34_PiskunovT2 (523113), страница 37
Текст из файла (страница 37)
9 2), можно показать, что эта формула справедлива для любой области, которую можно разбить на правильные области. й 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Рассмотрим криволинейный интеграл (л1 ~ Х(+Х(д, (м1 взятый по некоторой плоской кривой Е, соединяющей точки М и № Будем предполагать, что функции Х(х, д) и У(х, д) имеют непрерывные частные произ- 6 водные в рассматриваемой области О. Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от фор- МЫ КрИВОй х., а ЗаВИСИт ТОЛЬКО От ПОЛО- Рис, 351. жения начальной и конечной точек М и № Рассмотрим две произвольные кривые МР1(1 и МЯ№ лежащие в рассматриваемой области 1) и соединяющие точки М н У (рис. 351).
Пусть ~ Хд +У(д= ~ Х (х+Убд, (1) мгю мох( т. е. Х Их+ У ((д — ~ Х((х+)г((у= О. мел «) Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода контура, то предполагается, что этот обход производится против часовой стрелки. Если же обход производится по часовой стрелке, то ато должно быть специально оговорено. ««) Эта формула является частным случаем более общей формулы, откры. той русским математиком М. В.
Остроградским. еео КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫВ ИНТЕГРАЛЫ !ГЛ. ХУ Тогда на основании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов ($1) имеем (3) во всех точках области Р. Х йх+ У йу+ ~ Х ах+ У йу = О, МРН нам т. е. криволинейный интеграл по замкнутому контуру х, фХй +Уйу=О. (2) с В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру ь, составленному из кривых МР)у и Л1(1М. Этот контур Ь можно, очевидно, считать произвольным. Таким образом, из условия, что для любых двух точек М и Ф криволинейный интеграл не зависит От формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Справедливо и обратное заключение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки, а зависит только от положения этих точек.
Действительно, из равенства (2) следует равенство (1). В примере 4 Э 2 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, в примере 3 криволинейный интеграл зависит от пути интегрирования, так как в этом примере интеграл по замкнутому контуру не равняется нулю, а дает площадь, ограниченную рассматриваемым контуром; в примерах 1 и 2 криволинейные интегралы также зависят от пути интегрирования. Естественно возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции Х (х, у) и У(х, у) для того, чтобы криволинейный интеграл ~ Х йх+У йу по любому замкнутому контуру был равен нулю.
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Теорема. Пусть во всехточках некоторой области г)функции Х(х, у), У(х, у) вместе со своими частными производными и ' " непрерывны. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру Ь, лежа- и(ему в области В, был равен нулю, т.
е. чтобы фХ(х, у)йх+У(х, у) йу=О, (2') необходимо и достаточно выполнение равенства дХ дх' ду дх 222 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ <ГЛ. ХЧ вытекает, что дк дХ вЂ” — =о дх ду во всех точках данной области Р. Таким образом, теорема полностью доказана. В $ 9 гл. ХН1 было доказано, что выполнение условия д>' (х, Р) дХ (х, у) дх де равносильно тому, что выражение Хс(х+У<(у есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у), т. е. Хйх+Ус(у=((и(х, у), причем Х (х, у) = д Ф У(х, у) = — ° ди ди Но в этом случае вектор )Р Х1+ У/ 1+,/ есть градиент функции и (х, у); функция и (х, у), градиент которой равен вектору Х1+У1, называется потенциалом этого вектора. Докажем, что в этом случае криволинейный интеграл [н) 1= ) Хйх+Уйу по любой кривой 1., соединяющей точки М и <<1, <м) равняется разности значений функции и в этих точках: (и) (и) ~ Х((х+Уйу= ~ йи(х, у)=и(<<1) — и(М).
<м> <м> Доказательство. Если Хдх+У<(у является полнымдифди ди ференциалом функции и(х, у), то Х= —, У= — и криволинейный интеграл примет вид (Ж) 1= ~ — йх+ — йу. г ди ди дх ду < ) Для вычисления этого интеграла напишем параметрические урав- нения кривой 1., соединяющей точки М и Л)< х=ц)(1) у=<(>(1). Будем считать, что зна ~ению параметра 1=1, соответствует точка М, а значению 1=Т вЂ” точка <ч'.
