случае двукратного интеграла, можно составить трехкратный интеграл с другим порядком интегрирования по переменным и другими пределами, если, конечно, это позволяет форма области У. Вычисление объема тела с помощью трехк ратного интеграла.
Если подынтегральная функция 1(х,у,г)=1, ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОННОГО ИНТЕГРАЛА 195 2 гг1 то тройной интеграл по области У выражает объем области й/1 У = ~ ~ ~ г/х г/у с/г. (5) П р и ме р 2. Вычислить объем эллипхй уй саида — + — + — = 1, ай Ьй с' Решение. Эллипсоид (рис. 335) ограничен снизу поверхностью г= х' у' ай Ь' ' = — с 1 1 — — — а сверху — поверх- --с /- а' Ь Рис.
335, «2 уй пастью г=с 1 — — —, Проекцией этого зллипсоида а' Ь' ' хй уй (область Р) является эллипс — + — = 1, Следовательно д' Ьй 2 объема к вычислению трехкратного интеграла, получим на плоскость Оху сводя вычисление Г «2 сй с ! —— Дй Ь« бг Г «2 22 а' 6' ч~ -".—: хй уй уй / «2 -Ь-й/ !в й2 Р =2с ~ При вычислении внутреннего интеграла х считается постоянным. Сделаем под- становку -/ х' хй у=Ь 1 — — зш/, 2/у=Ь 1 — сов/й//. а' ' ай Г х' -/ х' Переменная у изменяется От — Ь 2/ 1 — до Ь 1/ 1 — —, поэтому ! ме- де У ай' няегся от — и/2 до я/2. Подставлая в интеграл новые пределы, получим а н/2 Г хй 1 г хй 2 Г,йй 2-2! [ ! й/(~ — ) — 22 — )* 11 Р 2 2—,~221«- У ай -д -н/2 а я/2 О 22! [(2 — / / 2222 2*= — 1( — «22*= 4 -и/2 -а Итак, У = 4пабс/3. Если Д=Ь=с, то получаем объем шара! У = 4паз/3.
!гл. хш КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3 !3. Замена переменных в тройном интеграле 1. Тройной интеграл в цилиндрических коорди н ага х. В случае так называемых цилиндрических координат положение точки Р в пространстве определяется тремя числами 8, р, г, где 8 и р †полярн координаты проекции точки Р на плоскость Оху и г — аппликата точки Р, т. е.
расстояние точки до плоскости Оху, взятое со знаком плюс, если точка лежит выше плоскости Оху, и со знаком минус — если ниже (рис. 330). Рис. 336. Рис. 337. В этом случае данную, пространственную область Р' разбиваем на элементарные объемы координатными поверхностями 0=0,, р=р, г=г» (полуплоскости, примыкающие к оси Ог, круговые цилиндры, ось которых совпадает с осью Ог, плоскости, перпендикулярные к оси Ог). Элементарным объемом будет криволинейная «призма» (изображенная на рис. 337). Площадь основания этой призмы с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна р АОЬр, высота равна Ьг (индексы 1, 1, й для простоты записи опускаем). Следовательно, Ьо = р М Ьр Ьг. Поэтому тройной интеграл от функции Р(0, р, г) по области Р' имеет вид I = ~ )Г ~ Р (8, р, г) р:.
40 пр Ыг. (!) Пределы интегрирования определяются формой области Р'. Если дан тройной интеграл от функции г(х, у, г) в прямоугольных координатах, то его легко преобразовать в тройной интеграл в цилиндрических координатах. В самом деле, заметив, что у=рз!п0, г=г, х=рсоз8, получим ~ ~ ~ ! (х, у, г) дх ду 0г =- ~ ~ ~ Р (8, р, г) р сЮ др Нг, ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 197 )(рсоз6, рз)п0, г)=Р(0, р, г). П р и и е р; Определить массу М полушара радиуса 11 с нентрои в началее координат, если плотность Р его вещества в каждой точке (х; у; г) пропорниональна расстоянию втой точки от основания, т.
е. Р=йг. Решение. Уравнение верхней части полусферы г= Уйа — х' — у' в пнлиндрнческих координатах имеет вид г=)Г1с' — р' Следовательно, гп Г и гид'-о' ь=)1)~.юь .=~ ~~( 1 ьь),ь]е е о о ,1 ],12 й Г Гла Л'1 й йе йпйь — ~ — — 1 оэ — — — 2п = —, 2~~2 4) 2 4 4! 2. Тройной интеграл в сферических координата х, В сферических координатах положение точки Р в пространстве определяется тремя числами 6, г, ф, где г — расстояние точки от начала координат, так называемый радиус вектор точки, ф— угол между радиус-вектором и осью Ог, 0 †уг между проекцией радиус-вектора на плоскость Оху и осью Ох, отсчитываемый от этой оси в положительном направлении (т.е.
против часовой стрелки) (рис. 338). Для любой точки пространства имеем 0<г <+оо, 0<ф<п, 0<6 < 2п. Разобьем данную область У на элементарные части гхп координатными поверхностями г =сопз1 (сферы), ф = сонат (конические поверхности с вершинами в начале координат), О=сопз1 (полу- плоскости, проходящие через ось Ог). С точностью до бесконечно малых высшего порядка элементарный объем Ьо можно считать параллелепипедом с ребрами длиньг Ьг, г Ьф, г з1пфб0. Тогда элементарный объем равен (рис.
339) Ьо= гв з(п ф (хг б0 Ьф. Тройной интеграл от функции Р(0, г, ф) по области У имеет внд Т = ~ ~ ~ Р (6, г, ф) гв з|п фт(г п0 йр. (1') Границы интегрирования определяются формой области Из рис. 338 легко устанавливаются выражения декартовых !гл. х~т КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !98 координат через сферические: х=гз!псрсозО, у=гз!п~рз!НО, г=гсоз~р. Поэтому формула преобразования тройного интеграла от декартовых координат к сферическим имеет вид ) ) ) ((х, у, г) с(х с(ус(г = = ~ ~ ~ ( (г 3!п ~р соз О, г з!п ~р 3!п О, г соз ~р) г' з)п ср с/г с(О др. 3. Общая замена переменных в тройном инте г р а л е.
Переходы от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим в тройном интеграле — это частные случаи общего преобразования координат в пространстве. Рис. 338. Рис. 339, Пусть функции х = Ф (и, (, в), у = ф (и, (, в), г = Х (и, (, в) взаимно однозначно отображают область У в декартовых координатах х, у, г на область У' в криволинейных координатах и, (, в. Пусть элемент объема Ло области У переходит в элемент Ло' области У' и пусть !нп —,=/(/. ьо' О а" Тогда ) ) ) ((х, у, г) Ж ду с! = $ $ $ (~~р(и, (, в), ф (и, (, в), т,(и, (, в)) / (/с(и й сйо и' Аналогично тому, как это имело место в двойном интеграле, 1 называется якобианом; подобно тому как зто делалось для 0141 момЕНТ ИНЕРЦИИ И И И КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС ТЕЛА 199 двойных интегралов, можно доказать, что якобиан численно равен определителю третьего порядка: дх дхдх ди д( йе ду дуду ди д1 йе дз да дг ди дГ йо Так, в случае цилиндрических координат имеем х=рсозО, у=рз(НО, г=г (р=и, =, = ); =,О=( созе — рз1п 0 О 1= зьзв рсоз0 О =р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
