34_PiskunovT2 (523113), страница 34
Текст из файла (страница 34)
О О 1 В случае сферических координат х=ге!п~рсозО, у=гз)пгрз(пО, г=гсо ~р ( = з (г=и, гр=1, О=гв); з)песен 0 гсозм соз0 — гз1пе зш 0 ~ 1= з1пшзшв гсоз~рзшв гз1п р зЕ(=гзз)пгр. соз ~р — г з1п <р 0 14. Момент инерции и координаты центра масс тела 1. М инерции тела. Моменты инерции точки 1)4(;; ) лг относительно координатных ос й, у, О омент х; у; г) массы лг (рис. 340) выражаются соответственно фор- г мулами 1„„=(у'+г')т, !„,=(х'+г*)т, 1„= (х'+ у') т.
М енты инерции т е л а выражаются ом к, на- Ъ хг ~~зд соответс ответствующими интегралами. Та, ь- О ы пример, р момент инерции тела относител- 1 но осй Ог выражается интегралом =))) (х'+у')у(х, у, г)с(хс(удг, где у(х, а у, г) — плотность вещества. 1. Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра вы т ь о диаметра его среднего сечения, считая высоты 26 и радиуса )с относительно диа пл с р Т~ Решение. Выберем систему координат следую ось Ог вдоль оси цилиндра, а начало координат поместим в его е ю момента инерции цилиндра относи.
. 341), Тогда задача сведется к вычислению ~) ( з+х') дхдудх. Переходя в етом интеграле к тельно оси Ох; )х„= о) (у +х те -Ю( -" 200 (ГЛ. ХГУ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ цилиндрическим координатам, получим 2яг Л~ В (..-Ъ ) ( ) ( ( (.'.(('..
В((],Ф)((- о о -В 2я Л 2я -т ~ ~ ~ З +2йр*вш'В1РНР2НВ=Т ~ ( —" — -(- " '~Ш В~НО= о о о Г 2йеЛ 2ВЛ т Г 2 й(21 а=те ] — 2п+ — п1 =ТеФЖ2 ~ — йв+ — 1. 6 4 1 )3 2] 2. Координаты центра масс тела. Аналогично тому, что мы имели н 2 8 гл. Х11 (т. 1) для плоских фигур, координаты центра масс тела выражаются формулами ~ ~ ~ ху (х, у, г) (Ь Ну Нг 1 ) ) у (х, у, г) Нх Ну Нг )) ) уу(х, у, г) НхНуйг Ус ~~~ т(х, у, г) сЬНуНг ~~~ гу(х, у, г) (ЬлуНг ) 1~ т(х, у, г)(ьнуна Рнс. 24п где т (х, д, г) — плотность. П р н м е р 2.
Определить координаты центра масс верхней половины шара радиуса гт с центром в начале коордннат, счнтая плотность Те постоянной. Решен не. Полушар ограничен поверхностями г= у Яя — хя — уя, г=о. Апплнхата его центра масс определяется формулой ))) гуе(ЬНуНа Р ~ЦТ, ЬНупг Переходя к сферическим координатам, получаем гя( Я/2 ) й те ~ ~ ~ гсов(ргявш(рНг Нр НВ, Йе ) о о о Л ) "4'2 З гх ра/2 ~Я 1 ч 2 8 Т,$ ~ $ ~~г в тнг)нр)нй з "~ о о о Очевидно, что в силу снмметрнн полушара хе = ус =а О. $!51 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА Е01 й 15.
Вычисление интегралов, зависящих от параметра Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра а: ь 1 (а) = ~ 1(х, а) с(х. е (Такие интегралы мы рассматривали в й 1О гл. Х1 т. !.) Укажем без доказательства, что если функция 1(х, а) непрерывна по х на отрезке [а, Ь1 и по а иа отрезке [а„ао1, то функция а 1(а) = ) 1(х,а)г(х является непрерывной функцией иа отрезке [ан ао!.
Следовательно, функцию 1(а) можно интегрировать по а на отрезке [а„ ах): оэ а,, ь 1г() -1~1ц*, )о) а, а, а Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от ф)дикции 1(х,а) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Оха. Можно изменить порядок интегрирования в атом интегралй: 1(1в,чо)~= фп*,ым) . Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра а, достаточно проинтегрировать по параметру а подынтегральное выражение. Эта формула также бывает полезна при вычислении определенных интегралов. +Ф г е ех ьх П р име р. Вычислить интеграл Ех(а>0, Ь>0).
х о Неопределенный интеграл от подынтегральной функции не берется в элементарных функциях. для его вычисления рассмотрим другой интеграл, который можно легко вычислить: +а е-ихлх= („>О) а о Интегрируя это равенство в пределах от а=о до а=.Ь, получим 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