Тогда криволинейный УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ интеграл, сведется к следующему определенному интегралу: Выражение, стоящее в скобках, есть функция от 1, являющаяся полной производной от функции и~~р(1), ф(1)1 по 1. Поэтому г 1 =~ — „" И=и(~р(1), ф(1)11,г =и(<р(Т), ф(Т)1 — и~чр(1,), ф(1,)] =и()т') -и(М). Как мы видим, кри вол и ней нын интеграл от полного дифференциала не зависит от формы кривой, по которой производится интегрирование. Аналогичное утверждение имеет место и для криволинейного интеграла по пространственной кривой (см.
ниже $ 7). 3 а м е ч а н н е. Иногда приходится рассматривать криволинейные интегралы по длине дуги Е от некоторой функции Х(х, у): л ) Х(х, у)аз= 1ип ~ Х(хо у;)Аз;, (4) А., В ~=~ где оз — дифференциал дуги. Вычисляются такие интегралы аналогично вычислению рассмотренных выше криволинейных интегралов. Пусть кривая т. задана параметрическими уравнениями ='р(О у=ф(О где ~р(1), ф(1), «р'(1), ф'(1) — непрерывные функции от г. Пусть а и р — значения параметра 1, соответствующие началу и концу дуги Ь. Так как ( = ) ч ' (1) +ф' (1)' (г, то мы получаем формулу для вычисления интеграла (4): $Х(х, у) 1 =~Х[рр), ф(1)1р'р'(Г)'+ф'(1)* и.
Можно рассматривать криволинейный интеграл по дуге простран- ственной кривой х=~р(1), у=ф(Г), г=)((1)'. 1Х(х, у, ЕИ = ~ Х[ф Ю ф(1), Х(1Н ) р'Р)'+ф'(1)'+Х'(1)Ч1. Ь и 224 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. ХИ С помощью криволинейных интегралов по дуге определяются, например, координаты центра масс линий. Рассуждая так же, как в 28 гл. ХП (т. 1), получим формулу для вычисления координат центра масс пространственной кривой: )Х 5 Пример. Найти координаты центра масс одного витка винтовой линии а=асов Г, у=а в[и й г=ы (О~[ < 2л), если ее линейная плотность постоянна. Р е ш е н и е. Применяя формулу (й), найдем 2л 2л асов [)гааз[и' [+ат сова г+ь'щ ~ асов гг' а'+ ь'а[ о о ай О с 2л 2л Уа' аше [+ а' сова [+Ьа а[ о ~ Уаа+ Ь'М о Аналогично у~= О, 2л о Ы 1~ аг аша Г+ от соа' Г+Ьг а[ Ь 4лт ас— 5 3 — — лЬ 2л.2 2л1га +Ь Итак, координаты центра масс одного витка винтовой линии равны 55=0, у =О, ге=лЬ.
й б. Поверхностный интеграл Пусть в прямоугольной системе координат Охдг задана некоторая область у'. Пусть в области У задана поверхность о, ограниченная некоторой пространственной линией )с. Относительно поверхности о мы будем предполагать, что в каждой ее точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором и (Р), направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Пусть в каждой точке поверхности определен вектор Р'=Х(х, у, г)1+У(х, у, г)/+Я(х, д, г)(е, где Х, У, х †непрерывн функции координат. Разобьем поверхность каким-либо способом иа элементарные площадки Ьо[. На каждой площадке возьмем произвольнуюточку ) ус[5 г.
у ~ аа )гаа ~в е 3 3, повессхностныи интеГРАл 22о Р, и рассмотрим сумму Х(Р(Рс) п(Р,)) Лас, с где Р(Рс) — значение вектора Р в точке Р; площадки стас, п(Рс)— единичный вектор нормали в этой точке, Рп — скалярное произведение этих векторов. Предел суммы (1), распространенный иа все площадки 11а, прн стремлении к нулю диаметров всех таких площадок, называется поверхностным интегралом н обозначается символом Таким образом, по определению ') 1пп ~~ Г,пс Ьас = ~ ~ Раса. В!аыьос- О о (2) Каждое слагаемое суммы (1) Рспсбас=рсЬассоз(пс, Р;) (3) ч) Если поверхность и такова, что в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки Р по поверхности, и есля веаторная функция Р непрерывна на атой поверхности, то этот предел существует (зту теорему существования интеграла по поверхности мы принимаем без доказательства).
8 Н. с, пасиувова т. 3 может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра..с основанием Лис и высотой Рссоз(пы Рс). Если вектор Г есть скорость жйдкости, протекающей через поверхность а, то произведение (3) равно количеству жидкости, протекающей через площадку бас за единицу времени в направлений вектора пс (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
